四川省绵阳市东辰学校2023-2024学年高一上学期入学测试数学试题

数学试卷（时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对780万名寄宿学生补助了生活费．在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的定义即可求解．【详解】52000000，选故：B．2.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A.20分钟 B.22分钟 C.24分钟 D.26分钟【答案】C【解析】【分析】先求出他改乘出租车赶往考场的速度和到考场的时间，再求出步行到达考场的时间，进而即可求出答案．【详解】他改乘出租车赶往考场的速度是，所以到考场所用的时间是(分钟)，考生10分钟走了总路程的，所以考生的步行速度为，所以考生步行到达考场的时间是(分钟)，(分钟)，所以他到达考场所花的时间比一直步行提前了24分钟，故选：C．3.由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中位数计算即可求解.【详解】由于小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，所以，则，将1，，，，，从小到大排列为，，，1，，，故中位数为.故选：C4.已知反比例函数的图象上有两点，，且，则的值是（）A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定【答案】D【解析】【分析】当时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，分类讨论的符号即可求解．【详解】因为反比例函数，所以在各自象限内随的增大而增大，因为，所以有三种情况，，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以时，的值不确定，故选：D．5.一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则，，之间的关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图示：每个面最中间的正方形所在的小立方体只有一个面被涂色，每条棱的中间段所在的小立方体有两个面被涂色，每个顶点所在的小立方体有三个面被涂色，即可得出，进而求解．【详解】根据图示：每个面最中间的正方形所在的小立方体只有一个面被涂色，即；每条棱的中间段所在的小立方体有两个面被涂色，即；每个顶点所在的小立方体有三个面被涂色，即，所以，故选：D．6.如图，在函数的图象上取点，作轴于，作轴于点，为原点，且矩形的面积为2，则符合条件的点共有（）个.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】设点的坐标为，由图象得，代入，根据一元二次方程的判别式，即可判断【详解】设点的坐标为，由图象得，当时，代入得：，解得：.当时，代入得：，因为，所以方程有两个不等的根.所以符合条件的点有4个.故选：D7.如图，有一矩形纸片，，，将纸片向右折叠，使AD边落在AB边上，折痕为，再将以DE为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根据给定的图形，利用折叠的性质求出即可求出的面积.【详解】依题意，第一次折叠后，是等腰直角三角形，四边形是矩形，有，，；第二次折叠后，是等腰直角三角形，，因此，所以的面积.故选：B8.已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（）A.①②③ B.②③ C.①④ D.③④【答案】B【解析】【分析】根据图象即可判断①②，根据二次函数图象得出的符号，结合二次函数对称轴公式即可判断③④．【详解】由题意得，当，故①错误；当，故②正确；又，，所以，即，故③正确；由图象可知，，所以，故④错误，故选：B．9.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】计算共有6场比赛，考虑胜，胜，胜，且胜的情况排除6分，再判断7分满足条件，得到答案.【详解】一共有场比赛，考虑情况：胜，胜，胜，且胜，则均6分，故6分不能保证出线.若得7分，则保证对其他3队不败，最多有一队也是7分，至少排名第二，保证出线.故选：C.10.已知一个三角形的三边长分别为，另一个三角形的三边长分别为，其中.若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将的三角形分成两个等腰三角形，边长为的三角形与边长为的三角形相似，可得，计算可求得.【详解】三角形内，小边对小角，所以边长为的三角形最小的内角为顶角，边长为的三角形最小的内角为底角，由题意，这两个角相等．如图，将的三角形分成两个等腰三角形，即，故题干中对应为的边长，即，所以，显然，即所以，令，所以，所以，解得或（舍去），所以故选：A.二、填空题（每小题4分，共32分）11.有五张不通明的卡片为，，，，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据无理数的定义及概率公式即可求解．【详解】由题可知，无理数有和，共2张，故从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为，故答案为：12.函数的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线沿轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数的图象的交点共有______个.【答案】2【解析】【分析】作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数和的图象，如下：将沿轴向上平移2个单位后的图象如图，根据图象可知：所得直线与函数的图象的交点共有2个，分别为和2,1.故答案为：213.有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重，第二次⑤⑥比⑦⑧轻，第三次①③⑤和②④⑧一样重.那么，两个轻球的编号是______.【答案】④⑤【解析】【分析】根据前两次称量可知轻球分别在③，④中或⑤，⑥中，结合第三次称量即可求解.【详解】根据第一次①②比③④重，可知轻球应该在③，④中，根据第二次⑤⑥比⑦⑧轻，可知轻球应该在⑤，⑥中，根据第三次①③⑤和②④⑧一样重，可知①，③，⑤与②，④，⑧要么均为重量相同的6个球中之一，要么①，③，⑤与②，④，⑧中各有1个轻球，若①，③，⑤与②，④，⑧要么均为重量相同的6个球中之一，这与第一次称相矛盾，故①，③，⑤与②，④，⑧中各有1个轻球，结合轻球分别在③，④中或⑤，⑥中，故轻球应该是④⑤，故答案为：④⑤14.如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒的速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大.【答案】4【解析】【分析】根据题意，列出函数关系，即可由二次函数性质求解最值.【详解】设移动秒时，面积最大，此时，，所以，故当时，面积最大，故答案为：415.如图所示，点为正方形的边上的一点，为边的延长线上一点，且．若正方形的边长为2，且，的面积为，请写出与之间的函数关系式为____________．【答案】【解析】【分析】由正方形性质及三角形面积公式即可求解．【详解】因为，所以，因为四边形是正方形，且边长为2，所以，，所以，故答案为：．16.若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数________．【答案】1【解析】【分析】按照一般步骤解方程，用含a的代数式表示x，由方程无解，得最简公分母为0，代入即可求解a．【详解】分式方程去分母得，，解得，因为方程在实数范围内无解，所以，即，所以，解得，故答案为：1．17.平面上两点的距离为（且为定值），又点到某直线的距离分别为，则这样的直线共有______条．【答案】3【解析】【分析】分别以为圆心，为半径作圆，则两圆外切，由题意得直线与两圆相切，求解公切线的条数即可.【详解】如图，分别以为圆心，为半径作圆，因为，所以和外切，又因为点到某直线的距离分别为，所以该直线为和的公切线，所以这样的直线有3条，如图所示，故答案为：318.对自然数，定义新运算，使其满足，．则______________．【答案】16【解析】【分析】根据定义新运算的第二种运算方法，把逐步转化为相乘的形式，再根据第一种运算方法求出，然后代入进行计算即可求解．【详解】，因为，所以，所以，故答案为：16．三、解答题（共88分）19.（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据根式的计算以及特殊角的三角函数值即可求解，（2）先化简，再整体代入求解.【详解】（1）原式.（2）原式，原式.20.如图，在中，为边上一点，且.（1）求证：；（2）若平分，，求的度数.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明、、来证得.（2）先证得为等边三角形，然后结合（1）求得.【小问1详解】是平行四边形，，，，，，，.【小问2详解】，，，为等边三角形，，，，由（1）知，.21.把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等.（1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？（2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为，第二次所得的数为.把作为点的横、纵坐标，那么点在函数的图象上的概率又是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由古典概型的概率公式即可求解，（2）利用列表法列举所有基本事件，即可由概率公式求解.【小问1详解】依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种，而且它们出现的可能性相等.满足数字大于4（记为事件）的有2种.所以.【小问2详解】依题意列表分析如下：第二次第一次

1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）4（4,1）（42）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）由表可以看出，可能出现的结果有36种，而且它们出现的可能性相等，所得点（记为事件）的有（1,2）和（2,5）两种情况，所以在函数的图象上的概率为.22.如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为15，边比大2，为的中点，以为直径的交轴于点，过点作于．（1）求的长；（2）求证：为的切线；（3）小明在解答本题时，发现是等腰三角形．由此，他断定：“直线上一定存在除点以外的点，使也是等腰三角形，且点一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）不同意，理由见解析【解析】【分析】（1）设，则，根据矩形面积列出方程求解即可；（2）连接，证明，进而得出，结合即可证明；（3）分两种情况进行分析：①；②，求出两种情况下使为等腰三角形时点的坐标，判断它与圆的位置关系，由此解答．【小问1详解】在矩形中，设，则，依题意得，解得：，（不合题意，舍去），所以，．【小问2详解】连接，如图所示，在矩形中，，，在和中，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，因为点在上，为的半径，所以为切线．【小问3详解】不同意，理由如下：①当时，以点为圆心，以为半径画弧交直线于和两点，过点作于点，，因为，所以，所以，则点；同理可得：；②当时，以点为圆心，以为半径画弧交直线于和两点，同上可求得，因为,半径，所以，在内，，在外，，在外，，在外，因此，在直线上，除了点外，既存在内的点，又存在外的点、、，它们分别使为等腰三角形．23.如图，已知为的边上一点，以为顶点的的两边分别交射线于两点，且（为锐角）．当以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动．设，，的面积为．若，．（1）当旋转（即）时，求点移动的距离；（2）求证：；（3）写出与之间的关系式；（4）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围．【答案】（1）2（2）证明见解析（3）（4），【解析】【分析】（1）当旋转到时，点移动到点，点移动的距离，根据图形计算即可；（2）已知两三角形两角对应相等，即可证相似；（3）可由（2）问的三角形相似即可得到与之间的函数关系式；（4）根据图形得出的关系式，然后在图形内根据的取值范围确定的取值范围．【小问1详解】且为锐角，，即，初始状态时，为等边三角形，，当旋转到时，点移到点，，，，在中，，，点移动的距离是2．【小问2详解】证明：在和中，∵，．【小问3详解】由（2）得，所以，，，过点作，垂足为，在中，，，在中，，，即．【小问4详解】在中，边上的高为，，，，即，又，的取值范围为，是的正比例函数且比例系数，，即．24.已知关于的方程①．（1）若方程①有实数根，求实数的取值范围？（2）若、，方程①所对应的函数的图象与线段只有一个交点，求实数的取值范围？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，时为一元一次方程；时为一元二次方程，由列出不等式求解即可；（2）分类讨论，当时，得出一次函数与线段无交点；当，为二次函数，根据题意列出不等式组，求解即可．【小问1详解】