人教版高中数学精讲精练选择性必修三8.2 一元线性回归模型及其应用（精讲）（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.2一元线性回归模型及其应用（精讲）考点一样本中心的应用【例1】（2022春·河南新乡·高二校考期中）某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数与平均气温（℃）的数据如下表，由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（

）平均气温（℃）22262932患肠道感染类疾病的人数12252756A．57 B．59 C．61 D．65【答案】C【解析】由表格数据可得，，，因为点在直线上，，所以，所以，故当时，，即预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为61，故选：C.【一隅三反】1．（202四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（

）周数（x）12345治愈人数（y）51535？140A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，设第4周的治愈人数为，则有，，所以样本中心点为，代入到回归方程中，得，故选：B.2．（2022秋·陕西榆林·高二校考期中）已知，的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若与线性相关，且，则（

）A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【答案】D【解析】由表格，得，，线性回归直线过样本中心点，所以，所以.故选：D考点二线性回归方程【例2】（2022春·河南新乡·高二校考期中）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数（精确到0.01）；(2)统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下，预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？月份元月2月3月4月5月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7参考公式：，【答案】(1)平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元(2)预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆【解析】（1）因为直方图的组距为1，则各组频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为：万元.因为，所以中位数在区间内，设中位数为，则有，解得，所以中位数的估计值为3.33万元.（2）记，，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系，因为，，则有：，，所以，，所以回归直线方程为，当时，，所以预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆.【一隅三反】1．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1—7分别对应年份2016—2022.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)答案见解析；(2)，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.【解析】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据可得：，，，，，，所以.因为y与t的相关系数近似为，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.（2）由及（1）得，.所以y关于t的回归方程为：.因为，将对应的代入回归方程得：.所以预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.2．（2022秋·四川·高二四川师范大学附属中学校考阶段练习）为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了人，按其免疫力指标分成如下五组:，，，，，其频率分布直方图如图所示.今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标与疫苗注射量个单位具有线性相关关系，样本数据的散点图如图所示.附:对于一组样本数据，，…，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.(1)求体检中心抽取的100个人的免疫力指标的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？【答案】(1)27(2)个单位.【解析】（1）由频率分布直方图可得，抽取的个人的免疫力指标的平均值为.（2）由散点图可得组样本数据分别为，，，，且与具有线性相关关系，∵，，∴，，故关于的线性回归方程为，由（1）可知，普通成年人群自身免疫力指标的平均值为，∴令，得，解得，∴疫苗注射量不应超过个单位.3（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）有一个开房门的游戏，其玩法为:盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门.每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”.(1)有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表:若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）；(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.参考公式：最小二乘估计，.参考数据：取，，其中，.【答案】(1)人(2)【解析】（1）解：令，设，由条件知，，所以，，从而，故所求的回归方程为.所以，估计当时，，即抽取轮才“成功”的人数约为人.（2）解：由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立.因为，，所以，前两轮均失败的概率为.故游戏要进行三轮的概率为.考点三非线性回归方程【例3-1】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该县近年人均可支配收入如下表所示，记年为，年为，…以此类推．年份年份代号人均可支配收入（万元）(1)使用两种模型：①；②的相关指数分别约为，，请选择一个拟合效果更好的模型，并说明理由；(2)根据（1）中选择的模型，试建立关于的回归方程．（保留位小数）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．参考数据：，令，．【答案】(1)应选择(2)【解析】（1），根据统计学知识可知：越大，模型拟合效果越好，应选择模型.（2）令，，，，又，，，关于的回归方程为.【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：天数123456繁殖个数612254995190(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．3.5062.833.5317.50596.5712.09（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系（即为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】(1)选择为回归方程较宜(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】（1）作出散点图如图所示．由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，故选择为回归方程较宜．（2）（i）证明：由已知：令，则，则，，即．所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系．（ii）由（i）知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，，，得到关于的线性回归方程为，又，因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：206677020014460312500021500(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：.【答案】(1)模型的拟合程度更好(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元【解析】（1）由题意进行数据分析：则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即.由于所以关于的线性回归方程为，所以，则.（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，又所以，解得，所以预测下一年的研发资金投入量是亿元2．（2023云南）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数（）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表．275731．121．71502368．3630表中，．(1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，试求y关于x的回归方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）适宜作为y与x之间的回归方程模型；理由如下：回归方程模型适用于散点图呈直线型；回归方程模型适用于散点图上升，且上升趋势越来越慢；回归方程模型适用于散点图上升，且上升趋势越来越快，呈指数型变化；根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型．（2）令，则，由表中数据可得，；，∴；∴y关于x的回归方程为．3（2023·全国·高二专题练习）根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：年份20162017201820192020年份代码12345每周人均读书时间（小时）1.32.85.78.913.8现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一:；模型二:，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为.(1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为.附：参考数据：，其中，.参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】(1)；(2)模型二的拟合效果更好.【解析】（1）令，则模型二可化为关于的线性回归问题，则，，则由参考数据可得，，则模型二的方程为；（2）由模型二的回归方程可得，，，，，，∴，故模型二的拟合效果更好.考点四残差【例4-1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经验表明,树高与胸径具有线性关系,为了解回归方程的拟合效果,利用下列数据计算残差,用来绘制残差图.胸径x/cm18.219.122.324.526.2树高的观测值y/m18.919.420.822.824.8树高的预测值18.619.321.523.024.4则残差的最大值和最小值分别是（

）A．0.4,-1.8 B．1.8,-0.4 C．0.4,-0.7 D．0.7,-0.4【答案】C【解析】由表可得,各组数据的残差为:,,,,,故残差最大值为0.4,最小值为-0.7.故选:C【例4-2】（2022·广西）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位:万元)如表所示:月份12345678物流成本x8383.58086.58984.57986.5利润y114116106122132114m132残差0.20.61.8-3-1-4.6-1根据最小二乘法公式求得线性回归方程为.(1)求m的值，并利用已知的线性回归方程求出八月份的残差值(2)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程.附1附2附3【答案】(1)；；(2)线性回归方程模型为.【解析】（1）由已知数据可得：，因为点在回归直线上，所以，所以，所以，所以八月份的残差值；（2）由已知可得，，，，，，，又由(1)知所以8月份的残差绝对值最大，所以8月份的真正利润应该为116万元，此时，又，所以，，所以数据核实后的新的线性回归方程为.【一隅三反】1．（2023春·河南开封）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（

）A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0