专题7.2 等比数列及求和（原卷版）

专题7.2等比数列及求和题型一基本量的计算题型二等比中项及等比数列项的性质题型三等比数列的判定与证明题型四等比数列前项和的性质题型五等比数列中的单调，最值问题题型六等比数列的简单应用题型七等差、等比数列的综合应用题型一 基本量的计算例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列中，公比为q，前n项和为.(1)，，求n；(2)，求及.练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．192练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前n项和，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，若其前k项和为86，则________．练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型二 等比中项及等比数列项的性质例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列的前项和为，且，，求.例4．（2023春·高三课时练习）已知数列为等比数列.(1)若，且，求的值；(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列为等比数列，则（

）A．数列，，成等比数列B．数列，，成等比数列C．数列，，成等比数列D．数列，，成等比数列练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．题型三 等比数列的判定与证明例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（

）．A． B． C． D．是等比数列练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列满足：.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．(1)证明：为等比数列．(2)求的通项公式．练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多选）数列中，．则下列结论中正确的是（

）A．是等比数列 B．C． D．题型四 等比数列前项和的性质例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，则________.练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列，，，…为等比数列C．数列，，，，…为等比数列D．数列，，，…为等比数列练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列中，满足，，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（

）A．85 B．64 C．84 D．21题型五 等比数列中的单调，最值问题例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时，_______________．例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值．练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为题型六 等比数列的简单应用例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（

）．A． B．C． D．练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（

）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（

）A． B．C． D．练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（

）元（参考数据：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000题型七 等差、等比数列的综合应用例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列中，若是与的等差中项，则数列的公比______.例14．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（

）A． B． C． D．的大小关系不能确定练习31．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．练习32．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2