微专题02平面向量的最值与范围问题（原卷版）

微专题02平面向量的最值与范围问题题型1向量数量积的最值范围题型2向量夹角的最值范围题型3向量模长的最值范围题型4系数关系的最值范围一、平面向量求最值范围的常用方法1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。二、平面向量数量积的最值问题求解策略平面向量具有代数和几何的双重属性,求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路,代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。求解平面向量数量积的最值问题,最基本的思路就是结合数量积定义与向量运算公式,选择恰当的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。这类问题一般有以下几种转化方向:利用数量积的定义,借助平面几何知识,转化为关于某个变量的函数,思路1：利用向量运算(三角形法则)和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数,思路2：利用向量极化恒等式:a⋅思路3：建立平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算,思路4：设角度,把问题转化为三角函数问题后,换元求最值问题,建立目标函数后求最值,需具体问题具体分析，求最值问题一般有两种方法:一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解。三、与模有关的最值(范围)问题求向量模的最值(范围)的方法通常有两种.(1)代数法.把所求的模表示成某个变量的函数,或通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标表示;需要构造不等式,利用基本不等式、三角函数,再用求最值的方法求解.(2)几何法(数形结合法).弄清所求的模表示的几何意义,注意题目中所给的垂直、平行,以及其他数量关系,合理的转化,使得过程更加简单;结合动点表示的图形求解.与夹角有关的最值(范围)问题求夹角的最值(范围)问题时,往往要选取对应夹角的三角函数值,以选取夹角余弦值为主,通过余弦值的三角函数表达式,利用关系式的变形与转化,采用基本不等式或函数的性质进行求解.五、与系数有关的最值(范围)问题解此类问题一般分两步走.第一步,利用平面向量的运算、性质等将问题中的系数等相关信息转化为相应的等式关系;第二步,运用基本不等式或函数的性质求其最值.平面向量中的最值(范围)问题,是高考对平面向量比较常见的考查形式之一,也是常考常新的基本考点之一,主要考查的知识点涉及平面向量的模、坐标、夹角、数量积以及相关的参数等.在实际解答与应用时,挖掘题目内涵,结合题意,从平面向量的本质出发,选取函数法、三角法、不等式法、图形法等行之有效的基本方法来解决,进而达到解决相关的最值(范围)问题的目的.题型1向量数量积的最值范围1.中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（）A．B．C．D．22.如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为．

3.在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值；4.已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（

）.A． B． C． D．5.等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（）A．B．1C．D．6.如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．7.在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；题型2向量模长的最值范围8.已知为的重心，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．9.已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（

）A． B． C． D．10.已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（）A．1B．C．D．211.已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为.12.边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（）A．B．C．D．13.如图，在等腰梯形中，.点在线段上运动，则的取值范围是(

)A． B． C． D．14.在中，已知，，，点满足（），其中，则的最小值为（）A．B．C．D．15.已知平面向量，，满足，，，则的最小值是．题型3向量夹角的最值范围16.已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．117.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（）A．B．C．D．18.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．19.已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．20.已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．21.已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为.题型4系数关系的最值范围22.在直角中，，，为边上的点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．23.如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（）A．3B．C．D．24.△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（）A．3B．4C．5D．625.在△ABC中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点．若，则的最小值为（）A．B．C．D．26.已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（

）A． B．7 C． D．627.在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（

）．A． B． C．2 D．828.如图扇形所在圆的圆心角大小为，是弧上任意一点，若，那么的最小值是（）A．B