1.4 充分条件与必要条件-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

1.4充分条件与必要条件【考点梳理】考点一：充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件考点二：充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.【题型归纳】题型一：充分条件和必要条件的判断1．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，命题，则A是B的什么条件（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件2．（2022·甘肃庆阳·高一期末）“”是“且”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型二：根据充分不必要条件求参数问题4．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏常州·高一期末）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．6．（2021·全国·高一）已知p：，q：，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题7．（2022·湖北·高一阶段练习）已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是（

）A．（1，2） B．（-1，0） C．[1，2] D．[—1，0]8．（2021·云南德宏·高一期末）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）已知：关于的方程的解集至多有个子集；：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或题型四：充要条件问题10．（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）“”是“”成立的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．（2021·全国·高一单元测试）设集合，，则“且”成立的充要条件是（

）A． B． C． D．12．（2021·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（

）A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件题型五：根据充要条件求参数问题13．（2021·江苏·高一课时练习）设，则“”的充要条件是（

）A．a，b不都为1 B．a，b都不为0C．a，b中至多有一个是1 D．a，b都不为114．（2021·江苏·高一课时练习）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．715．（2021·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式在上恒成立”的充要条件是A． B． C． D．题型六：充分条件与必要条件的综合16．（2022·重庆复旦中学高一开学考试）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.17．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）已知集合，集合(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.18．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．【双基达标】一、单选题19．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．20．（2022·全国·高一专题练习）已知命题p：“”，命题q：“”．则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．（2022·新疆吐鲁番·高一期末）下列各题中，p是q的充要条件的是（

）A．p：，

q：B．p：，

q：C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分D．p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例23．（2022·北京朝阳·高一期末）“”是“关于的方程有实数根”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件24．（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【高分突破】一：单选题25．（2022·江苏·高一）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件26．（2021·安徽·高一期中）命题“，都有”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．27．（2021·湖北·武汉市第十四中学高一阶段练习）已知，，，，，均为不为零的常数，命题甲：不等式，的解集相同，命题乙：，则甲是乙的（

）条件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题28．（2022·福建厦门·高一期末）已知a，，则的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．29．（2022·广东肇庆·高一期末）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件30．（2022·广东广州·高一期末）下列四个命题中为真命题的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于的方程有实数根的充要条件是D．若集合，则是的充分不必要条件31．（2022·全国·高一专题练习）下列选项中p是q的必要不充分条件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝032．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件33．（2021·山东·泰安一中高一阶段练习）已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是（

）A． B．m∈C．m∈ D．34．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中）已知命题，，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．三、填空题35．（2022·江苏·高一）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．36．（2022·全国·高一）已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．37．（2022·湖南·高一课时练习）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“”是“”的______；（2）“，”是“”的______；（3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的______；（4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的______．38．（2021·辽宁·高一期中）已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.39．（2021·北京八中高一期中）已知，给出下列四个条件：①；②；③；④.使“”成立的必要不充分条件是___________.四、解答题40．（2022·全国·高一）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知集合，．(1)当时，求，；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．42．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合，．(1)当时，求；(2)若________，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．43．（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）已知集合或，集合(1)若，且，求实数的取值范围．(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围44．（2021·江苏常州·高一期中）已知，且M=xm−2<x<m+2，，且或.(1)若，，求实数的值；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.45．（2021·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）已知全集，，，.(1)当时，求阴影部分表示的集合；(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.46．（2022·全国·高一）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.47．（2021·江苏·高一单元）已知“，使等式”是真命题(1)求实数m的取值范围M(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.【答案详解】1．B【详解】由得，则，所以集合，集合，显然是的子集，所以A是B必要不充分条件.故选：B.2．A【详解】当时，满足，而不成立，当且时，，所以，所以“”是“且”的必要而不充分条件，故选：A3．A【详解】解：因为，所以或，当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；当或时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A4．C【解析】【分析】根据充分不必要条件可知，即可求的a的范围.【详解】由题意可得，则需，解得，即实数a的取值范围是.故选：C.5．D【解析】【分析】根据充分不必要条件建立不等式即可求解.【详解】因为，根据“”是“”的充分条件，可知，所以，再“”是“”的充分不必要条件，可知.故选：D6．B【解析】【分析】解一元二次不等式，写出命题p，q所对集合，再由集合的包含关系即可列式求解.【详解】解不等式得：或，记命题p所对集合，命题q所对集合，由p是q的充分不必要条件得：AB，于是得，所以实数m的取值范围是.故选：B7．C【解析】【分析】先化简集合B，再根据“”是“”的必要不充分条件求解.【详解】解：由题意得，因为“”是“”的必要不充分条件，所以，则且等号不同时成立，解得，故选：C8．C【解析】【分析】求解不等式化简集合，，再由题意可得，由此可得的取值范围．【详解】解：由，即，解得或，所以或，，命题是命题的必要不充分条件，，则．实数的取值范围是．故选：C．9．A【解析】【分析】根据条件得到是的充分不必要条件，再求出命题中的范围，列出不等式求解即可.【详解】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，对于，依题意，知，所以，设，，由题意知，所以，解得，经检验满足题意故选：A.10．A【解析】【分析】分别解不等式、求出的范围，再利用充要条件的定义判断可得答案.【详解】由得，即，由得，所以“”是“”成立的充要条件.故选：A.11．D【解析】【分析】根据题意得到，再计算得到答案.【详解】由题意可知，，，即，所以“且”成立的充要条件是．故选：D．12．B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】依题意是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，，所以是的充要条件，A、C错误;是的充分不必要条件,D错误;是的充要条件，B正确.故选：B13．D【解析】【分析】由，求得且，即可求解.【详解】由，可得，所以且，所以“”的充要条件是“都不为”.故选：D.14．C【解析】由两个集合相等可求得参数．【详解】由已知，，由p是q充要条件得，因此解得，故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础．命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．15．A【解析】【分析】根据“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，令f（x）＝x2﹣x+m，开口向上，根据判别式△＜0，求出m的范围，根据充要条件的定义，进行求解；【详解】∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m，又∵m⇒△＝1﹣4m＜0，所以m是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，故选A．【点睛】本题考查充要条件的判断，涉及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是条件转化的等价性，属于基础题．16．(1)(2)条件选择见解析，【解析】【分析】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围(1)当时，集合，，所以；(2)若选择①A∪B＝B，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是．17．(1)；(2).【解析】【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.(1)解：由已知得，故有，解得，故的取值范围为.(2)解：当时，则，解得；当时，则或，解得.∴的取值范围为.18．(1)(2)或【解析】【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.(1)当时，集合，集合，所以；(2)i.当选择条件①时，集合，当时，，舍；当集合时，即集合，时，，此时要满足，则，解得，结合，所以实数m的取值范围为或；ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；故，实数m的取值范围为或.19．D【解析】【分析】根据全称命题的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可.【详解】，因为命题“，”为真命题，所以有，显然选项A是充要条件，由不一定能推出，由不一定能推出，由一定能推出，故选：D20．B【解析】【分析】分析得到命题p：“或”再判断即可【详解】命题p：令，可得，即，故或，解得或，故p是q的必要不充分条件故选：B21．A【解析】【分析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp．【详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q．但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要条件．故选：A.22．D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，满足，所以充分性不成立，反之：当时，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分条件，不符合题意；对于B中，当时，可得，即充分性成立；反之：当时，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意；对于C中，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立；反之：若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意；对于D中，若两个三角形相似，可得两个三角形三边成比例，即充分性成立；反之：若两个三角形三边成比例，可得两个三角形相似，即必要性成立，所以是的充分必要条件，符合题意.故选：D.23．A【解析】【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A24．B【解析】【分析】根据描述知：要达成目标必须一点一点积累，结合必要条件的定义判断关系.【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以“积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B25．B【解析】【分析】讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【详解】当时，方程即为，解得；当时，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.故选：B.26．C【解析】【分析】先求出命题是真命题时，求出，进而判断出正确答案.【详解】当该命题是真命题时，只需当时，．因为时，的最大值是1，所以．因为，，所以C符合要求．A为充要条件，B为必要条件，D是既不充分也不必要条件．故选：C．27．D【解析】【分析】可通过求解命题甲，得到，，，，，之间的关系，并于命题乙对比即可判断.【详解】已知，，，，，均为不为零的常数，由不等式，的解集相同，不一定能够推导出各项系数对应成比例，例如两个不等式的解集都为空集，故解集相同跟对应项系数没有直接的关系，而命题乙为：，由此可知，命题甲不一定能推出命题乙，而命题乙在与不同号时，无法推出命题甲，因此甲是乙的既不充分也不必要条件.故选：D.28．CD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；故选：CD29．BC【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案.【详解】对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；对于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正确；对于C，的两个根为或，C正确；对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误．故选:BC．30．AC【解析】【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得，注意集合的包含关系与充要条件的关系.【详解】且，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选：AC.31．AD【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：A：∵a＜1⇒a≤1，而当a≤1时，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，B：∵p：A∩B＝A，∴A⊆B，∵q：A∪B＝B，∴A⊆B，∴p是q的充要条件，∴B错误，C：∵两个三角形全等⇒两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，D：当x＝1，y＝0时，则x2+y2＝1，反之，当x2+y2＝1时，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，故选：AD．32．ABD【解析】【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.33．AD【解析】【分析】根据集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根据充分不必要条件的概念即可得到结果.【详解】因为集合若集合是集合的真子集，当时，即集合，显然成立；当时，则或，所以或所以若集合是集合的真子集，则；所以是的真子集的充分不必要条件可以是或.故选：AD.34．BD【解析】【分析】首先求得命题的等价条件，由此求得命题成立的充分不必要条件.【详解】命题，，所以解得或.即命题的等价条件是，命题成立的一个充分不必要条件是的真子集，所以BD选项符合，AC选项不符合.故选：BD35．【解析】【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.【详解】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．36．【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．【详解】∵“”是”的必要条件，∴，当时，，则；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知或，解得或，综上可得，实数a的取值范围为．37．

充要条件

既不充分又不必要条件

充分而不必要条件

必要而不充分条件【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：（1）若，则，则充分性成立，若，则，必要性成立，所以“”是“”的充要条件；（2）当，则，所以充分性不成立，当，则，即推不出，，则必要性不成立，所以“，”是“”的既不充分又不必要条件；（3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立，当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立，所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件；（4）若，当时，方程有无数个根，则是方程的一个根不成立，则充分性不成立，当是方程的一个根时，则有，则必要性成立，所以“”是“是方程的一个根”的必要而不充分条件.故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）必要而不充分条件.38．【解析】【分析】由题可得，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.【详解】∵表示不超过的最大整数，∴，，即，又是的充分不必要条件，，∴AB，故，即的取值范围是.故答案为：.39．①③【解析】【分析】根据必要不充分条件的概念，只要看能得到哪个选项，而由该选项得不到即可【详解】使成立的必要不充分条件，即能得到哪个条件，而由该条件得不到对于①，，时，能得到，得不到，故正确对于②，时，能得到，故错；对于③，能得到，不能得到，比如，，故正确；对于④，能得到，不能得到，比如，不正确．故答案为：①③40．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）根据充分不必要条件的定义求解．(1)由已知，或，所以或＝；(2)“”是“”的充分不必要条件，则，解得，所以的范围是．41．(1)，(2)【解析】【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.(1)．当时，所以，；(2)是的充分不必要条件∴A是B的真子集，故即所以实数m的取值范围是.42．(1)(2)【解析