4.2.2等差数列的前n项和公式第二课时教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）

《等差数列的前n项和公式（2）》教学设计-------李德峰（一）教学内容差数列的前n项和公式（2）（二）教材分析1.教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2.地位与作用数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位（三）学情分析1.认知基础：已经对前n项和公式有了一定的基础2.认知障碍：对于等差数列项加绝对值后求和，需要分类讨论有一定的难度（四）教学目标1.知识目标：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题能力目标：通过公式的灵活应用，培养学生思维的灵活性与广阔性素养目标：通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1.重点：求等差数列前n项和的最值难点：等差数列前n项和的性质及应用（六）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段课前准备多媒体（八）教学过程教学环节：新课引入（）教学内容师生活动设计意图一、知识梳理：等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)dSn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.二、判断下列命题是否正确(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列．()(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．()(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.()[答案](1)√(2)√(3)√让学生自行解答，教师点评强化上节课知识。教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn。由题意可知，{an解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.由S20=20可得：a1=因此，第1排应安排21个座位。解得a1因此，第1排应安排21个座位.1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an例9.已知等差数列{an}的项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求分析:由a1>0和d<0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当Sn递减。这样，就把求Sn的最大值转化为求{an另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+a1−d2n，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数y=d解法1.由d＝－2，得an+1－an＝－2＜0，得an+1<anan可知，当n＜6时，an当n＝6时，an当n＞6时，an所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.因为S5所以sn解法2：因为由a1＝10，d＝－2，因为s所以，当n取与112即5或6时，sn最大，最大值为301.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点来寻找．(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．教师铺设问题，引导学生逐步完成问题，黑板板书具体解题过程通过等差数列前n项在实际问题中的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过例题，归纳求前n项和的最值的一般方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素教学环节：课堂练习数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．[解](1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝eq\f(33,2).距离eq\f(33,2)最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0.所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33n－n2n≤17，,n2－33n＋544n≥18.))通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。教学环节：小结思考布置作业小结等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．