3.3.1 空间直角坐标系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

学生版第3章空间向量及其应用3.3空间向量的坐标表示3.3.1空间直角坐标系本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、了解空间直角坐标系的建立过程．2、掌握空间向量运算的坐标表示；（重点、难点）1、逻辑推理：空间向量的直角坐标运算；2、数学运算：空间向量的直角坐标运算；3、直观想象：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；4、数学建模：通过空间向量的坐标表示；【自主学习】问题导学：预习教材P101－P102的内容，思考以下问题：1、复习：（1）数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；（2）直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．2、如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？【知识梳理】1、空间直角坐标系（1）单位正交基底三个有公共起点O的的单位向量，，，称为单位正交基底；（2）空间直角坐标系空间直角坐标系从空间一点出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系【说明】空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为(或)，z轴与y轴(或x轴)；坐标原点点坐标轴三条坐标轴分别是横轴（即狓轴）、纵轴（即轴）与竖轴（即轴）；坐标平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手制我们约定坐标系采用右手制，即右手翘起拇指、其他四指握拳做“点赞”状，当四指所指的方向是轴正方向到轴正方向的旋转方向时，拇指所指为轴正方向右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系；卦限通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面与平面；三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个卦限；【说明】三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．2、空间中向量的坐标给定空间一点，如图，过点分别作与坐标平面,与狕犗狓与狓犗狔平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方体，所作的三个平面与轴、轴、轴的交点、、犆（它们都是上述长方体的顶点）在轴上的坐标，给出了点的坐标（，，），其中、与分别称为点的横坐标、纵坐标与竖坐标;有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建立了一一对应；【说明】（其它版本的定义）一般地，如果空间向量的基底{，，}中，，，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果＝x＋y＋z，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量；【思考】1、在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？【解析】2、在不同的基底下，空间任一向量对应的坐标是否相同？【解析】3、若＝x＋y＋z则的坐标一定是(x，y，z)吗？【解析】【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①以原点为始点的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐标和点P的坐标相同；（）②在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是(0，b，c)；（）③在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为(a,0，c)；（）④空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0；（）⑤关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反；（）【提示】；【答案】；【解析】；2、已知{，，}是单位正交基底，则＝－＋2＋3的坐标为3、已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}为基底，则eq\o(AC1,\s\up8(→))＝________，eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐标是________．4、在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是________．【题型探究】题型一、对基底的概念的理解例1、若，，是空间的一个基底，试判断{，，}能否作为该空间的一个基底；【提示】；【解析】；【说明】判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，若三个向量共面，就不能作为一个基底，否则就能作为基底；题型二、用基底表示空间向量例2、如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OC,\s\up6(→))＝，eq\o(OP,\s\up6(→))＝，E，F分别为PC和PB的中点，试用，，表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【说明】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；题型三、空间中点的坐标确定及初步应用例3、在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标；【说明】1、建立空间直角坐标系时应遵循以下原则（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；（2）充分利用几何图形的对称性；2、求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标；3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤：题型四、求对称点的坐标例4、在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标；【说明】本题考查了求对称点的坐标；1、求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标P(a，b，c)x轴(a，－b，－c)y轴(－a，b，－c)z轴(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐标原点(－a，－b，－c)2、在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).【素养提升】1、标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，，叫作标准正交基；2、标准正交分解设，，为标准正交基，对空间任意向量，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z，则把＝x＋y＋z叫作的标准正交分解．3、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是，当空间向量的一组基底{，，}确定，对于空间中的任意向量，存在唯一的一组x，y，z，使得＝x＋y＋z，当空间向量的一组基底为单位正交基底时，利用空间直角坐标系，便可得到向量的坐标；注意在写坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒；4、思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？【解析】（1）当向量平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即＝(x，0，0)．（2）当向量平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即＝(0，y，0)．（3）当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即＝(0，0，z)．（4）当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即＝(x，y，0)．（5）当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即＝(0，y，z)．（6）当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即＝(x，0，z)．【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若eq\o(PA,\s\up8(→))＝，eq\o(PB,\s\up8(→))＝，eq\o(PC,\s\up8(→))＝，则eq\o(BE,\s\up8(→))＝（）A．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)2、已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up8(→))，若eq\o(AE,\s\up8(→))＝xeq\o(AA1,\s\up8(→))＋y(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，则（）A．x＝1，y＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3)D．x＝1，y＝eq\f(1,4)3、已知空间的一个基底{，，}，＝－＋，＝x＋y＋，若与共线，则x＋y等于4、如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝________.5、给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up8(→))、eq\o(BM,\s\up8(→))、eq\o(BN,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{，，}是空间的一个基底，若＝＋，则{，，}也是空间的一个基底．其中正确命题的序号为B级：“四能”提升训练6、三棱柱ABC­A1B1C1中，M、N分别为BB1，AC的中点，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝，eq\o(AC,\s\up8(→))＝，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝，则eq\o(NM,\s\up8(→))等于（）A．eq\f(1,2)(＋＋)B．eq\f(1,2)(＋－)C．eq\f(1,2)(＋)D．＋eq\f(1,2)(－)7、已知点A在基底{，，}下的坐标为(2，1，3)，其中＝4＋2，＝2＋3，＝3－，则点A在基底{，，}下的坐标为8、在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，eq\o(DO,\s\up8(→))的坐标是，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标是；9、如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1；试建立适当的空间直角坐标系，求：向量eq\o(MN,\s\up15(→))的坐标；10、已知在正四棱锥P­ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．【教师版】第3章空间向量及其应用3.3空间向量的坐标表示3.3.1空间直角坐标系本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、了解空间直角坐标系的建立过程．2、掌握空间向量运算的坐标表示；（重点、难点）1、逻辑推理：空间向量的直角坐标运算；2、数学运算：空间向量的直角坐标运算；3、直观想象：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；4、数学建模：通过空间向量的坐标表示；【自主学习】问题导学：预习教材P101－P102的内容，思考以下问题：1、复习：（1）数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；（2）直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．2、如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？【知识梳理】1、空间直角坐标系（1）单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量，，，称为单位正交基底；（2）空间直角坐标系空间直角坐标系从空间一点出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系【说明】空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直；坐标原点点坐标轴三条坐标轴分别是横轴（即狓轴）、纵轴（即轴）与竖轴（即轴）；坐标平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手制我们约定坐标系采用右手制，即右手翘起拇指、其他四指握拳做“点赞”状，当四指所指的方向是轴正方向到轴正方向的旋转方向时，拇指所指为轴正方向右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系；卦限通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面与平面；三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个卦限；【说明】三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．2、空间中向量的坐标给定空间一点，如图，过点分别作与坐标平面,与狕犗狓与狓犗狔平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方体，所作的三个平面与轴、轴、轴的交点、、犆（它们都是上述长方体的顶点）在轴上的坐标，给出了点的坐标（，，），其中、与分别称为点的横坐标、纵坐标与竖坐标;有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建立了一一对应；【说明】（其它版本的定义）一般地，如果空间向量的基底{，，}中，，，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果＝x＋y＋z，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量；【思考】1、在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？【解析】关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建．2、在不同的基底下，空间任一向量对应的坐标是否相同？【解析】不相同．选取不同的基底所表示的向量对应实数组不同．3、若＝x＋y＋z则的坐标一定是(x，y，z)吗？【解析】不一定，当，，是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①以原点为始点的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐标和点P的坐标相同；（）②在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是(0，b，c)；（）③在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为(a,0，c)；（）④空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0；（）⑤关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反；（）【提示】理解空间直角坐标系的定义与对称的几何意义；【答案】①√；②×；③√；④×；⑤√；【解析】对于①，由空间坐标的定义；所以，①是真命题；对于②，应该是(a，0，0)，所以，②是假命题；对于③，是真命题；对于④，应该为(a，0，c)，所以，④是假命题；对于⑤，依据空间直角坐标系的定义与对称的几何性质，所以，⑤是真命题；2、已知{，，}是单位正交基底，则＝－＋2＋3的坐标为【答案】(－1，2，3)【解析】p＝(－1,2,3)．]3、已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}为基底，则eq\o(AC1,\s\up8(→))＝________，eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐标是________．【答案】eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))；(1,1,1)；【解析】若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}为基底，∵eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))∴eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐标为(1,1,1)4、在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是________．【答案】关于x轴对称；【解析】点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称；【题型探究】题型一、对基底的概念的理解例1、若，，是空间的一个基底，试判断{，，}能否作为该空间的一个基底；【提示】判断，，是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底；【解析】假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝λ()＋μ()，所以，＝λ＋μ＋(λ＋μ)；因为，，，为基底，所以，，，不共面；所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程组无解，所以，，，不共面；则，{，，}可以作为空间的一个基底；【说明】判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，若三个向量共面，就不能作为一个基底，否则就能作为基底；题型二、用基底表示空间向量例2、如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OC,\s\up6(→))＝，eq\o(OP,\s\up6(→))＝，E，F分别为PC和PB的中点，试用，，表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【说明】欲解此题，需结合图形，利用空间向量的加法、减法及数乘运算．【解析】eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(OP,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－＋eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－＋－.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝－＋eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－＋＋；又因为，E，F分别为PB，PC的中点，所以，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)；【说明】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；题型三、空间中点的坐标确定及初步应用例3、在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标；【提示】注意题设中的“适当”；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系；点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))．由F作FM⊥AD于M点、FN⊥DC于N点，由平面几何知FM＝eq\f(1,2)，FN＝eq\f(1,2)，则F点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))；点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝eq\f(3,4)，故G点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))；由H作HK⊥CG于K点，由于H为C1G的中点，故HK＝eq\f(1,2)，CK＝eq\f(1,8)；所以，DK＝eq\f(7,8)，故H点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))；【说明】1、建立空间直角坐标系时应遵循以下原则（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；（2）充分利用几何图形的对称性；2、求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标；3、利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤：题型四、求对称点的坐标例4、在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标；【提示】求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标；【解析】（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)；（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)；（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)；【说明】本题考查了求对称点的坐标；1、求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标P(a，b，c)x轴(a，－b，－c)y轴(－a，b，－c)z轴(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐标原点(－a，－b，－c)2、在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).【素养提升】1、标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，，叫作标准正交基；2、标准正交分解设，，为标准正交基，对空间任意向量，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z，则把＝x＋y＋z叫作的标准正交分解．3、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是，当空间向量的一组基底{，，}确定，对于空间中的任意向量，存在唯一的一组x，y，z，使得＝x＋y＋z，当空间向量的一组基底为单位正交基底时，利用空间直角坐标系，便可得到向量的坐标；注意在写坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒；4、思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？【解析】（1）当向量平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即＝(x，0，0)．（2）当向量平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即＝(0，y，0)．（3）当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即＝(0，0，z)．（4）当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即＝(x，y，0)．（5）当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即＝(0，y，z)．（6）当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即＝(x，0，z)．【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若eq\o(PA,\s\up8(→))＝，eq\o(PB,\s\up8(→))＝，eq\o(PC,\s\up8(→))＝，则eq\o(BE,\s\up8(→))＝（）A．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)【答案】C；【解析】∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，eq\o(PA,\s\up8(→))＝，eq\o(PB,\s\up8(→))＝，eq\o(PC,\s\up8(→))＝，∴eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)；故选C.]2、已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up8(→))，若eq\o(AE,\s\up8(→))＝xeq\o(AA1,\s\up8(→))＋y(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，则（）A．x＝1，y＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3)D．x＝1，y＝eq\f(1,4)【答案】D；【解析】eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4)；3、已知空间的一个基底{，，}，＝－＋，＝x＋y＋，若与共线，则x＋y等于【答案】0【解析】因为，与共线，∴x＋y＋＝z(－＋)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴x＋y＝0.]4、如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝________.【答案】－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】连接AG交BC于点M，连接AE，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).5、给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up8(→))、eq\o(BM,\s\up8(→))、eq\o(BN,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{，，}是空间的一个基底，若＝＋，则{，，}也是空间的一个基底．其中正确命题的序号为【答案】①②③④；【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确；B级：“四能”提升训练6、三棱柱ABC­A1B1C1中，M、N分别为BB1，AC的中点，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝，eq\o(AC,\s\up8(→))＝，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝，则eq\o(NM,\s\up8(→))等于（）A．eq\f(1,2)(＋＋)B．eq\f(1,2)(＋－)C．eq\f(1,2)(＋)D．＋eq\f(1,2)(－)【答案】D；【解析】因为eq\o(NM,\s\up8(→))＝eq\o(NA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)，所以选D；7、已知点A在基底{，，}下的坐标为(2，1，3)，其中＝4＋2，＝2＋3，＝3－，则点A在基底{，，}下的坐标为【答案】(8，3，12)；【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)；8、在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，eq\o(DO,\s\up8(→))的坐标是，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标是；【答案】(－2，－1，－4)(－4，2，－4)；【解析】eq\o(DO,\s\up8(→))＝－eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OO1,\s\up8(→))＝－2i－j－4k，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝－4k