浙江省湖州市德清县第六中学高一下学期期末模拟数学试卷（三）

20232024学年高一数学下学期期末模拟卷（三）一、单选题1．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．62．设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则(

)A． B． C． D．3．向量，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．在中，，若，则的值为（

）A． B． C． D．5．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（

）A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关6．已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（

）A．B．C． D．7．如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（

）A． B． C． D．8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是单位向量，且，则（

）A．B．与垂直C．与的夹角为D．10．设向量，满足，且，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（

）A．B．C．D．12．在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．若面，则Q的轨迹是一条线段B．三棱锥的体积为C．平面与的夹角的正弦值的取值范围为D．若，则Q的轨迹长度为三、填空题12..在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为___________13．在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为__________.解答题15．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角(2)若，求面积的最大值16．已知内角的对边分别为，面积为，且.(1)求角(2)已知是中点，,求面积的最大值17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA－bsinB＝csin(A－B)(1)求a的值(2)若△ABC的面积为eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，求△ABC周长的最大值18在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C对边，bcosC＋ccosB＝2，bsinA＝eq\r(3)(1)求角B(2)求△ABC面积的取值范围19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)(2)的取值范围20232024学年高一数学下学期期末模拟卷（三）答案一、单选题1．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．6【答案】A【详解】因为，，，所以，解得.故选：A.2．设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，使得．故选：A．3．向量，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为向量，所以在上的投影向量是,故选：C4．在中，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以为上靠近点的三等份点，所以,因为，所以，所以，故选：A5．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（

）A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关【答案】A【详解】，设，，.故选：A6．已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（

）A．B．C． D．【答案】A【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，则，，，设，，，，则当时，；当时，；的取值范围为.故选：A.7．如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，∴，，CD⊥平面ABC，平面ABC，有，又∵，平面，∴平面，∵，平面，∴平面，为中点，连接，如图所示，E为AD的中点，，，平面，平面，，异面直线BE与AC所成角为，∴，，∴，，，，，到平面的距离为，∴，，，设点A到平面BCE的距离为，由，∴.故选：C8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】过点作平面，垂足为，因为，所以为的外心，则（为的外接圆半径），则，所以，,设为球心，为球的半径，则，因为，解得，所以球的体积为.故选：C.所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为.二、多选题9．已知是单位向量，且，则（

）A．B．与垂直C．与的夹角为D．【答案】BC【详解】，故A错误；因为是单位向量，且，得，与垂直，故B正确；，，故D错误；，所以与的夹角为，故C正确．故选：BC10．设向量，满足，且，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．【答案】CD【详解】解：，；；；；又；．故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D正确.故选：CD．11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有，则四边形为平行四边形，，A正确；对于B，为中点，，B正确；对于C，为的中点，，C正确；对于D，由选项A知，，，D不正确.故选：ABC11．在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．若面，则Q的轨迹是一条线段B．三棱锥的体积为C．平面与的夹角的正弦值的取值范围为D．若，则Q的轨迹长度为【答案】ACD【详解】

A：取E，F分别为棱，的中点，连接，由∥∥，且，知四边形是平行四边形，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，因为，平面，平面，所以平面平面，则Q的轨迹为线段，故A正确；B：，故B错误；C：因为平面，平面，所以.又，平面，平面，，所以平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以平面，故平面与的夹角的正弦值等于与的夹角的余弦值，当Q在（或）上时，与的夹角的余弦值为，当Q位于上时，与的夹角的余弦值为，根据对称性，平面与的夹角的正弦值的取值范围为，故C正确；D：因为平面，平面，所以，则，解得，即Q得轨迹是以为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，所以Q的轨迹长度为，故D正确.故选：ACD三、填空题1..在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为___________【答案】【解析】设正方体边长为1，取的中点，连接、，因为点、分别为、的中点，所以且，所以且，四边形为平行四边形，所以，连接、，交点记为点，连接，因为点、分别为、的中点，所以所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角，即为或其补角，在中，，，，所以，所以直线与直线所成角的余弦值为.2．在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．【答案】【详解】平行四边形中，，因为，所以，根据向量的几何意义可知，解得：.故答案为：3.正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为__________.解：设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上，由四棱锥的外接球的表面积为，得球半径，由正方形面积为3，得球心到面的距离为，正方形的外接圆半径，于是，即，解得或，所以或，解答题11．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角(2)若，求面积的最大值．【解】（1）因为，所以，因为、，则，可得，，故.（2）解：，当且仅当时，等号成立，故，因此，面积的最大值为.12．已知内角的对边分别为，面积为，且.(1)求角；(2)已知是中点，,求面积的最大值.【解】（1）由题知，，因为：，得：，所以：，，在中，，且，得：，得：.故：.（2）由题知，，则：，又：，所以：，当且仅当时取等号，所以：，故：面积的最大值为.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA－bsinB＝csin(A－B)(1)求a的值；(2)若△ABC的面积为eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，求△ABC周长的最大值．【解】(1)设4＝at，t>0，在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC，代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sinCsin(A－B)，又在△ABC中有sinC＝sin(A＋B)，即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)(sinAcosB－cosAsinB)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，所以t＝1，所以a＝4.(2)在△ABC中有S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，则sinA＝eq\f(\r(3)b2＋c2－a2,2bc)＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(4,sin\f(π,3))＝eq\f(8,\r(3))，故b＝eq\f(8,\r(3))·sinB，c＝eq\f(8,\r(3))·sinC，b＋c＝eq\f(8,\r(3))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))))＝eq\f(8,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，因为在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，0<B<eq\f(2π,3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))≤1，所以b＋c≤8，当A＝B＝C时，等号成立，△ABC周长取得最大值12.14.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C对边，bcosC＋ccosB＝2，bsinA＝eq\r(3)(1)求角B；(2)求△ABC面积的取值范围【解】(1)由bcosC＋ccosB＝2，可得b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，化简得a＝2，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可知sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2)，因为△ABC为锐角三角形，所以B＝eq\f(π,3).(2)由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),2)c.由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2sinA＋B,sinA)＝eq\f(2sinAcosB＋cosAsinB,sinA)＝1＋eq\f(\r(3),tanA)，因为△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<C＝\f(2π,3)－A<\f(π,2)，))解得eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，则tanA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，c＝eq\f(\r(3),tanA)＋1∈(1,4)，故eq\f(\r(3),2)<S△ABC<2eq\r(3)，即△ABC面积的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，2\r(3))).15．（2022·山东枣庄·统考一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范围．【解】（1）因为，所以,因为，，因为.（2）由正弦定理，，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是.16．在