2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．若复数，其中为虚数单位，则的模是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据，利用复数的除法得到复数z，再利用复数的模公式求解.【详解】因为复数，所以，所以，故选：D2．在中，角、、所对的边的长分别为、、，若，，则等于（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可得出答案.【详解】由正弦定理，，所以，则故选：C.3．在中，角、、所对的边的长分别为、、，若，，则（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理，列出式子可求得，结合可求出答案.【详解】因为，，由余弦定理可得，，整理得，即，所以是等腰三角形，又因为，所以是等边三角形，所以.故选：D.4．设复数，其中为虚数单位，则（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】利用复数的运算法则，直接计算即可.【详解】因为，所以ω2，ω3＝（）（）＝1，则1+ω+ω2+ω3＝11＝1.故选：B.5．在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定【答案】B【分析】利用余弦定理得到关于的方程解方程即可做出判断.【详解】∵在中，，，，∴由余弦定理得，即，解得，则此三角形有两个解.故选：B.6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案.【详解】∵角的终边按逆时针方向旋转后得到的角为，所以由三角函数的定义，可得：，，∴，故选：A.7．若，，则（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，可再利用平方关系求得，从而可得，代入即得结论．【详解】∵，①∴，即，∴．∵，且，∴，，∴．变形得，∴．故选：A．【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解的情况．8．某地市委、市政府坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，把高质量发展同满足人民美好生活需要紧密结合起来，坚持生态优先．下图是该市某公园三期规划的一角示意图．边长为3百米的正方形花圃的中，建有是以为圆心，1百米为半径的扇形水池，现需在其余部分设计一个矩形草坪，其中是水池边上任意一点，点，分别在边和上，则规划中矩形草坪面积的最小值为（）平方百米．A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】设∠PAB=θ，过P作PE垂直AB于点E，进而用表示出了矩形PNCQ的边长，即可解出.【详解】,设，过P作PE垂直AB于点E，如图：，时，面积有最小值，故选：B二、多选题9．下列四个选项中，化简正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】选项A：根据余弦的差角公式进行凑角即可求得；选项B：利用诱导公式及和差公式即可求得；选项C：凑正弦的二倍角公式即可求得；选项D：根据正切的差角公式即可求得.【详解】选项A：，选项A错误；选项B：，选项B错误；选项C：，选项C正确；选项D：，选项D正确.故选：CD.10．下列关于复数的命题中（为虚数单位），说法正确的是（）A．若关于的方程有实根，则B．复数满足，则在复平面对应的点位于第二象限C．是关于的方程的一个根，其中，为实数，则D．，（为虚数单位，），若，则【答案】AC【分析】选项A：根据复数相等的条件求实数的值；选项B：根据复数的运算求出复数，然后再判断复数在复平面内对应的点；选项C：把根代入方程根据复数相等的条件求的值；选项D：根据虚数不能比较大小来判断.【详解】若关于的方程有实根，则由得，，解得，选项A正确；因为，所以，即，所以复数在复平面对应的点位于第四象限，选项B错误；若是关于的方程的一个根，则，即，所以，解得，选项C正确；当时，可能为虚数，虚数不能比较大小，选项D错误.故选：AC.11．已知函数，下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．是函数的增区间C．函数的图象关于点对称D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】AC【分析】将函数转化为，然后逐项判断.【详解】函数，,A.函数的最小正周期为，故正确；B.因为，所以，所以是函数的减区间，故错误；C.因为，所以函数图象关于点对称，故正确；D.由函数的图象向左平移个单位得到，故错误；故选：AC12．在中，角、、所对的边的长分别为、、．下列命题中正确的是（）A．若，则一定是锐角三角形B．若，则一定是直角三角形C．若，则一定是钝角三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】AB【分析】由已知结合两角和的正切公式检验，由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可判断，由和差角公式进行化简可求，进而可判断选项，由二倍角公式及正弦定理，和差角公式进行化简可判断．【详解】因为，又中不可能有两个钝角，故，，，所以，，都为锐角，正确；因为，由正弦定理得，即，所以，即，因为，所以，所以一定是直角三角形，正确；因为，所以，整理得，因为，所以，即，一定是直角三角形，错误；因为，所以即，所以，所以，因为，故，即为直角，则一定是直角三角形，错误．故选：三、填空题13．已知，其中为虚数单位，若复数的实部为正数，则________．【答案】【分析】设，利用复数的平方及复数相等求解即可.【详解】设,则，所以，解得，，故答案为：14．已在锐角中，角、、所对的边的长分别为、、，当时，若，则值为________．【答案】【分析】根据同角三角函数关系式求，利用三角形内的隐含条件和正切的和差公式即可求，结合角的范围即可求角.【详解】在锐角中，因为，所以，，因为，所以，所以，即，所以，即，解得或（舍），因为，所以.故答案为：.15．如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称为“三重点”，若点是函数，为常数，，，的三重点，则的值为________．【答案】1【分析】设，根据题意得到，变形为，再结合同角的平方关系可得到，解方程即可求出结果.【详解】由题意可知，为常数，，交于点，设，则，，，则，则，因为，则，即，令，则，所以，即，因为，所以，所以，所以，故答案为：1.四、双空题16．、、是水面下共线的三个声波监测点，、两点到的距离分别为40千米和100千米，某时刻，收到发自水面下静止目标的一个声波信号，16秒后，，同时接到该声波信号，声波在水中的传播速度为1.5千米/秒．则到的距离为________千米；到直线的距离为________千米．【答案】62【分析】设，则，在中由余弦定理可得出，由勾股定理得出到直线的距离.【详解】由题意可知位于线段的中垂线上，过作于点，，，设，则，在中由余弦定理得，即，解得，.故答案为：①；②.五、解答题17．已知函数．（1）求函数的图象的对称轴的方程；（2）若，求函数的值域．【答案】（1），；（2）．【分析】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将f(x)化简变形，然后利用整体代换的思想和余弦函数的对称性求解即可;(2)先求出的范围，然后利用余弦函数的性质求解值域即可.【详解】（1）令，解得，，所以函数的图象的对称轴的方程，.（2）因为所以所以所以的值域为18．在中，角、、所对的边的长分别为、、，，，、为锐角，且．（1）求的值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）计算的值，由条件，即可求解；（2）由正弦定理可转化为，利用三角恒等变换求解.【详解】（1）因为，，、为锐角所以，又所以，即（2）由正弦定理得又，，可得所以又，所以当时，即时，取最大值419．已知，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求得，然后由二倍角公式求得，，再将所要求解的角用已知的角表示，结合两角和差公式求解即可；（2）先求得，然后利用角的变换求出，结合的范围，即可求出的值.【详解】（1）因为，，所以，所以，，故（2）因为，，所以，，又，所以.20．已知，，，其中．（1）求函数的值域；（2）若存在，使得，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出，然后利用换元法转化为二次函数,利用二次函数的性质求解值域即可;(2)利用,求出，然后利用诱导公式求解即可.【详解】（1）设，则所以又，所以，即在上单调递增时，；时，的值域为（2）由，得，即故21．在中，为边上一点，．（1）若，且，，求的大小；（2）若，，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知结合锐角三角函数的定义及两角和的正切公式可求的值，进而求的值.（2）在中，利用余弦定理求，再利用正弦定理求的值；然后结合三角形的面积公式即可求得.【详解】（1）因为，，，，所以，，，又是的一个内角，所以；（2）在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），又因为为三角形的一个内角，所以，由正弦定理，即，解得，因为，所以，所以.22．某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径长为4米（如图），徽标的核心部分为梯形，它由三个区域构成：区域Ⅰ为等边三角形，区域Ⅱ为，区域Ⅲ为等腰三角形，其中，点、都在半圆弧上，点在半径上，记．（1）试用表示区域Ⅱ的面积，并写出的