4.2指数函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册4.2：指数函数课标解读：指数函数的概念.（了解）指数函数的图像.（理解）指数函数的性质.（掌握）指数函数的应用.（理解）学习指导：通过指数函数的图像加深对指数函数性质的理解和掌握，而准确把握并熟练运用指数函数的性质是本节重中之重.会求解指数函数型复合函数的单调性，并利用单调性比较大小，解不等式，求最值等，有关指数型复合函数的问题是高考的热点问题，应熟练掌握求解的基本方法和技巧.知识导图知识点1：指数函数的概念1.指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是R.2.指数函数的结构特征指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.例1-1：给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中为指数函数的有（填序号）.答案：①⑤⑧指数点2：指数函数的图象和性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域R值域（0，+）定点图象过定点（0,1）单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称例2-2：如果指数函数是R上的增函数，那么的取值范围是（）A.B.C.RD.答案：D例2-3：已知集合，则（）∅B.C.D.答案：D例2-4：已知函数在（0，2）上的值域是（1，），则的大致图象是（）.答案：B重难拓展指数函数的底数对图像的影响函数的图像如图所示：观察图像，我们有如下结论：1.底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图像是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图像越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图像是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图像越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图像越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图像相对位置的高低；在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；在轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”；例3-5：已知则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为（）.答案：A例3-6：已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤.其中，可能成立的关系是有（）1个B.2个C.3个D.4个答案：C题型与方法题型1：指数函数的图像及其应用1.利用指数函数的图像作有关函数的图像例7：利用函数的图像，作出下列各函数的图像：；（2）；（3）；（4）；（5）.答案：2.图像的识别问题例8：（1）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）.B.D.答案：D（2）函数的图像大致为（）答案：A例9：已知函数，当时，取得最小值则的图像为（）答案：A变式训练1：若函数的图像不经过第二象限，则有（）A.B.C.D.答案：D变式训练2：二次函数与指数函数的图像可能是（）.答案：A3.过定点问题例10.函数的图像过定点.答案：（3,4）4.图像的应用——数形结合（1）定义区间[]（）的长度为.已知函数的定义域为[]，值域为[1,2]，则区间[]的长度的最大值与最小值的差为（）A.B.1C.D.2（2）若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是.答案：（1）B（2）（）题型2：求指数型复合函数的定义域和值域例12：求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）；（3）（4）.答案：（1）定义域：，值域；（2）定义域：，值域：；（3）定义域：，值域：；（4）定义域：R，值域：.变式训练：已知集合，则满足的集合B可以是（）.A.B.C.D.答案：B题型3：指数函数单调性的应用1.比较大小例14：比较下列各题中两值的大小：（1）（2）（3）答案：（1）＜（2）＞（3）＜2.解指数不等式例15：求满足下列条件的的取值范围：（1）；（2）；（3）答案：（1）；（2）；（3）变式训练：已知函数若，则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.答案：C题型4：指数型复合函数的奇偶性例16：设函数是定义在R上的奇函数.求的值；若，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式的解集.答案：（1）；（2）题型5：指数函数的综合应用例17:（1）已知，，判断的符号.（2）解方程.答案：（1）（2）例18：已知定义在R上恒不为0的函数满足（1）证明（2）证明当时，则在R上单调递增.易错辨析忽略对底数的讨论致错例19：已知函数，当时，求该函数的值域.答案：2.换元时忽略指数函数的值域致错例20：函数的值域为.答案：高考链接考向1：与指数函数有关的定义域、值域问题例22：函数的定义域为（）A.B.C.D.答案：A考向2：指数函数的图像识别及其应用例23：函数的图像大致为（）答案：B考向3：指数函数的单调性及其应用例24：设，则的大小关系是（）A.B.C.D.答案：C例25：若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于.答案：1例26：设函数，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.答案：D考向4：指数型符合函数的奇偶性例27：（1）已知函数，则（）是偶函数，且在R上是增函数是奇函数，且在R上是增函数是偶函数，且在R上是减函数是奇函数，且在R上是减函数答案：B（2）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足：，则的取值范围是.答案：变式训练：若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是（）A.B.C.D.答案：C基础巩固：1.全集U=R，集合，则（）A.B.C.D.2.函数的图像可能是（）3.已知指数函数的图像经过抛物线的顶点，则（）A.B.2C.D.34.设，则是（）A.奇函数且在上单调递增B.偶函数且在上单调递增C.奇函数且在上单调递减D.偶函数且在上单调递减5.设则的大小关系是（）A.B.C.D.6.已知函数的图像经过点（2,4），其中且（1）求的值；（2）求函数的值域.7.已知；（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）证明>0.能力提升：8.已知集合，则（）A.B.C.D.∅9.定义在R上的奇函数和偶函数满足.若，则=（）A.2B.C.D.10.若，则（）A.B.C.D.11.若存在正数使成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.设函数，则满足的取值范围是（）A.B.C.D.13.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（）A.