6.1 等差数列（精练）（教师版）

6.1等差数列（精练）1．（2023·广西）已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【解析】，是方程的两根，所以，又是等差数列，所以其前20项和为．故选：D2（2023·青海玉树·统考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】根据数列为等差数列，则，所以，所以，故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【解析】因为，，所以，又，由，可得，即，所以使成立的最小正整数n的值为9.故选：D.4．（2023·甘肃）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【解析】由，得，因为是等差数列，所以，，，，，，所以，使得的正整数n的最小值为.故选:D.5．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】等差数列，，，，，则取最大值时，.故选：A.6．（2023·天津）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A.7．（2023·安徽马鞍山·统考二模）由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（

）A．161 B．162 C．163 D．164【答案】B【解析】设有个碳质骨架，，由已知可得，如果只有个碳质骨架，则骨架总数少于，所以，所以，且，又解得，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选：B.8．（2023·上海）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（

）尺．A．24 B．60 C．40 D．31.5【答案】D【解析】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为，夏至日晷长为1.5尺，记为，因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列得等差数列，数列的公差，因夏至日晷长最短，冬至日晷长最长，所以夏至到冬至的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为13.5尺，公差为1，共13项，秋分为第7项，故，所以一年中夏至到秋分的日晷长的和为(尺).故选：D.9．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列【答案】C【解析】因为数列各项为正数，满足，，故对任意的，，则，所以，数列的每一项都是正数，所以，，可得，由等差中项法可知，数列是等差数列，故选：C.10．（2023·江西）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（

）A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为【答案】B【解析】若是等差数列，则，因为成等差数列，则，则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，所以一定不是等差数列.故选：B.11．（2023·浙江）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（

）A．172 B．183 C．191 D．211【答案】C【解析】高阶等差数列：1，2，4，7，11，16，22，，令，则数列：1，2，3，4，5，6，，则数列为等差数列，首项，公差，，则则故选：C12．（2023·湖南）已知数列满足：，，.若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．2022【答案】A【解析】令，则故，为常数，故数列是等差数列故选：A.13．（2023春·安徽亳州）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，可得：，所以.故选：A.13．（2023·海南）等差数列中，若，则n的值为（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】由等差数列下标和性质知：，，因为，故，又，故，所以.故选：B.14．（2023·湖北）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，又，解得：，又，，.故选：B.15．（2023·福建厦门）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】在等差数列中，，，故，又，故，则，故.故选：C.16．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，且的面积为，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】若成等差数列，则，由余弦定理得，，则，①由的面积为，得，则，②由②÷①得.故选：C.17．（2023·北京）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（

）A． B．4 C． D．【答案】B【解析】由，得，由成等差数列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.则，，所以，故选：B.18．（2023·湖北·统考二模）已知等差数列的前项和为，命题“”，命题“”，则命题是命题的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，不能推出，例如，则，所以，故命题是命题的不充分条件；由，不能推出，例如，则，所以，故命题是命题的不必要条件；综上所述：命题是命题的既不充分也不必要条件.故选：D.19．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（

）①为的最小值

②

③，

④为的最小值A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】等差数列中，，则，故②正确；又，所以，故，则，故③正确；于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；则四个命题正确个数为.故选：C.20．（2023·山西阳泉·统考三模）（多选）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为数列为正项等差数列，所以，所以，因为数列为正项等差数列，所以，所以，，，故选：ABD21．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（

）A． B．C． D．、均为的最大值【答案】BD【解析】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，故C错误；因为由题意得，，所以，，故D正确；故选：BD22．（2023·哈尔滨）（多选）在数列中，若，，则下列结论正确的有（

）A．为等差数列 B．的前n项和C．的通项公式为 D．的最小值为【答案】ABC【解析】由可得，所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确；，的前n项和，故B正确；由可得，故C正确；因为，故的最小值不为，故D错误；故选：ABC23．（2023春·安徽阜阳）（多选）设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（）A．B．当时，取得最大值C．D．使得成立的最大自然数是15【答案】ABC【解析】因为等差数列中，，，所以，，，A正确；当时，取得最大值，B正确；，C正确；，，故成立的最大自然数，D错误．故选：ABC24．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为______.【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，故，所以，所以数列的前10项的和为.故答案为：.25．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a，b，c成等差数列，则____【答案】【解析】由，可得，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，由正弦定理可得，即，所以，因为,，所以，所以．故答案为：26．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【解析】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：27．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，，前项和为，若，则______.【答案】【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，，，，，则故答案为：28．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．【答案】【解析】因为等差数列，的前项和分别为，，且，所以，，又，，所以，，所以．故答案为：29．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________．【答案】196【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为．故答案为：196.30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，.(1)证明：是等差数列：(2)记的前n项和为，，求n的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)最小值为10.【解析】（1）解法一：由，得，则，从而.又，所以，即，所以是等差数列.解法二：由，且，则，得，因为，，所以，即，所以是等差数列.（2）解法一：设等差数列的公差为d.当时，，即，所以，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.又.所以，，又；又，则，且，所以n的最小值为10.解法二：设等差数列的公差为d.当时，，即，所以，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.又，所以.当时，，，所以，，又，则，且，所以n的最小值为10.解法三：设等差数列的公差为d.当时，，即，所以，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.又.当时，，所以，.又，则，且，所以n的最小值为10.1．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.2．（2023·安徽）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】依题意，，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B3．（2023·上海）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，故选:B.4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【解析】由，得，即，所以数列为递增的等差数列.因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选：A.5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设的公差为，由题设条件可知，且则，因此，，而符号不确定．故选：C．6．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，因为，解得，所以，则，这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.故选：D．7．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知是等差数列的公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，显然时，有最小值.所以，存在最小值，得不出且；若乙成立，即且，则，所以，当时，有，所以，为单调递增数列，所以最小，所以，存在最小值，即甲成立.所以，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（

）A．①② B．①③C．①④ D．①②③【答案】D【解析】设等差数列的公差为，故，解得：，由于，故是递减数列，①正确；，令，解得：，且，故使成立的的最大值是9，②正确；，当时，，当时，，故当时，取得最大值，③正确；，④错误.故选：D9．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C10．（2023·湖北武汉·统考三模）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列【答案】BD【解析】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,显然当才相等，故A错误，而，作差可得成立，故B正确；若数列为等比数列，且，，设其公比为q，则，作商可得或所以或，故C错误；由题意得各项均不为0，而实数范围内，，即且，结合选项B的计算可得，故D正确.故选：BD.11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．B．若，则的最小值为C．取最小值时D．设，则【答案】AC【解析】对于选项A：设等差数列的公差为，由题意可得：，解得，所以，故A正确；对于选项B：若，则，即，可得，当且仅当，即时，等号成立，但，所以的最小值不为，故B错误；对于选项C：令，解得，又因为，可得的最后一个负项为第5项，且