第09讲点到直线的距离

第09讲点到直线的距离模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识点1点到直线的距离点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).知识点2两条平行直线之间的距离两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))提醒：两直线方程中x、y的系数必须相同，不同的话，应该先整理.考点一：求点到直线的距离例1.（2324高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为.【答案】【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可.【详解】直线可化为，令，解得，于是此直线恒过点.由点到直线的距离公式得到直线的距离.故答案为：【变式11】（2324高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】设点为直线上一点，则，所以，即直线的方程为，所以原点O到l的距离为.故选：C.【变式12】（2324高二下·福建泉州·阶段练习）已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是C．点到直线的距离是 D．若直线：，则【答案】B【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D.【详解】对于A，直线，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以A错误；对于B，过与直线平行的直线方程是，即，故B正确；对于C，点到直线的距离是，所以C错误；对于D，直线：的斜率为，故，故D错误.故选：B．【变式13】（2324高二下·上海·期中）点到直线的距离为.【答案】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】点到直线的距离.故答案为：考点二：已知点到直线的距离求参数例2.（2324高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程．【答案】或【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即∵点到的距离为1，∴，解之得，得的方程为．当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1，∴直线的方程为或．【变式21】（2122高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（

）A． B．C．或 D．或.【答案】C【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.【详解】因为点为轴上一点，可设点，又因为点到直线的距离等于1，可得，整理得，即，解得或，所以点的坐标为或.故选：C.【变式22】（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则【答案】【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得.【详解】依题意，，所以.故答案为：【变式23】（2324高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为.【答案】或【分析】由距离公式，解方程得出a的值.【详解】由距离公式可得，，即，解得或.故答案为：或.考点三：直线围成图形的面积例3.（2324高二上·江苏·开学考试）已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求：(1)求点坐标；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用中点坐标公式及点在直线上即可求解；（2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）设，根据中点公式结合点在直线上，点在直线上，则有，解得，所以点坐标为.（2）由（1）知，，所以,所以直线方程为，即.所以.由，解得，所以.点到直线的距离为，所以的面积为【变式31】（2223高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为．【答案】/【分析】由直线的两点式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式可求出边上的高，再由两点间距离公式可得，再结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【详解】由两点式可得直线的方程为，即为，再由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离，且两点间的距离为，所以的面积为.故答案为：【变式32】（2324高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点是，，．(1)求边上的高所在的直线方程；(2)求的面积，【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用垂直关系和两点连线斜率公式可求得三条高所在直线斜率，利用直线点斜式方程可整理得到结果；（2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得底边长和高，代入三角形面积公式即可.【详解】（1），，，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线方程为：，即；边上的高所在直线方程为：，即；边上的高所在直线方程为：，即.（2）所在直线方程为：，即，点到边的距离，又，的面积.【变式33】（2324高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，.(1)求直线CD的方程；(2)求平行四边形ABCD的面积.【答案】(1)(2)8【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程；（2）求出点到直线CD的距离d和，由此能求出平行四边形的面积．【详解】（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，∴，∴直线CD的方程为：，整理得直线CD的方程为．（2）点到直线CD的距离，，∴平行四边形的面积.考点四：求到两点距离相等的直线方程例4.（2324高二上·山东烟台·期中）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程．(1)在两坐标轴上的截距相等；(2)，到直线l距离相等．【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）讨论截距是否为0，求对应直线方程；（2）讨论两点与直线的位置，利用直线平行、点对称求直线方程.【详解】（1）若直线过原点，令，则，故直线为；若截距不为0，令，则，故直线为；综上，直线方程为或.（2）若，在直线的同一侧，即直线直线，而，故直线为，则；若，分别在直线的两侧，即关于直线上一点对称，所以中点在直线上，又直线l过点，故直线为；综上，直线l的方程为或.【变式41】（2324高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意，当直线的斜率存在时，设为，则可设直线方程为：，即，由于点与点到直线的距离相等，则，解得，故直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为或．故选：C．【变式42】（2324高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为.【答案】或【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解.【详解】当直线有斜率时，设直线方程为，到直线的距离相等，则，解得，所以直线方程为，即，当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意，综上可得：或，故答案为：或【变式43】（2324高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；【答案】或【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点．【详解】联立，解得，交点为，分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.综上所述，所求直线方程为或.考点五：求平行直线之间的距离例5.（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线．(1)若这两条直线垂直，求实数的值；(2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离．【答案】(1)2；(2).【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得.（2）由两条直线平行求出，再利用平行线间距离公式计算即可.【详解】（1）直线，即与直线垂直，则，解得，所以实数的值为2.（2）由这两条直线平行，得，解得，则直线为，所以这两条平行线间的距离.【变式51】（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用平行线间距离公式计算即得.【详解】平行直线和之间的距离.故选：A【变式52】（2324高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.【详解】因为，所以，故，故.故之间的距离为，故选：D.【变式53】（2324高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则，与之间的距离为.【答案】【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得.【详解】因为直线与互相平行，所以，解得，则，所以与之间的距离.故答案为：；.考点六：由距离求与已知直线平行的直线方程例6.（2223高二上·新疆伊犁·期末）已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程.【答案】或【分析】求出直线的方程，根据所求直线与直线平行，设所求直线方程，结合平行线间的距离公式求出参数的值，即可得出所求直线的方程.【详解】解：直线的斜率为，所以直线的方程为，即，设所求直线方程为，则，即，解得或，故所求直线方程为或.【变式61】（2324高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案.【详解】设所求的直线方程为，由题意得，解得或，所以所求直线方程为或.故选：B【变式62】（多选）（2023高二上·全国·专题练习）到直线的距离等于的直线方程可能为（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先根据题意分析出所求直线与已知直线平行；再设出直线方程，根据平行线间距离公式即可得出答案.【详解】因为所求直线与直线的距离为，则所求直线与已知直线平行.设所求直线方程为，则，解得或，故所求直线方程为或.故选：CD【变式63】（多选）（2324高二上·山西运城·期中）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】设所求直线方程为，再利用平行直线的距离公式可得.【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或．故所求直线的方程为或．故选：AB考点七：直线关于点对称问题例7.（2122高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为.(1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解；（2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可；法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解.【详解】（1）由得交点，由直线与直线垂直，则可设直线的方程为，又直线过点，代入得，则，所以直线的方程为；（2）法一：由题意可得直线与直线平行，则可设直线方程为：，由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等，即，得（舍）或，所以直线的方程为.法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为，且点在直线上，得，化简得直线的方程为.【变式71】（2324高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上，∴，解得，即一定在直线上.故选：C.【变式72】（2324高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.【详解】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则，由于点在直线上，关于点的对称点为，故在上，代入可得，故，故选：A【变式73】（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．【答案】【小题1】【小题2】【小题3】【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解.（2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程.（3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可.【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为，则有题意可得，解得，故点关于直线的对称点的坐标为．（2）由可得，直线与直线的交点为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则由解得，即．由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为，则直线方程为，化简为．（3）在直线上任意取出两个点，求出这两个点关于点对称点分别为由题意可得，是所求直线上的两个点，则直线斜率为3，则所求直线方程为，即．考点八：直线关于直线对称问题例8.（2223高二·全国·课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程．【答案】【分析】联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程.【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为，可得点也在直线上．再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，可得，解得，即点的坐标为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故直线的方程为.【变式81】（2324高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程.【分析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上，故所求直线方程为，即.故选：A.【变式82】（2324高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案.【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，则，解得，∵点在直线上，即，∴，化简得，即为所求直线方程.故选：B.【变式83】（2021高二·全国·课后作业）已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解；（2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解【详解】（1）因为，所以．设直线的方程为（，且）．在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点的坐标为．把点的坐标代入直线的方程，得，解得，所以直线的方程为．（2）由，得，所以与的交点坐标为．另取上不同于A的一点，设关于的对称点为，则，得，即点的坐标为．所以过与的直线的方程为，即．考点九：由平行线之间距离、两点到直线距离相等求参数例9.（多选）（2324高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（

）A． B． C．12 D．14【答案】BD【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.【详解】将直线化为，则，之间的距离，即，解得或．故选：BD．【变式91】（2324高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（

）A．1 B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解.【详解】若，在直线的同侧，则，解得．若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．故选：C【变式92】（2324高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（

）A． B．6 C．或4 D．4或6【答案】D【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可.【详解】点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，所以，所以或.故选：D.【变式93】（2324高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（

）A．或4 B．4 C．或6 D．或16【答案】D【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以，因为直线与直线间的距离为2，所以，解得或.故选：D.1．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.【详解】原点到直线间的距离是：.故选：A2.（2324高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】求出点到直线的距离，易知即可得出结论.【详解】易知点到直线的距离为，所以，因此的值不可能是1.故选：A3．（2223高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（

）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.【详解】点到直线的距离为4，可得，解得.故选：D.4．（2324高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得.【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点，则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点，所以，所求方程为，即.故选：D5．（多选）（2324高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（

）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】BC【分析】根据平行关系求出，两平行线间的距离求出可得答案.【详解】由题意知，解得，所以：，又：，即，所以，解得或，所以或．故选：BC．6.（多选）（2324高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（

）A．直线的方程为B．点到直线的距离为C．为等腰直角三角形D．的面积为【答案】ABC【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对；对于B选项，直线的斜率为，所以直线的方程