1.1 集合的概念 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

集合的概念一、元素和集合的含义1．元素的概念研究对象统称为元素（element），一些元素组合的总体叫做集合（set）2．集合中元素的特性：确定性：给定的集合的元素必须是确定的互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？元素、集合及其关系的表示元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（belongto）A，记作元素与集合的差异：a表示一个元素，表示只有一个元素的集合只能写成常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN×或N＋ZQR思考2：设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？三、集合的表示列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，但有些集合不能用列举法表示描述法：设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}的表示集合的方法考点一：集合概念的理解【例1】(2020·浙江高一课时练习)下列四组对象中能构成集合的是A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【练1】下列对象能组成集合的是A．eq\r(2)的所有近似值 B．某个班级中学习好的所有同学C．2020年全国高考数学试卷中所有难题 D．屠呦呦实验室的全体工作人员考点二：元素的互异性【例2】(2020·全国高一课时练习)由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为A．2 B．3 C．4 D．5考点三：集合的相等【例3】若由a，eq\f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2020＋b2020的值为________．考点四：元素与集合的关系【例4】(2020·全国高一课时练习)用符号“”或“”填空：(1)2_____N；(2)______Q；(3)______Z；(4)3．14______R；(5)______N；(6)_____Q．【练4】已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a＝________【练4.1】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}（1）若A中只有一个元素，求a的值．（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．考点五集合的列举表示法例5(2020·全国高一)用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集．(1)到A、B两点距离相等的点的集合(2)满足不等式的的集合(3)全体偶数(4)被5除余1的数(5)20以内的质数(6)(7)方程的解集【练5.1】集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【练5.2】(2020·浙江高一课时练习)试说明下列集合各表示什么？；；；；．课后练习(2019·辽宁海州阜新实验中学高一月考)下列说法中正确的是()A．联合国所有常任理事国组成一个集合B．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素(2020·全国高一)下列各组对象中能构成集合的是()A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品(2020·全国高一课时练习)已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．4(2020·朝阳吉林省实验高二期末(文))已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是()A． B． C． D．(2020·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：(1)方程组的解集；(2)方程的实数根组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合；(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．(2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考)方程组的解构成的集合是()A． B． C． D．(2020·上海高一课时练习)集合是指()A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点(2019·北京四中高一专题练习)下列集合是否有区别？(1)；(2)；(3)(4)；(5)或(2020·全国高一)已知集合，若，则______．(2020·上海高一课时练习)若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．(2020·全国高一)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，(1)若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；(2)若A是空集，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．(2020·全国高一课时练习)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．

精讲答案思考一某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合中就确定了．【例1】【答案】D【解析】集合中的元素具有确定性，对于\[A，B，C\]，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，\[D\]正确．故选：\[D\]．【练1】【答案】D【解析】D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．【例2】【答案】A【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0；当时，它们分别是；当时，它们分别是．最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选：A【例3】解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a2＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a＋b＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝1))(舍)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－1，))经检验，a＝－1，b＝0满足条件，所以a2020＋b2020＝1．思考2：答案：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A．【例4】【答案】【解析】(1)N为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q表示有理数，为无理数，所以；(3)Z为整数集，是分数，所以；(4)R表示实数集，所以；(5)N为自然数集，－3不是自然数，所以；(6)Q表示有理数，是有理数，所以．【练4】解析：由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，故a＝－1或a＝－eq\f(3,2)．①当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．②当a＝－eq\f(3,2)时，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，故a＝－eq\f(3,2)．综上，a＝－eq\f(3,2)．【练4.1】解析：①当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq\f(1,2)，符合题意；②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．（2）解析：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1．当A中没有元素时，Δ＝4－4a＜0，且a≠0，即a＞1．故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．（3）解析：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，且a≠0，即a＜1且a≠0．∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．【例5】【答案】(1)集合点，无限集；(2)集合，无限集；(3)集合，无限集；(4)集合，无限集；(5)集合，有限集；(6)集合，有限集；(7)集合，有限集．【解析】(1)因为到A、B两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集．(2)由题意可知，集合，无限集．(3)因为偶数能被整除，所以集合，无限集．(4)由题意可知，集合，无限集．(5)因为20以内的质数有，，，，，，，．所以集合，有限集．(6)因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集．(7)由题意可知，集合，有限集．【练5】解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a2＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a＋b＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝1))(舍)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－1，))经检验，a＝－1，b＝0满足条件，所以a2020＋b2020＝1．【练5.1】解析：由eq\f(6,3－x)∈N，故3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2．即集合A中的元素为0，1，2．【练5.2】【答案】答案见解析【解析】表示的取值集合，由知：，；表示的取值集合，由知：或，或；的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；的代表元素为，由知：，表示直线上除了以外的点构成的点集；表示以方程“”和“”为元素的一个二元集．表示以方程“”和“”为元素的一个二元集．练习答案1.【答案】A【解析】年龄较小不确定，所以B错；{1，2，3}与{2，1，3}是相同的集合；由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素，因此选A．2.【答案】C【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C．3.【答案】C【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是．综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3．故选：C4.【答案】D【解析】当都为正数时，；当都为负数时，．因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则．所以代数式表示的所有的值的集合是．故选：D．5.【答案】(1)；(2)；(3)且；(4)；(5)．【解析】(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为．(2)方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为．(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为且．(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为．(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为．6.【答案】C【解析】∵∴∴方程组的解构成的集合是{(1，1)}故选：C．7.【答案】D【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点．故选：D8.【答案】有区别【解析】由题意可知：(1)，表示大于或等于的全体实数构成的集合；(2)，表示大于或等于的全体实数构成的集合；(3)，表示曲线上所有的点构成的集合；(4)，表示点构成的集合；(5)或，表示直线或直线上的点所构成的集合．综上所述，以上5个集合有区别．9.【答案】2【解析】依题意或，解得或；由集合中元素的互异性可知当时，集合的两个元素相等，不合题意；所以．故答案为：2．10.【答案】或【解析】因为集合中至多有一个元素所以方程至多有一个根，当时解得，满足题意当时，，解得综上：或11.【答案】(1)详见解析；(2)；(3)或【解析】(1)若A中只有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个实根，当a＝0时，方程为一元一次方程，满足条件