广东省2025届高三久洵杯七月调研测试数学试题（解析版）

2025届普通高中毕业生久洵杯七月调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出每个集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】对于集合，，．对于集合，有，解得，，.故选：D．2.已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的夹角余弦公式以及向量共线的条件求出“向量与向量的夹角为钝角”的等价条件，再结合充分条件与必要条件的的定义即可得解.【详解】由向量与向量的夹角为钝角，得，且向量与向量不共线，所以，即，由有，解得，所以的取值范围是．故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件，故选：A．3.已知复数z满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据求出，求出，求出，求出.【详解】由，有，，，.故选：B．4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合两角差的正弦公式求解即可.【详解】由正弦定理得，即，或．若，结合，有，故舍去．．，，故选：D．5.记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义即可求解.【详解】过点作的垂线，垂足为，则，则，如图所示.所以的最小值为.故选：B．6.记A，B为随机事件，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．【详解】记，由全概率公式有，代入数据有，解得，，故选：D．7.已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦函数性质得三点坐标，再由，结合有，建立方程即可求出，最后将代入函数解析式即可得解.【详解】由正弦函数性质有，，，由是直角三角形，可得，结合有，，，解得或（舍去），，，.故选：C.8.已知面积为的锐角三角形满足，将以为轴旋转至，且，则三棱锥体积的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】取中点为D，过作，记，，可得，．根据三角形面积得，利用表示锥体体积，结合导数方法求函数的最大值.【详解】取中点为D，则，．过作，垂足为．记，，则，．根据三角形面积得，要使三棱锥的体积最大，则最大．，．，其中，令，记，，令，或（舍），当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；，，，故选：A．【点睛】求解三棱锥的体积方法：公式法；等体积变换法.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（）A.该组数据极差为25B.该组数据的分位数为19C.该组数据的平均数为17D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根据数据的极差、第百分位数和平均数的公式计算判断各个选项；【详解】对于A项，极差等于，故A正确；对于B项，，故分位数为20，B错误；对于C项，平均数等于；故C正确；对于D项，去掉17后，这两组数据平均数相等，故D项正确，故选：ACD．10.已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（）A.是等差数列B.的通项公式为或C.若，则D.若，则为定值【答案】AB【解析】【分析】由题意得或．构造数列1，1，，1，，1，，…，或中的所有项保持同样的递推关系判断A，B；对于C满足，累乘法求解通项公式和进行判断；若，有，，故．奇偶分类讨论得到，为定值0，判断D；【详解】由，因式分解得，或．对于A，B项，构造数列1，1，，1，，1，，…，则该数列满足题意且A，B均错误，当中的所有项保持同样的递推关系（即同为或），则A，B均正确，故A，B符合题意，对于C，注意到若存在使得，则，则对于C只能满足，累乘得，，当时也符合，，，故C正确，不符合题意；对于D，若，则，故，故．当为奇数，，所以当为偶数，，所以，奇偶分类讨论有，注意到，则为定值0，故D正确，不符合题意；故选：AB．11.已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（）A. B.函数是减函数C.点B可能在以为直径的圆上 D.h的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函数的性质求解参数判断A，利用导数判断B，利用圆的性质判断C，利用不等式的取等条件判断D即可.【详解】对于A选项，由是偶函数得到，则，解得，故A正确；对于B选项，，故，且恒成立，故得减函数，故B正确；对于C选项，由B知，即，由对称性，可设，则．若点B在以为直径的圆上，则有，带入即，即．若，则，不满足题意；若，，而，，故B不可能在以为直径的圆上，故C错误；对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等），而，记，则，当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，故h的最大值为，故D正确．故答案选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是找到不等式取等条件，然后得到参数值，得到所要求的最值即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】利用给定条件得到相位差，表示出，再求解即可.【详解】由，可得，与的相位差为，故，，，故答案为：．13.写出一个同时具有下列性质的函数__________．a．是偶函数b．不存在对称中心c．存在最小正周期，且最小正周期为2【答案】【解析】【分析】根据是偶函数，不存在对称中心，存在最小正周期，且最小正周期为2写出.【详解】由题意可知，是偶函数，不存在对称中心，存在最小正周期，且最小正周期为2，所以满足题意.故答案为：.14.已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程求解离心率即可.【详解】如图记直线与直线的交点为P，且连接，则，由对称性有过坐标原点O且．由有，，又，，，，，，即，，在中，，在中，，解得，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用给定条件求出各个三角形的边长，然后利用余弦定理表示同一个角，得到所要求的离心率即可．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.投掷一枚硬币n（，）次，正面向上与反面向上的概率均为0.5，记事件A为“n次抛掷中既有正面向上也有反面向上”，B为“n次抛掷中至多一次正面向上”．（1）若，求；（2）证明：事件A，B相互独立的充要条件为．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由二项分布的概率公式直接计算即可；（2）分充分性、必要性两方面进行求解即可.【小问1详解】记X为n次投掷中硬币正面朝上的次数，则，当时，；【小问2详解】，，．充分性：当时，代入有，，此时，充分性成立；必要性：由有，记，，，等号当且仅当时成立，时，单调递增，必要性成立．综上所述，事件A，B相互独立的充要条件为．16.如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）侧面是边长为2的正方形得到和的关系，、和的长度，根据侧面是平行四边形得到和，在中，由余弦定理得，判断的形状，证明平面，证明；（2）取的中点，记为D，连接，．证明，，平面，求出二面角的平面角，证明平面，记二面角为，表示出与的关系，找到和的关系，求出，求出，证明，求出.【小问1详解】侧面是边长为2的正方形，，，，侧面是平行四边形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；【小问2详解】取的中点，记为D，连接，，，，，，，，平面，平面，为二面角的平面角．又平面，，平面，记二面角为，则，，，．平面，，，，，的值为．17.已知函数，．（1）求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若存在两个极值点，，讨论和的大小关系．【答案】（1）极小值为，没有极大值（2）答案见详解（3）答案见详解【解析】【分析】（1）对求导，令求得，的零点把定义域划分为和判断各个区间的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点，再求出对应的极值即可；（2）对求导，并对的导函数进行整理，整理成因式乘积的形式，然后根据不同的对的导函数正负的影响进行讨论，从而得到的单调性；（3）由（2）可以得到，，结合，得到取不同范围时的范围，再结合函数的单调性，从而判断和的大小关系．【小问1详解】，时，时，在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，没有极大值．【小问2详解】情形一若，可得恒成立，且，时，，故在单调递减；时，，故在单调递增；情形二若，，则，在单调递增；情形三若，令，解得或，又由（1）知当时，可得，时，，故在单调递减；和时，，故在和单调递增．综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增；若，，在单调递增；若，时，单调递减，和时，单调递增．【小问3详解】由（2）知，只能是，，由，则，解得且，又当时，，，由在上单调递减可知；当时，，，由在上单调递增可知．综上所述，时，；时，．18.记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）求；（3）求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设点，联立直线和的方程求出，则代入，可以得到点Q的轨迹方程.（2）运用两点间距离公式得到，，，，求出；求出，求出结合初中几何结论，求即可.（3）由（2）同理可求得，将四边形转化为，的面积之差，结合余弦定理和基本不等式求解即可.【小问1详解】设点，则，则.由题知，直线的方程为，直线的方程为，联立直线和的方程有，设，则代入，得到,点Q的轨迹方程为．【小问2详解】，同理可得，，，由对称性，可设，时，则，；所以，此时；时，由对称性可设，设l与x轴交于点M，则由初中几何有，，代入有，此时．综上所述，．【小问3详解】由（2）同理可证明，记四边形，，的面积分别为，，，则，由前面知，，，当且仅当时取等；在中，有，代入数据有，，当且仅当时取等，，当且仅当时取等．综上所述，四边形面积的最大值为．【点睛】知识点点睛：本题综合了轨迹方程，椭圆定义，对称性，焦半径，线段定值，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，同角三角函数关系，函数最值问题，综合性较强，属于难题19.对于一个非零整数和质数p，我们称n中含的p幂次为，定义为最大的非负整数k，使得存在非零整数m，有，例如，等等．且补充定义一个非零有理数的，如，，且规定．现在对于任意一个有理数，我们定义其的“p示数”为，其中，规定．记两个有理数x，y的“p示数距离”为．（1）计算，，；（2）证明对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数，……使；（3）给定质数p，若一个无穷集合A中任意一数列，对于任意，，则我们称集合A是“p一紧致的”．是否存在质数p，使得整数集是“p一紧致的”？若存在，求出所有p；若不存在，请说明理由．【答案】（1），，（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据