【课件】新教材高中数学第四章指数函数与对数函数53函数模型的应用课件新人教A版必修第一册

4．5函数的应用(二)第四章指数函数与对数函数4．5.3函数模型的应用用函数模型解应用题的四个步骤．(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步

选择模型．(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符

号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有数据完全符合该函数模型． (

)(2)利用函数模型求实际问题的最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符． (

)(3)用函数模型预测的结果必须和实际结果相符合. (

)(4)数据拟合时，得到的函数必须要进行检验． (

)【解析】(1)在选择实际问题的函数模型时，允许少量数据不符合该函数模型．×√√√

某城市2020年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口总数将达到120万人(精确到1年).(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.301，lg1.012≈0.005)解：(1)2020年底人口总数为100万人，经过1年，2021年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，经过2年，2022年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(万人)，经过3年，2023年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3(万人)，……所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x(万人)，所以y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人).(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＝120，即lg[100×(1＋1.2%)x]＝lg120，整理得，2＋xlg1.012＝2＋lg1.2，解得x≈16.所以经过16年以后，该城市人口总数将达到120万人．[规律方法]有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可用公式y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y＝f(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．

人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量中常用声音的强度水平L表示，它们满足关系式L＝10·lg(单位为分贝，L≥0，I0＝1×10－12W/m2，I0是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，求声音强度I的范围．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(

)DA．y＝2t

B．y＝2t2C．y＝t3 D．y＝log2t【解析】由图形知该函数可能是y＝log2t.

某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(精确到0.01万元).解：以投资金额为横轴，纯利润为纵轴，分别在平面直角坐标系中画出图象，如图所示．由图1可以看出，A种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．取(4，2)为最高点，则yA＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以yA＝－0.15(x－4)2＋2；由图2可以看出，B种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．此时B商品的投资为9万元．故该经营者第七个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示．(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2016年和2018年的数据求出相应的解析式；(2)因受新冠肺炎疫情的影响，2020年的年产量比预计减少了30%，试根据所建立的函数模型，求出2020年的年产量．解：(1)最适合的函数模型为f(x)＝ax＋b，理由如下：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝2＋a＝4，可知a＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知数据相差很大，不符合．[规律方法]1．对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数解析式，

再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回

答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合

直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得

沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则

沙漠增加值y(万公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是(

)【解析】当x＝1时，排除选项B；当x＝2时，排除选项D；当x＝3时，排除选项A.故选C.C2．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)

与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据如下表：为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝0.04v＋3.6，Q(v)＝0.5v＋a，Q(v)＝0.000025v3－0.004v2＋0.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120](单位：km/h).为使百公里耗油量W(单位：L)最小，该型号汽车行驶的车道与速度为(

)A．在外侧车道以80km/h行驶B．在中间车道以90km/h行驶C．在中间车道以95km/h行驶D．在内侧车道以115km/h行驶A3．我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年

后的值是1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是1%，一年后的值是0.99365，照此计算，若“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，则需经过的天数为(参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436)(

)A．100 B．108C．115 D．124C(i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；(ii)调度后每座水库