陕西省西安工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（解析）

2024~2025学年第一学期高二第一次月考数学卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为，所以，则，故选：D2.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.3.若向量，，则在上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为，，则，所以在上的投影向量.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，，所以，故选：B.5.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（）A.与互为对立事件 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为，则，对于A，事件可同时发生，故不是对立事件，A错误，对于B，,,故B错误，对于C，,C正确，对于D，，D错误，故选：C6.一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（）A. B.C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.7.下列说法不正确的是（）A.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是B.用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2C.一组数据4，3，2，6，5，860%分位数为6D.若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3【答案】C【解析】【分析】由平均数的概念求解判断A；由简单随机抽样的概念判断B；由百分位数的定义判断C；由平均数的性质判断D.【详解】8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是，故A正确；用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则每个个体抽到的概率均为，故B正确；数据4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8，∵6×60%＝3.6，∴这组数据的60%分位数为第4个数5，故C错误；若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为，故D正确.故选：C.8.如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图，延长到，到，到，连接，，，得到三棱柱，由题意可得，即可得出答案.【详解】如图，延长到，到，到，且，，，连接，，，得到三棱柱，则．延长，，则与相交于点．因为，所以．又，所以，故．故选：A.二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的项得0分．）9.下列是基本事实的是（）A.过三个点有且只有一个平面B.平行于同一条直线的两条直线平行C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】BCD【解析】【分析】根据基本事实判断即可.【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误；对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确；对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确；对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确.故选：BCD10.已知函数，，则（）A.与的图象有相同的对称中心B.与的图象关于轴对称C.与的图象关于轴对称D.的解集为（）【答案】ABD【解析】【分析】整体法求得的对称中心即可判断A；由奇偶函数的定义即可判断BC；数形结合即可判断D．【详解】令（），得（），所以图象的对称中心为（）；令（），得（），所以图象的对称中心为（），所以与的图象有相同的对称中心，故A正确；，所以与的图象关于轴对称，故B正确；，故C不正确；由，得，即，所以，，解得（），故D正确．故选：ABD．11.在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（）A.若为的重心，则B.若为的外心，则C.若为的垂心，则D.若为的内心，则【答案】ACD【解析】【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，，对于A：若为的重心，则，所以若，则，解得，所以，A正确；对于B：若为的外心，其必在直线上，所以，B错误；对于C：若为的垂心，其必在上，设，则，解得，此时，若，则，解得，所以，C正确；对于D：若为的内心，设内切圆半径为，则，得，则，此时，若，则，解得，所以，D正确；故选：ACD.关键点点睛：判断C选项的关键是利用垂心的性质、数量积垂直的坐标表示求出垂心的坐标，由此即可顺利得解.12.在菱形中，，，将沿对角线折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（）A.在折叠过程中，总有BD⊥PCB.存在点，使得C.当时，三棱锥的外接球的表面积为D.当三棱锥的体积最大时，【答案】AC【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A，由题可得PC的取值范围可判断B，利用正方体的性质可判断C，利用三棱锥的体积的公式结合条件可求判断D.【详解】如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC，因为，BD，平面BDE，所以PC⊥平面BDE，又平面BDE，所以，A项正确；在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以，当△ABD沿对角线BD折起时，，所以不存在点P，使得PC=2，B项错误；当PC=1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，三棱锥P-BCD的外接球就是该正方体的外接球,因为正方体的各面的对角线长为1．所以正方体棱长为，设外接球的半径为R，则，所以三棱锥的外接球的表面积，C项正确；当三棱锥P-BCD的体积最大时，平面平面BCD，取BD的中点O，连接PO，OC，易知平面BCD，则，又，所以，D项错误．故选：AC．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.14.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为______．【答案】6.8【解析】【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可.【详解】男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为．则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为.所以这10人答对题目的方差为.故答案：6.815.已知锐角中，，则的取值范围______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.【详解】因为，所以，所以，由正弦定理可得：，在中，因为，又，所以所以，①当时，且，若是锐角三角形，则，所以，不成立；②当时，且，所以，所以，则，且，且，，又，，，，所以.故答案为：.16.设，满足，则______．【答案】2【解析】【分析】根据式子结构，构造同构的形式，定义函数，判断出在R上单调递增且为奇函数，即可得到，即可求出结果.【详解】可化为，记，函数定义域为R.因为，所以在R上单调递增.又，所以奇函数.所以由可得，所以.故答案为：2.四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：（1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；（2）先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．

赞成反对合计教师120

学生

40

合计280120

【答案】（1）表格见解析，人（2）【解析】【分析】（1）根据数据直接完善表格即可，以频率为概率，按比例计算人数；（2）先按分层抽样得4名教师2名学生，利用枚举法得所有事件总数，再从中挑出恰有1名学生事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.【小问1详解】表格补充如下：赞成反对合计教师12080200学生16040200合计280120400人，即可估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为人；【小问2详解】，，即这6人中有人为教师，人为学生，记这名学生为，名教师记为，，，，则随机选出3人进行深入调研，不同选法有：，，共种，恰有1名学生的选法有，共12种，故深入调研中恰有一名学生的概率.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故【小问2详解】由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为19.如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)见证明；（2）(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)连结，交于点，推导出，平面，由此能证明平面平面；(Ⅱ)过作平面的垂线，垂足为，则即为直线与平面所成角，设为，设，由，求出，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】(Ⅰ)连结AC，BD，交于点O，则由∽，得，，，平面ABCD，平面ABCD，又平面QBD，平面平面ABCD．(Ⅱ)过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则即为直线QD与平面PBC所成角，设为，设，，，即，解得，，直线QD与平面PBC所成角的正弦值．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.20.现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率（1）当时，求的值；（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据随机事件概率的性质，由可得出答案；（2）先设出各个事件后得出，由题意得，且，从而解出p的取值范围。【小问1详解】解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴．又，∴．【小问2详解】记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少