2.1.2两条直线的平行和垂直的判定2

2.1.2两条直线的平行和垂直的判定明确学习目标课标要求1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．重点难点1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题知晓结构体系1夯实必备知识知识点1两条直线平行的判定1.直线平行的判定对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.2.理解(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．3.判断两条不重合的直线是否平行的思路知识点2两条直线垂直的判定1.直线垂直的判定对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示2.理解(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.(3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－eq\f(1,k2).3.判断两条直线是否垂直的思路在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．知识点3平行与垂直的在几何中的应用利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2提升学科能力题型一两直线平行的判定例1．已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件【答案】C【分析】根据题意，由直线斜率与直线的位置关系，即可判断.【详解】不重合的两直线与对应的斜率分别为与，当时，可得，当时，可得，故“”是“”的充分必要条件，故选：C．跟踪训练11．下列说法错误的有（

）A．若两直线斜率相等，则两直线平行；B．若，则；C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行.【答案】ABD【分析】利用直线平行或相交的判断进行分析即可.【详解】当时，与平行或重合，故A错误；当斜率不存在时，与也平行，故B错误；一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则它们必然相交，故C正确；两直线斜率都不存在，与平行或重合，故D错误.故选：ABD.2．判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)，；(2)，．【答案】(1)平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【分析】分别写出直线，的斜率，即可判断出其位置关系.【详解】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为，又直线，在y轴上的截距分别为1和，所以与不重合，从而；（2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为，所以与不平行．3．已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由.【答案】平行四边形，理由见解析【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系；【详解】如下图示：

OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率，BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率．由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得．同理，由且AB与CO不重合，得．因此四边形OABC是平行四边形．题型二已知直线平行求参数例2．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（）A．－1 B．－2C．－1或2 D．－2或1【答案】C【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】由题意得，因为，所以，即，化简得，所以或，又由得＝－1或2，故选:C.跟踪训练21．若，且直线AB与CD平行，则m的值为（

）A． B．0C．1 D．2【答案】BD【分析】分直线斜率存在和不存在讨论即可.【详解】当AB与CD斜率均不存在时，故得，此时；当时，即时，，解得，此时.故选：BD．2．已知直线：，：，若，则a的值为.【答案】【分析】根据直线平行斜率相等求解即可；【详解】因为，所以，解得：或，又因为不能重合，则，即，故故答案为：2.3．直线l经过点，，若直线l与直线平行，则．【答案】/0.5【分析】由题意，利用两直线平行的性质，直线的斜率公式，求得m的值．【详解】∵直线l经过点，，且与直线平行，∴，求得，故答案为：．题型三两直线垂直的判定例3．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合【答案】A【分析】利用根与系数的关系得，得到答案.【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根，，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直．故选：.跟踪训练31．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC2．满足下列条件的直线与，其中的是（

）A．的倾斜角为，的斜率为B．的斜率为，经过点，C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的方向向量为【答案】BCD【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.【详解】对A，，，，所以A不正确；对B，，，故B正确；对C，，，，故C正确；对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.故选：BCD3．判断下列各对直线是否垂直．(1)；(2)．【答案】(1)不垂直(2)垂直【分析】（1）根据斜率乘积不等于即可判断；（2）根据两直线倾斜角即可判断.【详解】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为，又因为的斜率为2，而且，从而可知与不垂直．（2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直．题型四已知直线垂直求参数例4．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标；【详解】设C点标为，直线AH斜率，∴，而点B的横坐标为6，则，直线BH的斜率，∴直线AC斜率，∴，∴点C的坐标为．故选:.跟踪训练41．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设，由题意可得，可化为，解得:或，即或．故选：AC2．若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为．【答案】【分析】求出直线l的斜率，利用直线垂直关系列式求出a的值即得.【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和，得直线的斜率，解得，所以实数a的值为.故答案为：3．已知直线经过点，直线经过点.若，求a的值.【答案】或【分析】求出直线的斜率，按直线的斜率存在与否讨论，并结合两条直线垂直的斜率关系计算即得.【详解】依题意，直线的斜率，当，即时，直线的斜率不存在，此时，直线不垂直；因此，直线的斜率存在，，由，得，则，整理得，解得或，所以或.题型五两直线平行和垂直的综合例5．已知直线经过，直线经过点.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解；（2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解.【详解】（1）由题可知直线的斜率存在且，若则直线的斜率也存在，由，得，即解得或，经检验，当或时，；（2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意，当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且，即，即，解得或，所以当或时，.跟踪训练51．已知直线：，：，则下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，在x轴上的截距相等则D．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍【答案】AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确性.【详解】若，则，得，选项A正确；若，则，得，选项B正确；若，在x轴上的截距相等，则，解得，选项C错误；当时，的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D错误．故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.2．已知，求取什么值时，直线与直线：(1)重合；(2)平行；(3)垂直．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据两直线重合，则斜率与在轴截距相等，列出方程，即可得到结果；（2）根据两直线平行，则斜率相等，在轴截距不相等，列出方程，即可得到结果；（3）根据两直线垂直，则斜率乘积为，列出方程，即可得到结果.【详解】（1）直线的斜率，它在y轴上的截距．直线的斜率，它在y轴上的截距．则重合，．（2）平行，．（3）垂直．3．已知直线l1经过，直线l2经过点.(1)若l1∥l2，求的值；(2)若l1⊥l2，求的值.【答案】(1)＝1或＝6(2)＝3或＝－4【分析】（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值，（2）由k1k2＝－1，可求出的值.【详解】（1）由题知直线l2的斜率存在且，若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得，解得m＝1或m＝6，经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，即，解得m＝3或m＝－4，所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.题型六两直线平行和垂直在几何中的应用例6．如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【答案】平行四边形，证明见解析.【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状.【详解】由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.因为，，所以，.因此四边形是平行四边形.跟踪训练61．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（）A．平行四边形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对【答案】B【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.【详解】，，则，所以,与不平行，因此故构成的图形为直角梯形.故选：B.2．已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形.【答案】证明见解析【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可.【详解】，，且不在一条直线上，则直线与直线平行，且，则四边形是梯形.3．已知的顶点，，．(1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值．(2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值．(3)若为直角三角形，如何求解的值？【答案】(1)；(2)或；(3)或或【分析】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得；（2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得；（3）结合（1）（2）得解.【详解】（1）因为为直角顶点，所以，由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得．（2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点．若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得；若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得．综上可知，或．（3）若为直角顶点，由（1）知；若为直角顶点，由（2）知；若为直角顶点，由（2）知．综上可知，或或．3质量检测评价一、单选题1．过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0，又因为直线斜率为0，所以两直线平行.故选：B2．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，其中正确命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确；由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D．3．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可.【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且.因为直线l与斜率为的直线垂直所以，解得.故选：A.4．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及直线的斜率关系判定直线位置关系即可.【详解】不妨设两直线的斜率分别为，则由题意有，所以两直线互相垂直.故选：A5．以为顶点的四边形是（

）A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.【详解】

在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中，，，所以四边形ABCD是直角梯形；故选：D.6．已知直线，的斜率是方程的两个根，则（

）A． B．C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定【答案】C【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，根据判别式以及韦达定理可得到结果.【详解】设直线的斜率分别为，因为，所以方程有两个不相等的实数根，所以与相交．又，所以与不垂直．故选：C二、多选题7．已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则【答案】ACD【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD.8．已知点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】由直线的斜率，判断直线的平行与垂直.【详解】由斜率公式知，，，，且四点不共线，则，A选项正确；，，B选项正确；，，C选项正确；，，，，D选项正确．故选：ABCD．三、填空题9．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为．【答案】【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果.【详解】因为直线的倾斜角为，所以，又，所以.故答案为：10．已知直线的倾斜角为，，则直线的斜率，的倾斜角.【答案】//【分析】由题意得，，再由斜率公式即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为，，所以，直线的斜率为：.故答案为：；1