专题16相交线及相交线中的角-原卷版+解析

专题16相交线及相交线中的角【思维导图】◎考点题型1相交线的概念相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．例．（2022春·贵州毕节·七年级校考期中）如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是(

)A．150° B．130° C．100° D．90°变式1．（2019春·七年级单元测试）在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有(

)A．7个 B．6个 C．5个 D．4个变式2．（2021春·河北邢台·七年级统考阶段练习）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角变式3．（2018秋·湖南株洲·七年级统考期末）观察图形，并阅读相关的文字：那么8条直线相交，最多可形成交点的个数是（

）A．21 B．28 C．36 D．45◎考点题型2垂线、垂线段定理、点到直线的距离1、垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。2、表示方法：如图，a⊥b，垂足为Ｏ．记作：a⊥b于点Ｏ．【注】①.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。②.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。3、垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4、垂线的画法：一落、二移、三画。【注】经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（如图，PA,PB,PC等线段中，PO最短）【注】①、垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。②、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。6、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。【注】点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．例．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第四十一中学校考期末）下列说法中，正确的是（

）A．有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角B．不相交的两条直线叫做平行线C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等变式1．（2018春·七年级课时练习）数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段，正确的是(

)A．A B．B C．C D．D变式2．（2022春·全国·七年级假期作业）若点P为直线a外一点，点A、B、C、D为直线a上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么点P到直线a的距离是A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3变式3．（2019春·上海浦东新·七年级统考阶段练习）点在直线外，点在直线上，两点的距离记作，点到直线的距离记作，则与的大小关系是(

)A． B． C． D．◎考点题型3相交线中的角1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角443∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°【注】（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、同位角、内错角与同旁内角的知识点（1）同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。（2）内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。（3）同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。（4）三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。例．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）下列图形中与不一定相等的是（

）A． B． C． D．变式1．（2022秋·江苏·七年级专题练习）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（

）A．∠1＝∠4 B．∠4＋∠1＝90° C．∠1－∠4＝90° D．∠4－∠1＝90°变式2．（2018春·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知是直线上一点，，平分，的度数是（

）A． B． C． D．变式3．（2020春·河南周口·七年级统考期中）如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述：①∠1和∠2互为同位角

②∠3和∠4互为内错角，③∠1=∠4，④∠4+∠5=180°，其中，正确的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．③④专题16相交线及相交线中的角【思维导图】◎考点题型1相交线的概念相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．例．（2022春·贵州毕节·七年级校考期中）如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是(

)A．150° B．130° C．100° D．90°【答案】B【详解】试题分析：两直线相交，对顶角相等，即∠AOD=∠BOC，已知∠AOD+∠BOC=100°，可求∠AOD=50°；又∠AOD与∠AOC互为邻补角，即∠AOD+∠AOC=180°，将∠AOD的度数代入，可求∠AOC=130°．故选B．变式1．（2019春·七年级单元测试）在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有(

)A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】B【分析】在平面上画出4条直线，分类讨论相交的情况可得交点数，①当这4条直线经过同一个点时；②当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时；③当4条直线中仅有两两直线相交时．【详解】解：如图所示，当4条直线经过同一个点时，有1个交点；②当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，有4个交点；当4条直线中仅有两两直线相交时，有6个交点；所以，4条直线相交最多有6个交点．四条直线两两相交时交点最多为6个，故选B．【点睛】本题主要考查了相交线，能够根据过同一交点的直线数进行分类讨论是解题的关键．变式2．（2021春·河北邢台·七年级统考阶段练习）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角【答案】D【详解】试题解析：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；综上所述，D正确．故选D．考点：相交线．变式3．（2018秋·湖南株洲·七年级统考期末）观察图形，并阅读相关的文字：那么8条直线相交，最多可形成交点的个数是（

）A．21 B．28 C．36 D．45【答案】B【详解】解：找规律的方法是从特殊到一般,由题,观察图形可得：两条直线1个交点，三条直线1+2个交点，四条直线1+2+3个交点n条直线相交最多可形成的交点个数为1+2+3+…+n-1=，∴8条直线相交，最多可形成交点的个数为==28故选B．【点睛】本题属于找规律，利用数形结合思想，正确计算解题是关键．◎考点题型2垂线、垂线段定理、点到直线的距离1、垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。2、表示方法：如图，a⊥b，垂足为Ｏ．记作：a⊥b于点Ｏ．【注】①.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。②.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。3、垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4、垂线的画法：一落、二移、三画。【注】经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（如图，PA,PB,PC等线段中，PO最短）【注】①、垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。②、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。6、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。【注】点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．例．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第四十一中学校考期末）下列说法中，正确的是（

）A．有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角B．不相交的两条直线叫做平行线C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【分析】根据邻补角、平行线的概念、垂直的性质、同位角的概念解答即可．【详解】解：A、只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，原说法错误，故本选项不符合题意；B、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误，故本选项不符合题意；C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项符合题意；D、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了邻补角、平行线的概念、垂直的性质、同位角的概念，解题的关键是熟记相关概念并灵活运用．变式1．（2018春·七年级课时练习）数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段，正确的是(

)A．A B．B C．C D．D【答案】A【详解】A.根据垂线段的定义，故A正确；B.BD不垂直AC，所以错误；C.是过点D作的AC的垂线，所以错误；D.过点C作的BD的垂线，也错误.故选：A.变式2．（2022春·全国·七年级假期作业）若点P为直线a外一点，点A、B、C、D为直线a上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么点P到直线a的距离是A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3【答案】C【分析】利用垂线段最短的性质，得出点P到直线a的距离取值范围．【详解】∵点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA=3，PB=4，PC=5，PD=3，垂线段最短∴点P到直线a的距离是不大于3．故选C．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，利用PD=3，得出点P到直线a的距离是解题关键．变式3．（2019春·上海浦东新·七年级统考阶段练习）点在直线外，点在直线上，两点的距离记作，点到直线的距离记作，则与的大小关系是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】分两种情况：①a和b构成一个直角三角形，且a是斜边，b是直角边，所以a＞b；②若B是垂足时，a=b．【详解】如图，a是斜边，b是直角边，∴a＞b，若点A、点B所在直线垂直直线m，则a=b，故选C．【点睛】本题考查了点到直线的距离，明确点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度，属于基础题．◎考点题型3相交线中的角1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角443∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°【注】（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、同位角、内错角与同旁内角的知识点（1）同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。（2）内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。（3）同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。（4）三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。例．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）下列图形中与不一定相等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角，平行线，等角的余角相等等知识一一判断即可．【详解】解：A、根据对顶角相等可知，∠1=∠2，本选项不符合题意．B、∵∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意．C．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意．D、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．变式1．（2022秋·江苏·七年级专题练习）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（

）A．∠1＝∠4 B．∠4＋∠1＝90° C．∠1－∠4＝90° D．∠4－∠1＝90°【答案】D【分析】根据题意，得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，作差后，运用等量代换的思想即可确定．【详解】∵∠