江苏省宿迁市宿迁中学2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版）

高三年级学业质量检测（二）数学试题试卷满分（150分）考试时间（120分钟）一、单项选择题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合，，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的性质解集合A，再由交集的概念计算即可.【详解】由，即.故选：C2.设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（）A B.C. D.且【答案】A【解析】【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.【详解】由函数为指数函数，故且，当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去；当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确.故选：A.3.记，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对于可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于和的大小关系利用中间值法即可.【详解】因为，幂函数在0,+∞上单调递增，又，所以，所以，又对数函数在0,+∞上单调递减，所以，故.故选：D.4.已知函数，下列函数是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.【详解】由于，定义域为故，定义域为，，即不是奇函数，A错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，B错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，C错误；，定义域为，，即为奇函数，D正确，故选：D5.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（）A. B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解.【详解】因为，且，所以，从而，等号成立当且仅当，所以的最小值为.故选：A.6.下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为，依题意，，解得，，而圆台的母线长，因此圆台的高，所以圆台的体积.故选：D.7.已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（）A.1 B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】设，根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数求解即可.【详解】设，则为R上可导的奇函数，，由题意得，得，所以，，又，即，所以，等式两边对x求导，得，令，，所以.由，两边对x求导，，所以的周期为4，所以，因为，所以，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：解本题的关键是根据构造函数，然后研究的对称性，通过复合函数求导研究的周期为4，然后利用周期性求值即可.8.设方程的两根为，，则（）A.， B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC.【详解】由可得，在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示：因为，，由图象可知，，所以故A，D错误；，因为，所以，所以，所以，即，故B错误，C正确.故选：C二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，依次计算各选项即可得答案.【详解】解：因双曲正弦函数和双曲余弦函数，对于A，，A正确；对于B，，B不正确；对于C，显然双曲余弦函数是偶函数，且在上成立，故在上单调递增，所以，C正确；对于D，，D不正确.故选：AC10.已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（）A.B.4是函数的一个周期C.D.在区间上至少有1012个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据题意利用赋值法求得判断A，利用的对称性与奇偶性判断BC，利用的周期性判断D.【详解】对于A，因为函数的定义域为，为奇函数，所以，则，令，则，，故A正确；对于B，，所以，则，所以，故，故B正确；对于C，假设，则，又，函数的定义域为，所以即是奇函数又是偶函数，则恒成立，与题干矛盾，故C错误；对于D，因为，，所以，所以在上至少有两个零点，又，即为周期为4的偶函数，而，所以在区间上至少有个零点，故D正确.故选：ABD.11.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.不存在某个位置，使得B.翻折过程中，CN的长是定值C.若，则D.若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，取AD的中点为E，若，则可推出矛盾，即可判断；对于B，结合余弦定理即可判断；对于C，采用反证的方法，利用得出互相矛盾的结论，即可判断；对于D，根据三棱锥体积最大，可得出平面平面，从而结合面面垂直性质求出相关线段的长，确定三棱锥外接球球心，求出半径，即可判断【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图，F为MD的中点，由于N为的中点，则，如果，则，由于，则，由于共面且共点，故不可能有，同时成立，即不存在某个位置，使得，A正确对于B，结合A的分析可知，且，在中，，由于均为定值，故为定值，即翻折过程中，CN的长是定值，B正确；对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则，若，由于平面，故平面，平面，故，则，由于，故，，则,故，与矛盾，故C错误；对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大；设AD中点为E，连接，由于，则，且，而平面平面，平面，故平面，平面，故，则，从而，则,即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1，故外接球的表面积是，D正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时结合三棱锥体积最大，可得平面平面，从而结合面面垂直性质求出相关线段的长，确定三棱锥外接球球心，求出半径，即可判断.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程为_______．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求解.【详解】由题可得，当时，，所以所求切线方程为．故答案为：.13.已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】应用换元法转化为在区间上有且仅有两个实数解，结合图像即可确定的范围.【详解】令，因为在单调递增，则方程区间上有且仅有两个实数解，转化为在区间上有且仅有两个实数解，即与在上有两个交点，在单调递减，在单调递增，结合图像知，，即实数的取值范围为14.已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.【详解】因为，若，由于单调递减，则在R上单调递增；若，由于单调递增，则在R上单调递减，又，故，因为，是假命题，故，恒成立为真命题，即不等式对恒成立，当时，，即在恒成立，设，即在恒成立．由于对勾函数在单调递减，在单调递增，因为，因此；当时，，即在恒成立，当时，函数有最小值，即，又因为，故．综上可知：或．故答案：或【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围；（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为对全体实数x，使得是真命题，即可得到，求出的范围；（2）分别求出命题中的范围，再根据是的必要不充分条件，即可得到关于的不等式，求出的范围.【详解】（1）因为命题，使得是真命题，那么，即，那么实数的取值范围为；（2），即；中，，因为，解得，是的必要不充分条件，所以，故实数的取值范围为.16.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且.（1）求证:平面平面;（2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）BC中点为，连接，由且，证得平面，可证平面平面.（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】取BC中点为，连接，在底面内的射影恰好是BC中点，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，，斜棱柱的高为，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，设平面的法向量为，则有，令，则，，，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;（2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.（2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值.【小问1详解】，则，故曲线在处的切线为，即，当时，此时切线为，不符合要求当时，令，有，令，有，故，即，故【小问2详解】，①当时，在上单调递增，的最大值是，解得，舍去;②当时，由，得，当，即时，时，时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，又在上的最大值为;当，即时，在上单调递增，，解得，舍去.综上所述，存在符合题意，此时18.某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：表1未成年男性的身高与体重平均值身高/cm60708090100110120130140150160170体重平均值/kg直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．表2拟合函数对比函数模型函数解析式误差平方和指数函数二次函数幂函数（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；（3）在（2）条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．【答案】（1）指数函数模型是最优模型；理由见解析（2）（3）（2）中幂函数模型更适合，理由见解析【解析】【分析】（1）由表中数据比较指数函数模型误差平方和以及的大小，即得结论；（2）根据身高与骨细胞数量以及体重与肌肉细胞数量的关系，结合已知数据，即可求得答案；（3）分别计算出两种模型函数下的婴儿体重，比较大小，即得结论.【小问1详解】因为，所以指数函数模型误差平方和最小，因为，所以指数函数模型最大，所以指数函数模型是最优模型；【小问2详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以体重关于身高的函数模型为；【小问3详解】把代入，得不符合实际，把，代入得，把代入，得符合实际，所以（2）中幂函数模型更适合.19.已知函数，．（1）若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求正实数的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）问题可转化有解，得到，构造函数，求导讨论单调性，利用数形结合，找到与曲线在的有交点时的范围；（2）恒成立问题，把不等式变形成，设，构造函数，转化成零点的问题，再利用单调性求解.【小问1详解】要使函数图象上存在关于原点对称的两点，则有解，则，即，令，则，设得，当时，，单调递减，当时