2024-2025学年新教材高中数学第二章函数2.3函数的单调性和最值2.3.1函数的单调性一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1其次章函数§3函数的单调性和最值课时1函数的单调性学问点1函数单调性定义的理解1.☉%￥*#234￥9%☉(2024·辽宁沈阳高一月考)如图2-3-1-1是函数y=f(x)的图像,则此函数的单调递减区间的个数是()。图2-3-1-1A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：由图像,可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个。故选B。2.☉%3￥@6￥76*%☉(2024·湖北黄冈联考)若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式肯定成立的是()。A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)答案：D解析：因为f(x)是R上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2)。故选D。3.☉%56**9#*7%☉(2024·武汉六中高一检测)已知函数f(x)是R上的增函数,对随意实数a,b,若a+b>0,则有()。A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)答案：A解析：因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)。故选A。4.☉%6#0￥8@#7%☉(2024·广东佛山高超区一中高一月考)设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()。A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能确定答案：D解析：因为分别在两个区间,所以不能确定f(x1)与f(x2)的大小关系。故选D。5.☉%9@1@0#@5%☉(多选)(2024·安徽太和中学高一检测)下列命题不正确的是()。A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上肯定是减函数D.若函数f(x)是区间I上的增函数,且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x2答案：ABC解析：A项中,并不是对随意x1,x2都成立,故A错;B项中,虽然有无穷多对,但也不能代表“全部”“随意”,故B错;C项中,以f(x)=1x为例,虽然在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,但在整个定义域上却不具有单调性,故C错。故选ABC6.☉%￥22**65￥%☉(多选)(2024·浙江杭州四中高一月考)假如函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于随意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),那么下列结论中正确的是()。A.f(B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)答案：ABD解析：由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确。故选ABD。学问点2函数单调性的推断7.☉%@637#￥@1%☉(2024·武汉二中高一检测)下列函数中,在(0,2)上是增函数的是()。A.y=1x B.y=2xC.y=1-2x D.y=(2x-1)2答案：B解析：对于A,y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;对于B,y=2x-1在R上单调递增;对于C,y=1-2x在R上单调递减;对于D,y=(2x-1)2在-∞,12上单调递减,8.☉%6@7￥#￥59%☉(2024·永州一中高一检测)函数y=2--x2+4x的值域是A.[-2,2] B.[1,2]C.[0,2] D.[-2,2]答案：C解析：要求函数y=2--x2+4x的值域,只需求t=-x2+4x,x∈[0,4]的值域即可。设二次函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,x∈[0,4],所以f(x)的值域是[0,4]。因为t=f(x),所以t的值域是[0,2],所以9.☉%#9###757%☉(2024·河北石家庄二中高一月考)下列结论中,正确的是()。A.函数y=kx(k为常数,且k<0)是R上的增函数B.函数y=ax2(a>0)在R上是增函数C.函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)D.若函数f(x),g(x)都在区间M上单调递减,则f(x)+g(x)也在区间M上单调递减答案：D解析：A项,当k<0时,函数的图像从左向右看是下降的,故为减函数,该项错误;B项,函数y=ax2(a>0)的图像的对称轴为直线x=0,开口向上,故函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故该项错误;C项,函数y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但两个单调区间不能用“∪”连接,故该项错误;D项,两个在共同区间上单调性相同的函数之和在该区间上单调性不变,该项正确,故选D10.☉%9##￥249*%☉(2024·长郡中学高一周测)若函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在(0,+∞)上()A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增答案：B解析：由于函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上均为减函数,故a<0,b<0,故二次函数f(x)=ax2+bx的图像开口向下,且对称轴为直线x=-b2a<0,故函数y=ax2+bx在(0,+11.☉%#*592#6￥%☉(2024·昆明一中高一周测)已知函数f(x)=4-x2,若0<x1<x2<x3,则f(x1)x1A.f(x1)x1<f(x3C.f(x3)x3<f(x2答案：C解析：由题意可得0<x1<x2<x3≤2,而f(x)x=4-x2x=4x2-1,所以f(x12.☉%#**8367#%☉(2024·中山调考)试探讨函数f(x)=axx2-1,x∈(-1,1)的单调性(其中答案：解:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2。则f(x2)-f(x1)=ax2x22因为-1<x1<x2<1,所以|x1|<1,|x2|<1,x1-x2<0,所以x12-1<0,x22-1<0,|x1x2|<1,即-1<x所以x1x2+1>0,所以(x因此,当a>0时,f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),此时函数f(x)为减函数;当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数。题型1求函数的单调区间13.☉%#9￥745*#%☉(2024·山西榆社中学月考)函数y=f(x)的图像如图2-3-1-2,则函数f(x)的单调递增区间是。

图2-3-1-2答案：(-∞,1]和(1,+∞)解析：由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞)。14.☉%*5509@￥*%☉(2024·河北衡水中学高一月考)已知函数y=f(x)在R上是单调递减函数,则函数y=f(|x-3|)的单调递减区间是()。A.(-∞,+∞) B.[3,+∞)C.[-3,+∞) D.(-∞,3]答案：B解析：设t=|x-3|,当x≥3时,函数t=|x-3|单调递增,当x≤3时,函数t=|x-3|单调递减。因为函数y=f(x)在R上是单调递减函数,所以依据复合函数的单调性之间的关系,知y=f(|x-3|)的单调递减区间是[3,+∞)。15.☉%8*#787￥*%☉(2024·辽宁鞍山一中高一月考)函数y=-(x-3)|x|的递增区间为。

答案：0,解析：y=-(x-3)|x|=-x2+3x,x16.☉%4@03￥￥9￥%☉(2024·衡阳一中高一月考)已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),求g(x)的单调区间。答案：解:令u(x)=5-x2,则u(x)在(-∞,0]上为增函数,在[0,+∞)上为减函数,且u(0)=5,f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,即函数u(x)的单调性是以0为界划分,函数f(x)的单调性是以1为界划分,令5-x2=1,解得x=±2,列表如下:x(-∞,-2][-2,0][0,2][2,+∞)u(x)=5-x2增增减减u(x)(-∞,1][1,5][1,5](-∞,1]f(u)减增增减f(5-x2)减增减增所以函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2],[0,2],单调递增区间为[-2,0],[2,+∞)。题型2函数单调性的应用17.☉%658@*￥@5%☉(2024·福建厦门一中高一月考)假如函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,那么实数a的取值范围是()。A.-14,C.-14,答案：D解析：当a=0时,f(x)=2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的;当a>0时,由函数f(x)=ax2+2x-3的图像知,不行能在区间(-∞,4)上单调递增;当a<0时,只有-22a≥4,即-14≤x<0满意函数f(x)在区间(-∞,4)上是单调递增的。综上可知,实数a的取值范围是-18.☉%@5*4*66#%☉(2024·河北枣强中学高一期末)已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案：D解析：画出图像可得函数f(x)在实数集R上单调递增,故由f(2-a2)<f(a),可得2-a2<a,即a2+a-2>0,结合二次函数的图像解得a<-2或a>1。故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞)。故选D。19.☉%*@12@6@0%☉(2024·山西大同一中高一月考)已知函数f(x)=-x2-ax-5(x≤1),A.-3≤a<0 B.a≤-2C.a<0 D.-3≤a≤-2答案：D解析：函数f(x)=-x2-ax-5(x≤1),ax(x>1)是R上的增函数,则f(x)=-x2-ax-5(x≤1)单调递增,故-a2≥1,即a≤-2,此时f(x)=ax(x>1)也单调递增,要保证在R上是增函数,只需在x=1处满意-12-a×20.☉%￥8*24#7@%☉(2024·陕西子洲中学高一第一学期第一次月考)已知函数f(x)=ax2-x+1(a≠0),若对随意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2A.[1,+∞) B.(0,1]C.(0,+∞) D.1答案：D解析：依题意可得a>0,--12a21.☉%@884@2**%☉(2024·合肥模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=。

答案：-6解析：函数f(x)=|2x+a|的图像关于直线x=-a2对称,故有-a2=3,所以a22.☉%*￥4833￥￥%☉(2024·福建福州一中高一月考)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),则t的取值范围是。

答案：13解析：因为g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),所以t>1-2t,所以t>13,即所求t的取值范围为123.☉%#5379￥*￥%☉(2024·南宁模拟)已知函数f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0,则满意不等式f(1-答案：(-1,2-1)解析：因为x2+1≥1,所以由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,124.☉%6*1*46@￥%☉(2024·北京丰台二中高一月考)设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满意f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1。(1)求f(1);答案：解:因为f(3)=f(1×3)=f(1)+f(3),所以f(1)=0。(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。答案：f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2,从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),即f(x(x-8))≤f(9),又因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,所以x(x-8)≤9,x>25.☉%#*221@5@%☉(2024·内蒙古巴彦淖尔一中高一月考)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)。(1)若f(-1)=0且对随意实数x均有f(x)≥0,求函数f(x)的表达式;答案：解:因为f(-1)=0,所以b=a+1。①因为f(x)=ax2+bx