浙教版2017年浙江省宁波某中学自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1.（3分）下列运算正确的是（）

A.y=±2B.V2+73=75c.D.-|-2|=-2

2.（3分）估计68的立方根的大小在（）

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

21

3.（3分）分式工值为零的条件是（)

x+1

A.xW-1B.x=lC.x=-1D.x=±l

4.（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，52中

—2.5,S?乙=1.8,那么（）

A.甲的波动比乙的波动大

B.乙的波动比甲的波动大

C.甲、乙的波动大小一样

D.甲、乙的波动大小无法确定

5.（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）

A.对角相等B.对角线相等

C.邻角互补D.内角和是360°

6.（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化

的图象，根据图象下列结论错误的是（）

A.轮船的速度为20千米/小时

B.快艇的速度为40千米/小时

C.轮船比快艇先出发2小时

D.快艇不能赶上轮船

7.（3分）下面说法错误的是（)

A.直线y=x就是一、三象限的角平分线

B.函数y=3x-10的图象经过点（3,-1）

C.函数y=2中），随X的增大而减小

X

D.抛物线y=7-2x+l的对称轴是直线x=l

8.（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一

个圆，那么这个几何体的侧面积是（）

A.—B.返兀C.返兀D.—

4422

9.（3分）如图，菱形A8CO的周长为20c〃?，sin/BA£>=3,£>E_LA8于点E,下列结论中:

5

①SABCD=15CW；②BE=1C，〃；（3）AC=3BD.正确的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

10.（3分）如图，已知A、8两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,0c的圆心坐标为（-1,

0）,半径为1.若。是0C上的一个动点，线段OA与y轴交于点E,则4ABE面积的最

小值是（）

11.（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名

题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹.”

当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆

的直径.正确的答案是（）

A.3步B.4步C.5步D.6步

12.（3分）将俞沿弦8c折叠，交直径AB于点。，若AD=4,OB=5,则BC的长是（）

A.3救B.8C.765D.2^/15

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（3分）分解因式：/_a=.

14.（3分）函数y=5/3-x的自变量x的取值范围为.

15.（3分）抛物线y=o?+Zzx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

X…-3-2-101・・・

y…-60466•・・

容易看出，（-2,0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为.

16.（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径

是.

17.（3分）标有1,1,2,3,3,5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方

体一次，记朝上一面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直角坐标系中的一个点（x,

y）.已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点尸（4,7）,则他第三次掷得的点

也在这条直线上的概率为.

18.（3分）如图，有任意四边形ABC。，A'、B'、C'、D'分别是A、B、C、D的对

称点，设S表示四边形的面积，S'表示四边形4'B'CD1的面积，则-的

S

值为.

三、解答题(共8小题，满分66分)

19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求机的值及

方程的根.

20.(6分)如图，已知AB是的直径，直线CD与OO相切于点C,AC平分ND4B.

(1)求证：AD±CD；

(2)若4力=3,AC=A/15，求AB的长.

21.(8分)一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同.

(1)搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；

(2)搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为2,应如何添加红球？

3

22.(8分)如图，线段48的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段48绕点

A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.

(1)请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；

(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点4的坐标为(1,3),点8的坐标为

(-2,-1),则点C的坐标为；

(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T,若将图形7

围成一个几何体的侧面，求该儿何体底面圆的半径长.

23.（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球.他在第6,7,8,9

场比赛中分别得了22,15,12和19分，他的前9场比赛的平均得分y,前5场比赛的平

均得分x,如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分.

（1）用含x的代数式表示y；

（2）当无时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？

（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？

24.（10分）已知：如图，直线y=-Jr+4次与x轴相交于点A,与直线y=相交于

点P.

（1）求点P的坐标；

（2）请判断△。必的形状并说明理由；

（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着0、P、A的路线向点A匀速运

动（E不与点O,A重合），过点E分别作EFLc轴于F,轴于B,设运动f秒时，

矩形EBO/与△。出重叠部分的面积为S.

求：①S与，之间的函数关系式.②当■为何值时，5最大，并求出S的最大值.

25.（10分）矩形纸片ABCO中，AD=}2cm,现将这张纸片按下列图示方式折叠，4E是折

痕.

（1）如图1,P,。分别为AD,BC的中点，点。的对应点F在PQ上，求PF和AE的

长；

(2)如图2,DP』AD,CQ=—BC-点O的对应点尸在PQ上，求AE的长；

33

(3)如图3,DP』AD,CQ=—BC-点。的对应点尸在PQ上.

nn

①直接写出AE的长(用含n的代数式表示)；②当n越来越大时，AE的长越来越接

近于.

26.(10分)如图，已知抛物线y=a/+fev-3与无轴交于力、8两点，与y轴交于C点，经

过A、B、C三点的圆的圆心M(l,〃?)恰好在此抛物线的对称轴上，OM的半径为遥.设

OM与y轴交于£>,抛物线的顶点为£

(1)求，〃的值及抛物线的解析式；

(2)设/£>BC=a,NC8E=0,求sin(a-p)的值；

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、4、C为顶点的三角形与ABCE相似？若

存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

“

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1.（3分）下列运算正确的是（）

A.返=±2B.如他点C./叮3=3D.十2|=-2

【分析】根据二次根式的定义，二次根式的加法法则，同底数基的乘法法则以及绝对值

的性质，可求得的答案.

【解答】解：A、74=2.故本选项错误；

B、心愿士遥，故本答案错误；

C、xl*xi—x5,故本选项错误；

。、-|-2|=-2,故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的性质，同底数基的乘法，绝对值的性质等知识.题目比

较简单，解题要注意细心.

2.（3分）估计68的立方根的大小在（）

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

【分析】由于43=64,53=125,所以68的立方根在4和5之间，由此即可判定选择项.

【解答】解：V43=64,53=125,

而64<68<125,

,4〈病<5.

故选：C.

【点评】此题主要考查了无理数的估算，需掌握三次根式的基本运算技能，灵活应用.“夹

逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

21

3.（3分）分式匚L值为零的条件是（）

x+1

A.xW-IB.X—IC.X--ID.X—±I

【分析】分式的值为。的条件是：（I）分子为0;（2）分母不为0.故/-l=0且x+1

¥0,解得x的值即可.

【解答】解：由题意可得7-1=0且x+IWO,

解得x=l.

故选：B.

【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）

分子为0；（2）分母不为0.这两个条件缺一不可.由于该类型的题易忽略分母不为。这

个条件，所以常以这个知识点来命题.

4.（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，$2中

—2.5,S2乙=1.8,那么（）

A.甲的波动比乙的波动大

B.乙的波动比甲的波动大

C.甲、乙的波动大小一样

D.甲、乙的波动大小无法确定

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越

小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】解：由于S甲2Vs乙2,则成绩较稳定的同学是甲.

故选：A.

【点评】此题主要考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越

大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表

明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

5.（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）

A.对角相等B.对角线相等

C.邻角互补D.内角和是360°

【分析】此题可根据平行四边形的性质结合每个选项进行分析判断是否.

【解答】解：平行四边形的性质有：①对角相等，②内角和是360°,③对边相等且平

行，④邻角互补，⑤对角线互相平分，

那么B、对角线相等是平行四边形不具有的.

故选：B.

【点评】此题考查了学生对平行四边形的性质的理解与掌握，解题的关键是根据平行四

边形性质分析判断.

6.（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化

的图象，根据图象下列结论错误的是（)

A.轮船的速度为20千米/小时

B.快艇的速度为40千米/小时

C.轮船比快艇先出发2小时

D.快艇不能赶上轮船

【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发4小时

后被快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等.

【解答】解：观察图象，可知轮船出发4小时后被快艇追上，所以错误的是第四个结论.故

选。.

【点评】本题考查学生观察图象的能力，需仔细分析，从中找寻信息.

7.（3分）下面说法错误的是（）

A.直线y=x就是一、三象限的角平分线

B.函数y=3x-10的图象经过点（3,-1）

C.函数中y随x的增大而减小

D.抛物线y=7-2x+l的对称轴是直线x=l

【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答，对于反比例函数，首

先系数k的正负，然后判断图象所在象限和单调性，判断二次函数的对称轴，要把二次

函数化成顶点式的形式进行判断.

【解答】解：4直线y=x就是一、三象限的角平分线，正确，

B、把点（3,-1）代入y=3x-10中，式子成立，正确，

C、反比例函数系数k=2,函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小,

在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，

D、抛物线y=7-2x+l=（x-1）2,故可得对称轴为x=l,正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质，解答本题的关键是熟

练掌握这些函数的性质，本题是道基础性比较强的习题，同学们做题时需要细心.

8.（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一

个圆，那么这个几何体的侧面积是（）

A.—B.返兀C.返兀D.—

4422

【分析】该几何体的俯视图为一个圆，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何

体为圆锥.由已知三角形的边长为1,易得底面半径以及母线长，可求出侧面积.

【解答】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为工,

2

母线长为1,

因此它的侧面积=TTX工X1=_2L.故选D

22

【点评】本题要先判断出几何体的形状，然后根据该儿何体侧面积的计算方法进行计

算.本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长.

9.（3分）如图，菱形ABCZ）的周长为2（kro,sinZBAD=.l,£>E_LAB于点E,下列结论中：

5

@SABCD=\5cm2；②@AC=3BD.正确的个数为（）

A.0个B.I个C.2个D.3个

【分析】由菱形的性质和三角函数，可求出AE的长，即可求解.

【解答】解：由题意可得，菱形的边长为5cm

又sinZ逗_=—,

AD5

：.DE=3,所以AE=4,

，5菱形/18。0=5乂3=150〃2,BE=AB-AE=\cm,

BD=A/DE2+BE

AC=15X2+V10=3A/10>

：.AC=3BD.

故可得①②③正确，共三个.

故选：D.

【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相平分且相等;

菱形的面积等于对角线积的一半.此题还要注意结合三角函数求解.

10.(3分)如图，已知A、2两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),OC的圆心坐标为(-1,

0),半径为1.若。是0c上的一个动点，线段D4与y轴交于点E,则△ABE面积的最

小值是()

A.2B.1C.2-^-D.2-V2

【分析】由于OA的长为定值，若△48E的面积最小，则BE的长最短，此时A。与。0

相切：可连接CD,在为△ADC中，由勾股定理求得的长，即可得到△ADC的面积；

易证得△AEOs/viCO,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出aAOE的

面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解.

【解答】解：若△48E的面积最小，则AO与。C相切，连接C£>,则COLA。；

RtZ\4C£)中，CD=1,AC=OC+O4=3；

由勾股定理，得：AO=2加；

S^ACD-LD-CD-加；

2

易证得△AOEs/VlOC,

S

.AA0E(0A)2=(_2_)2=工，

2AADC&2-722

即5AAOE=A5AADC=^-:

22_

.".SMBE=S^AOH-5A4(?E=—X2X2-2^2.=2-^_；

222

另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！

故选：c.

【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；

能够正确的判断出ABE面积最小时AD与OC的位置关系是解答此题的关键.

11.（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名

题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹.”

当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆

的直径.正确的答案是（）

A.3步B.4步C.5步D.6步

【分析】首先根据题意画出图，观察发现直角三角形的内切圆半径，恰好是直角三角形

内三个三角形的高，因而可以通过面积SA4BC=SAA0B+S"0C+S"0C,这一面积相等，求

得内切圆的半径.

【解答】解：在RtaABC中，AB=15步，BC=8步，内切圆半径为r.

AC=VAB2+BC2=V152+82=17（勾股定理），

:

SMBC=S^AOB+S^BOC+SMOC=^-^-r+yBCT+yAC-r=y（AB+BC+AC）r'

.11/、

••yAB-BC=y（AB+BC+AC）r，

•“=AB・BC=15・8=

•,AB+BC+AC15+8+17

直径为6.

故选：D.

A

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理，解决本题的关键是将求内切圆半

径转化为从不同角度求Rt/XABC的面积.

12.（3分）将踊沿弦BC折叠，交直径AB于点。，若A£>=4,DB=5,则8c的长是（）

A.3救B.8C.V65D.25/15

【分析】若连接8、AC,则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC

=C。；过C作AB的垂线，设垂足为E,则。E=L。，由此可求出8E的长，进而可在

2

及△ABC中，根据射影定理求出BC的长.

【解答】解：连接CA、CD；

根据折叠的性质，知&所对的圆周角等于NCB。，

又：免所对的圆周角是NCBA,

■:NCBD=NCBA,

：.AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；

是等腰三角形；

过C作CE_LAB于E.

；4。=4,则AE-2；

：.BE=BD+DE=lt

在RtZ^ACB中，CEYAB,根据射影定理，得：

BC2=8£?AB=7X9=63；

故BC=3我.

故选：A.

【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理

来判断出△ACO是等腰三角形，是解答此题的关键.

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（3分）分解因式：a（a-1）.

【分析】这个多项式含有公因式“，分解因式时应先提取公因式.

【解答】解：a2-a=a（a-1）.

【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项.

14.（3分）函数y=火三的自变量x的取值范围为

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3-x20,解得x的范围.

【解答】解：根据题意得：3-x^0,

解得：xW3.

故答案为：xW3.

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面

考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

15.（3分）抛物线y=/+6x+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：

X…-3-2-101…

・・・・・・

y-60466

容易看出，（-2,0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为@

0）.

【分析】根据（0,6）、（1,6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可.

【解答】解：：抛物线y=a?+法+c经过（0,6）、（1,6）两点，

对称轴x=81=上：

22

点（-2,0）关于对称轴对称点为（3,0）,

因此它与x轴的另一个交点的坐标为(3,0).

【点评】本题考查了二次函数的对称性.

16.(3分)两个圆内切，其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是

3或7.

【分析】分5为较大圆、较小圆两种情况求解.

【解答】解：分两种情况：

当5为较大的圆时，另一个圆的半径=5-2=3；

当5为较小的圆时，另一个圆的半径=5+2=7.

,另一个圆的半径是3或7.

【点评】本题用到的知识点为：两圆内切，圆心距=两圆半径之差.注意其中一圆的半

径可能在较大圆，也有可能在较小圆.

17.(3分)标有1,1,2,3,3,5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方

体一次，记朝上一面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直角坐标系中的一个点(x,

y).已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P(4,7),则他第三次掷得的点

也在这条直线上的概率为—•!_.

后⑶3|

【分析】根据概率的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率.

【解答】解：每掷一次可能得到6个点的坐标分别是(其中有两个点是重合的)：

(1,1),(1,1),(2,3),(3,2),(3,5),(5,3),

通过描点和计算可以发现，经过(1,1),(2,3),(3,5),

三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4,7),

所以小明第三次掷得的点也在直线/上的概率是1=2..

63

故答案为：2

3

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能性相同,

其中事件A出现〃，种结果，那么事件A的概率P（A）=典.

n

18.（3分）如图，有任意四边形ABCD,4'、B'、C'、D'分别是A、B、C、D的对

称点，设S表示四边形A8CO的面积，S'表示四边形A'B'CD'的面积，则-的

S

【分析】根据C是8"的中点，则根据三角形的面积公式可得△A'BC的面积=4A'

B'C的面积，则△44'D'的面积、2CD,力的面积、CC的面积即可求得.

【解答】解：连接4C、

,:C是BB'的中点.

.•.△A'BC的面积=ZiA'B'C的面积.

同理：缸NBC的面积=4ABC的面积.

.•.△4'BB'的面积=2Z\ABC的面积.

同理：AAA'D'的面积=244B。的面积，△（；'D'O的面积=24AC。的面积，

CC的面积=2Z\BCQ的面积.

:AABC的面积+A4BZ）的面积+ZV1CD面积+Z\8C£＞的面积=2S,

...△4'BB'的面积+ZVL4'D'的面积+△（?'D'。的面积+△*CC的面积=45,

:.S'=55,

:一的值为5.

S

【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的面积的计算，正确理解三角形的面积公式是

解题的关键.

三、解答题（共8小题，满分66分）

19.（6分）已知关于x的一元二次方程f-4x+/〃-1=0有两个相等的实数根，求的值及

方程的根.

【分析】根据△=（）时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出，小利用因

式分解法解方程求出方程的根.

【解答】解：•••一元二次方程1=0有两个相等的实数根，

.,.△=42-4XlX（?n-1）=20-4%=0,

解得，m=5,

x2-4x+4=0

（x-2）2=0,

XI=X2=2.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程以2+云+c=o（aWO）的

根与△=y-4改有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△

=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜（）时，方程无实数根.上面的结论反过

来也成立.

20.（6分）如图，已知4B是。。的直径，直线CD与。。相切于点C,AC平分/D4B.

(1)求证：AD±CD；

(2)若40=3,求AB的长.

【分析】（1）连接OC；根据切线的性质知：OCLCD：因此只需证OC〃A。即可.已知

4c平分NBAO,即/D4C=NBAC,等腰△CMC中，ZOAC^ZOCA,等量代换后可得

出OC、A。的内错角相等，由此得证.

（2）连接2C,证△AOCsaACB,根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将A8

的长求出.

【解答】（1）证明：连接0C,

；直线CD与。。相切于点C,

：.OCYCD.

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

：AC平分/OAB,

：.ZDAC^ZOAC.

：.ZDAC=ZOCA.

OC//AD.

：.ADLCD.

(2)解：连接BC,则乙4cB=90°.

'：ZDAC=ZOAC.

：./\ADC^/\ACB.

.AD=AC

"ACAB"

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计

算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

21.（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同.

（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；

（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为2,应如何添加红球？

3

【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据

概率公式求出该事件的概率；

（2）首先设应添加x个红球，根据概率公式即可列得方程，解方程即可求得答案.

【解答】解：（1）树状图如图：

•••一共有6种情况，两个球都是白球有2种，

：.p(两个球都是白球)=2」；

63

(2)设应添加x个红球,

由题意得：上区=2,

3+x3

解得X-31

经检验是原方程的解，

答：应添加3个红球.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及古典概率的求解方法.列表

法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.(8分)如图，线段48的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段48绕点

A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.

(1)请你在所给的网格中画出线段AC及点2经过的路径；

(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为

(-2,-1),则点C的坐标为(5,0)；

(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T,若将图形7

围成一个几何体的侧面，求该儿何体底面圆的半径长.

【分析】(1)由旋转的性质可画出线段AC,点B经过的路径是以点A为圆心，AB长为

半径的弧；

(2)根据点A8的坐标建立直角坐标系，从而得出点C的坐标；

(3)线段AB扫过的图形为扇形，它所围成的几何体为圆锥，可计算出圆锥的底面周长,

从而求得底面半径.

【解答】解：(1)如图：

(2)C的坐标为(5,0)；

(3)/=90冗><5=5几

~1802~,

设该几何体底面圆的半径r,则2巾「更,

2

解得r=互，

4

该几何体底面圆的半径长为

【点评】本题考查了扇形面积的计算、坐标与图形的性质，以及圆锥的计算，解题思路:

解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径：

(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关

键.

23.(8分)在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球.他在第6,7,8,9

场比赛中分别得了22,15,12和19分，他的前9场比赛的平均得分y,前5场比赛的平

均得分x,如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分.

(1)用含x的代数式表示);

(2)当时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？

(3)小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？

【分析】(1)根据前5场比赛的平均得分x,以及第6,7,8,9场比赛中分别得了22,

15,12和19分，以及前9场比赛的平均得分y,可以得出等式求出即可；

(2)根据x的最值，可以求出总分的最大值；

(3)根据10场比赛的得分最小值可以求出第10场比赛的最小值.

【解答】解：(1)根据题意得：)，=工(5X+22+15+12+19),

9

即)，=2：+至_；

-99

(2)由题意有y>x,

即5x+68>9%

解得：x<H,

小明在前5场比赛中总分的最大值应为17X5-1=84；

(3)由题意，小明在这10场比赛中得分至少为18X10+1=181,

设他在第10场比赛中的得分为S,

则有：

84+(22+15+12+19)+5》⑻,

解得：S229,

所以小明在第10场比赛中得分的最小值应为29.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一次函数与一次不等式的综合应用，根据

不等式确定最值是初中阶段的难点问题，同学们应认真思考.

24.(10分)已知：如图，直线y=-/市+4次与x轴相交于点A,与直线y=5/球相交于

点P.

(1)求点P的坐标；

(2)请判断△。抬的形状并说明理由；

(3)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着。、P、A的路线向点A匀速运

动（E不与点。，A重合），过点E分别作EFLc轴于尸，EBJ_y轴于B,设运动f秒时,

矩形EBOF与△。必重叠部分的面积为S.

求：①S与r之间的函数关系式.②当r为何值时，S最大，并求出S的最大值.

【分析】（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；

（2）将y=0代入y=-①+幺回，可求出OA=4,作PDA.OA于D,则0£>=2,PD

=2\后，利用tan/POA=F，可知NPO4=60°,由。尸=4.可知△尸。4是等边三角

形;

(3)①当0<fW4时，在RtZ\E。尸中，NEOF=60。,OE=t,则EF=

则S=LOF・EF=J^；

28

②当4<fV8时，如图，设EB与OP相交于点C,易知：CE=PE=t-4,AE=8-t,可

得AF=4-工十，EF=&(8-力，有OF=OA-AF=4-(4-工+)=工十，S=1.CCE+OF)

22222

•EF=--1^/3^+47^-8料.

，y=-V3x+4>/3

【解答】解：（1）由题意可得：!

y=V3x

x=2

解得

y=2V^‘

所以点P的坐标为（2,2a）;

(2)将y=0代入>■=--V3v+4V3=0,

，元=4,即04=4,

作PQJ_OA于。，则0。=2,PD=2。

■:tanZPOA=义3=愿，

2

・・・NPQA=60°,

7C，F=V22+(2A/3)2=4,

...△PO4是等边三角形；

(3)①当0<7・4时，如图1,在RtZ\EOF中,

VZEOF=60°,OE=t,

...£/=返+,0/=工十，

2t2

S=2•0尸•EF=返？.

28

当4<f<8时，如图2,设EB与。P相交于点C,

\'CE=PE^t-4,AE=8-t,

.\AF=4-J-+,EF=®(8-t),

22

AOF=OA-AF=4-(4-—+)=—+，

2E2i_

；.S=L(CE+OF)・EF=ZC-4+L)X返(8-f),

2222

=-3-yf^2-8

8

②当0<rW4时，S=叵干,r=4时，S最大=2«；

8

当4<r<8时，S=-匆牙+46-873=-3爪(r-旭)2+3向,

8833

/=¥"时，s垠大=]

♦••$仔2次，

3

.•.当『竽时，s最大，最大值为豺]

图2

图1

【点评】把动点问题与三角形的性质相结合，增加了难度，在解答时要注意t在三个取

值范围内的情况，不要漏解.

25.（10分）矩形纸片A8CD中，AD^Ucm,现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折

痕.

（1）如图1,P,。分别为4D,BC的中点，点。的对应点尸在PQ上，求P尸和4E的

长；

（2）如图2,DP=AAD,CQ=LB。点。的对应点尸在P。上，求AE的长；

33

（3）如图3,DP』AD,CQ=—BO点D的对应点F在尸。上.

nn

①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接

近于12.

【分析】（1）根据P、Q是矩形ABCD中A。，8c的中点，可得

即卷皿总的，ZAPF=90°＞从而可得/AFP=30°,/以。=60°然后利用三角函

数值即可求解.

(2)根据DP』AD=4，求得EP，利用力E=EF,NAED=NAEF,NAED=NFGE,求

证EP=GF,设OE=x,则GF=x利用△APGs/XAOE的对应边成比例可求的AE.

（3）①可得杷="炉、，②当〃越来越大时,根据AE=12、匚鱼可判定AE的长.

V2n-1

【解答】解：（1）:尸、Q是矩形A8CD中A。，8c的中点,

.••研卷皿总的，ZAPF=90°，

；.NAFP=30°,

PF=V3XAP=6V3-

AZFAD=60°,

•'•ZDAE=yZFAD=30°，

'螳飞黑“cm

⑵vDP=4-AD=4»

o

9

・•・AP=yAD=8

o

FP=7122-82=4V5,

,:DE=EF,/AED=NAEF,NAED=NFGE,

：.ZFGE=NFEG,

：.EF=GF,

设DE=x,则GF^x

"：XAPGsMADE,

•PGAP

••布而

.2

,,PG=-T-X

o

•'-yx+x=4V5'

•12u

・・x:^V5,

•*-AE=VAD2+DE2=12^;

（3）①可得AE=12

②••,AE=12

.•.当〃越来越大时，AE越来越接近于12.

故答案为：12.

【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换(折叠问题)等

知识点，综合性较强，特别是翻折变换(折叠问题)要求学生应具备一定的空间想象能

力，因此此题有一定的拔高难度，属于难题.

26.(10分)如图，已知抛物线y=o?+法-3与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，经

过4、B、C三点的圆的圆心加)恰好在此抛物线的对称轴上，0M的半径为旗.设

OM与y轴交于£>,抛物线的顶点为£

(1)求〃?的值及抛物线的解析式；

(2)设NDBC=a,ZCBE=p,求sin(a-p)的值；

(3)探究坐标轴上是否存在点尸，使得以P、4、C为顶点的三角形与△BCE相似？若

存在，请指出点尸的位置，并直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点8的坐标，根据对

称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；

(2)由抛物线的解析式可求得点4,E,B,C,。的坐标，判断RtZ\BODsRt^BCE,

得NCBE=NOBD=B，因此sin(a-0)=sin(NOBC-NOBD)=sin/OBC=曳=&；

BC2

(3)显然RtzXCOAsRtZ^BCE,此时点Pi(0,0),

过A作4P2_LAC交y正半轴于P2,由RtZ\CAP2sRdBCE,得P2(0,-1),

3

过C作CPylAC交x正半轴于P3，由RtAftCA^RtABCE,得ft(9,0),

故在坐标轴上存在三个点Pl(0,0),P2(0,工)，P3(9,0),使得以P、A、C为顶点

3

的三角形与ABCE相似.

【解答】解：(1)由题意可知C(0,-3),一旦=1,

2a

抛物线的解析式为y=o?-25-3(a>0),

过M作MN_Ly轴于N,连接CM,则MN=1,CM=遥,

:.CN=2,于是tn=-1.

同理可求得8(3,0),

：.aX32-2aX3-3=0,得a=l.

，抛物线的解析式为y=7-2x-3.

(2)由(1)得A(-1,0),E(1,-4),