河北省邯郸市魏县2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版）

数学本试卷4页.总分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，复数满足，则（）A.B.复数在复平面内所对应的点的坐标是C.D.复数在复平面内所对应的点为，则3.已知向量满足，则（）A.5 B. C. D.204.若，则的最大值为（）A. B. C. D.5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A B. C. D.6.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（）A. B.2 C. D.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若一组数据的方差为0.2，则的方差为1B.68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关D若变量，则10.已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（）A.B.在区间上的最大值和最小值之和为C.为的极小值点D.方程有两个不同的根（e为自然对数的底）11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（）A. B.C.的最大值为 D.当时，与曲线只有一个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______．13.已知，则的最小值为______．14.若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值．16.已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标．17.如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．（1）当时，试确定点的位置并证明；（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．18.已知函数.（1）若，求值；（2）证明：当时，成立19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点