第2章 圆与方程章末题型归纳总结（解析版）

第2章圆与方程章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求圆的方程经典题型二：求轨迹方程经典题型三：直线与圆位置关系经典题型四：圆与圆的位置关系经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题经典题型六：圆中范围与最值问题经典题型七：面积问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：求圆的方程例1．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.例2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为.【答案】【解析】设圆的方程为，令，，则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，所以，，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，所以，所以圆的方程为.故答案为：例3．（2023·安徽合肥·高二校考开学考试）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，则圆的方程为.【答案】【解析】因为，，所以线段的中点坐标为，直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即．圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：，所以圆心的坐标是．圆的半径长，所以圆心为的圆的标准方程是．故答案为:例4．（2023·浙江·高二浙江省普陀中学校联考期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为．【答案】【解析】四边形的周长为，只需求出的最小值时的值.由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令,故,所以直线方程为，令，得，所以.由以上讨论，得四边形的周长最小时，，.设过三点的圆方程为.解得.故的外接圆的方程为.故答案为：例5．（2023·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）的三个顶点分别是，则的外接圆的方程为．【答案】．【解析】因为，所以，线段的中点为，线段的中点为，所以线段的垂直平分线方程为，即线段的垂直平分线方程为，即，由，得，所以所求圆的圆心为，所以圆的半径为，所以的外接圆的方程为，故答案为：例6．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为，半径为，所以所求圆的标准方程为，即以为直径的圆的方程为.故选：A例7．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得圆心坐标，半径为，则圆的方程为，即为，故选：C.例8．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为，关于对称的点为，圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，因此所求的圆的方程为.故选：D例9．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设圆的方程为，由题意知,圆过点，和，所以，解得，所以所求圆的方程为.故选：A例10．（2023·全国·高二专题练习）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，故选：D.经典题型二：求轨迹方程例11．（2023·高二课时练习）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程．【解析】设，则，由，得，即，所以动点的轨迹方程为．例12．（2023·高二课时练习）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程．【解析】在上找一点，则，过作交于，此时满足，如下图，所以，令，则.例13．（2023·高二课时练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．【解析】由恒过，且与圆相交于、，而的圆心为，若的中点为，则，所以，易知：在以为直径的圆上，且，所以弦的中点的轨迹方程且.例14．（2023·高二课时练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.【解析】设的重心G的坐标是，点A的坐标是.已知点B，C的坐标分别是，，则的重心G的坐标满足，.因此有，.①因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足方程，即满足方程.②将①代入②，得.即所求轨迹方程为.例15．（2023·高二课时练习）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.【解析】设所求轨迹上任一点，圆C的方程可化为则圆心坐标为，，因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分），因为AC的中点坐标为，所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分）．例16．（2023·高二单元测试）已知圆(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.【解析】（1）圆的圆心为，半径为2，①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0，则切线过原点，设所求切线方程为，即则圆心到切线的距离为，解得，此时，所求切线的方程为；②若截距均不为0，设所求切线方程为，则圆心到切线的距离为，解得，此时，所求切线方程为或，综上所述，所求切线方程为或或；（2）由题意可知，，则，由，得，化简得，所以，点P的轨迹方程为.例17．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知点和圆为圆上的动点.(1)求的中点的轨迹方程；(2)若，求线段中点的轨迹方程.【解析】（1）设点，，整理得，点在圆上，，整理得点的轨迹方程为.（2）设的中点为，在中，，设为坐标原点，连接，则，，.故线段中点的轨迹方程为.例18．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【解析】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为.（2）设，由及M为线段EF的中点得，解得，即，又因为点E在圆C：上，则，化简得：，故所求的轨迹方程为．例19．（2023·全国·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【解析】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；（2）设，，由，得，所以，又点在圆上，故，所以，化简得的轨迹方程为例20．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.例21．（2023·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解析】设点P的坐标为，点A的坐标为，又，且P为线段AB的中点，所以，则.因为点A在圆C：上运动，即有，代入可得，，整理可得，化为标准方程可得.所以，中点P的轨迹方程为，该轨迹为以为圆心，1为半径的圆.例22．（2023·高二课时练习）已知圆：．(1)求圆的圆心坐标及半径；(2)设直线：①求证：直线与圆恒相交；②若直线与圆交于，两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．【解析】（1）由圆的标准方程知，圆的圆心坐标为，半径长为2．（2）①证明：直线恒过点，因为，所以点在圆内部，即直线与圆恒相交．②设，其中，则，，由垂径定理知，，所以，即，整理得，所以点的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去除与轴的交点）．例23．（2023·全国·高二专题练习）已知圆.过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】当直线斜率存在时，设直线，，其中点，联立方程组，整理得，则，解得或，且，则可得，消去，可得，其中，当直线斜率不存在时，线段AB的中点为，符合，故线段AB的中点M的轨迹方程为，其中.经典题型三：直线与圆位置关系例24．（2023·全国·高二专题练习）关于曲线C：，下列说法正确的是（

）A．曲线C可能经过点B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条C．若，曲线C表示两条直线D．若，则直线被曲线C截得弦长等于【答案】B【解析】A.将点代入方程得，即，方程无解，所以曲线C不可能经过点，故错误；B.若，曲线C：表示以为圆心，以为半径，又原点到圆心的距离为，且，所以原点在圆外，所以过原点与曲线C相切的直线有两条，故正确；C.当时，曲线C：，则，解得，表示点，故错误；D.当时，曲线C：，圆心在直线上，所以直线被曲线C截得弦长为直径，等于2，故错误.故选：B例25．（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，所以易得，，则，直线AB的方程为，显然圆心在直线AB上，即弦AB为该圆的直径，对于A，，即在圆上，则为直角三角形，故A错误；对于B，因为，，，所以，，即为中的最大角，因为，即在圆外，即为锐角，所以为锐角三角形，故B错误；对于C，，即在圆上，则为直角三角形，故C错误；对于D，，即在圆内，则为钝角三角形，故D正确．故选：D．例26．（2023·四川成都·高二校联考期中）直线与圆的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定【答案】C【解析】将直线变形为，所以直线过定点，圆化为标准方程得，因为所以，点在圆内，所以，直线与圆的位置关系为相交.故选：C例27．（2023·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）已知圆，直线.下列说法正确的是（

）A．直线与圆可能相切B．圆被轴截得的弦长为C．直线恒过定点D．直线被圆截得弦长存在最小值，此时直线的方程为【答案】D【解析】C选项：将直线的方程整理为，由，解得，则无论为何值，直线恒过定点，故C选项错误；A选项：圆，圆心，，，即定点在圆内，故直线恒与圆有两个交点，故A选项错误；B选项：令，则，解得，故圆被轴截得的弦长为，故B选项错误；D选项：当截得的弦长最短时，此时直线垂直于圆心与定点的连线，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即，故D正确.故选：D.例28．（2023·全国·高二专题练习）对于任意实数，圆与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相切C．相离 D．与的取值有关【答案】A【解析】∵直线的方程，整理得，令，解得，∴直线过定点，∵圆的方程为，整理得，∴圆的圆心，半径，∴圆心到定点的距离为：，∴点在圆的内部，直线与圆的位置关系是相交.故选：A.例29．（2023·高二课时练习）若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得圆心，半径为，则到的距离，要使圆上存在到的距离为1的点，则，可得.故选：B例30．（2023·贵州黔东南·高二校考期中）若直线与圆总有两个不同的交点，则实数b的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由直线可得过定点，且直线斜率一定存在，若要使直线与圆总有两个不同的交点，所以定点在圆内或圆上，所以，解得或，故选：D例31．（2023·高二课时练习）若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圆，可知圆，∴，又∵直线，即，恒过定点，∴点在圆的内部，∴，即，综上，.故选：A.例32．（2023·全国·高二专题练习）已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.例33．（2023·四川广安·高二四川省广安代市中学校校考阶段练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，点，，因为，所以点在直线上运动，当运动到或时，此时直线，刚好与圆相切，以为例，，故M在右边或点左边时，此时在圆上找点，当与圆相切时，能使最大的位置，即，显然，故不满足题意，当M在与之间时，此时最大角大于45°，故能在圆上找到点N，使得，故故选：B例34．（2023·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】A【解析】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，由得，圆心到直线的距离为：，故圆与直线相切，故选：A例35．（2023·全国·高二专题练习）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.联立，解得或，所以直线与有两个交点.所以直线与曲线的交点个数为2个.故选：B例36．（2023·高二单元测试）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（

）A．-2 B．0C．1 D．3【答案】D【解析】圆的方程可化为，则圆心为，半径为，要使条件成立，设圆心到直线的距离为，则只需要，即，所以的取值不可能是3.故选：D.例37．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，则令，解得，则其过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.故选：C．经典题型四：圆与圆的位置关系例38．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为圆的圆心坐标为，半径为如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，设切线，则圆心到直线的距离，解得或，当时，切线方程为，A正确；当时，切线方程为，即，B正确；另两条切线与直线平行且相距为1，又由，设切线，则，解得，即切线方程分别为，；整理可得两切线方程为和，所以C正确，D不正确.故选：D.例39．（2023·全国·高二专题练习）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】由已知可得，圆心，半径.由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，又直线是圆的切线，所以，直线是圆与圆的公切线.因为，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D.例40．（2023·四川南充·高二统考期末）已知点，，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的有（

）条A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为点A到直线l的距离为1，所以直线l为以为圆心，为半径的圆的切线，同理直线l还是以为圆心，为半径的圆的切线，即直线l为圆与圆的公切线，由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数，因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线有3条，即满足条件的直线有3条.故选：C.例41．（2023·山西朔州·高二校考阶段练习）圆，圆，则两圆的公切线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【解析】圆，圆心为，半径.圆，圆心为，半径.注意到圆心距，则两圆相内切，故公切线条数为1.故选：B例42．（2023·高二课时练习）圆和圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．内含【答案】A【解析】方程可化为，所以圆的圆心坐标为，半径，方程可化为，所以圆的圆心坐标为，半径，所以两圆的圆心距为，又，所以圆与圆相交.故选：A.例43．（2023·山西·高二山西大附中校考期中）以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．两圆与的公共弦所在的直线方程为C．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中A为切点，则的最小值为D．圆：与圆：恰有三条公切线【答案】D【解析】选项A，不可能恒成立，因此直线不恒过点，A错；选项B，两圆方程相减并整理得，因此它们的公共弦所在直线方程不可能是，B错；选项C，，圆半径为，，而，所以，C错；选项D，两圆标准方程分别为，，，，，，，而，两圆外切，它们有三条公切线，D正确．故选：D．例44．（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知圆A：与圆B：，则两圆的公切线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵圆A：圆心，半径为1，圆B：圆心，半径为4，，∴两圆外切，故两圆的公切线有3条.故选：D.例45．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）已知圆与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得.故选：B.例46．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆：的圆心，圆：可化为，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D例47．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【解析】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，半弦长为，则有，解得或（舍），此时故选：.经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题例48．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为2，以、为直径,则的中点坐标为，，以为圆心，为直径的圆的方程为，因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，所以是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：.故选：A．例49．（2023·全国·高二专题练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，因为，所以圆，两圆相减得所在的直线方程为.故选：A.例50．（2023·高二课时练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7【答案】A【解析】，则线段的中点坐标为，易知，则经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，设圆心为，则圆的方程为，当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），则此时P的坐标为，代入圆的方程得，解得或，即对应的切点分别为和，因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点为所求，即点的横坐标为.故选：A例51．（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】将点代入中，成立，即点在圆上，圆心和连线的斜率为，故过圆上点的切线的斜率为，则切线方程为，即，故选：C例52．（2023·全国·高二专题练习）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；点在圆上，故，即故直线l的方程为：令令当l的横纵截距相等时，又解得：即，即故选：A例53．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线经过点，且与圆相切，则,故直线的方程为，即.故选：A.例54．（2023·全国·高二专题练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆可化为，则圆心，半径为；设，切线为、，则，中，，所以．故选：C．例55．（2023·全国·高二专题练习）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圆，可得圆心为，半径为，设是直线的动点，自向圆作切线，当长最短时，两切线所成的角最大，即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，由点到直线的距离公式可得，，，，．故选：C．例56．（2023·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】连接，由切圆于知，，因为直线与平行，则，，而圆半径为，于是，由四边形面积，得，所以.故选：C例57．（2023·全国·高二专题练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.例58．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】圆：中，圆心，半径设，则，则,当时，，故选：C例59．（2023·全国·高二专题练习）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，，根据题意，设为直线上的一点，则，由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为,，半径，则其方程为，变形可得，联立可得直线AB：，又由，则有AB：，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点.故选：B.例60．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接，如图，则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形，又，所以点到直线的距离必须小于或等于，即，所以，故选：D.例61．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【解析】由，，即过定点，由得，半径，则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：C例62．（2023·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知圆：，直线：，直线与圆交于、，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】直线：变形为，令和，解得，所以直线恒过定点，点在圆内部，当垂直于时，最短，此时所以,由于，故时，此时最大，且最大值为故选：B例63．（2023·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，直线可化为，当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，由圆的方程知，圆心为，半径，当直线时，取得最小值，且最小值为，如图，此时弦长对的圆心角一半的正切值为，故圆心角为，所以劣弧长为.故选：B.例64．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为圆的圆心为，半径r=2，因为到直线的距离，所以.故选：B.例65．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将直线的方程变形为，由可得，所以，直线经过定点，圆的标准方程为，圆心为，因为，即点在圆内，故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短，，直线的斜率为，所以，，解得.故选：B.例66．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）直线与圆相交于P，Q两点．若，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．[－1，1] D．[－，3]【答案】C【解析】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选：C.例67．（2023·高二单元测试）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，两边平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，当且仅当时，取等号，于是有或,的取值范围是.故选：C.例68．（2023·河北沧州·高二统考期末）直线与曲线交于A，B两点，若，则t的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】当时，曲线为以为圆心，为半径的圆的一部分，圆心到直线的距离，由得，解得或，此时直线l为图中两条直线.当时，曲线为以为圆心，为半径的圆的一部分,根据对称性得直线l为图中直线.故t的值有3个，故选：C．经典题型六：圆中范围与最值问题例69．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是【答案】BD【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解对于A，，故，化简得，，所以，，A错对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对对于C，由于，所以，，故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错对于D，即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，即时，直线与圆相切，当过定点的直线的斜率存在时，令，则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率，可设过定点的直线为：，该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为，可求得，化简得，故，故D对故选：BD例70．（2023·河南三门峡·高二统考期末）过作圆与圆的切线，切点分别为，，若，则的最小值为．【答案】/【解析】圆，显然，半径为1，圆，显然，半径为2，因为是分别是圆，圆的切线，所以，因为，所以有，即，化简，得代入中，得，所以当时，的最小值，故答案为：例71．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）圆上点到直线距离的最小值是．【答案】1【解析】由题意圆心为，半径为1，圆心到已知直线的距离为，所以所求距离最小值为．故答案为：1.例72．（2023·全国·高二随堂练习）已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是．【答案】5【解析】圆的圆心为，半径，因为，所以点在圆外，所以的最小值为，故答案为：5例73．（2023·全国·高二专题练习）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为.【答案】【解析】因为直线过定点，且，所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径，所以，故答案为：.例74．（2023·上海浦东新·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为.【答案】【解析】设点，由可得，整理可得，化为标准方程可得，因为为的中点，所以，，记圆心为，当点为线段与圆的交点时，取最小值，此时，，所以，.故答案为：.例75．（2023·全国·高二专题练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为.【答案】【解析】由可得，故圆的直径是，所以直线过圆心，即，又，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.例76．（2023·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知，则的最小值为.【答案】0【解析】由可得圆心为，半径为，设，即，依题意得，解得，所以的最小值为.故答案为：.例77．（2023·全国·高二专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为．【答案】【解析】设，不妨取，使得，所以，整理得：.此方程与为同一方程，所以，解得：，即.所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立）此时.所以的最小值为.故答案为：.例78．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）若直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为.【答案】【解析】因为，所以，令，所以，故直线恒过定点，又因为，故点在圆内，设圆心为，半径为，当时，取得最小，因为，所以，故答案为：例79．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是．【答案】【解析】由题意可知，的最小值即为圆上一点到直线与圆交点的最小距离，圆心，半径，圆心到直线的距离为，由题意可知．故答案为：.例80．（2023·全国·高二专题练习）已知实数x，y满足方程，则（1）的最大值和最小值分别为和；（2）y－x的最大值和最小值分别为和；（3）的最大值和最小值分别为和．【答案】////【解析】原方程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.（3）表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是.故答案为：（1）；（2）；（3）；.例81．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为.【答案】【解析】当时，直线过定点，斜率直线过定点，斜率，由，可得两直线垂直；当时直线与直线垂直.综上，直线与直线总垂直.则点在以为直径的圆上，圆心，半径为，圆的圆心，半径为1，则点M到圆心的距离的最大值为，则故答案为：7例82．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知圆：，为圆上任一点，则的最大值为.【答案】【解析】设，则，即直线方程为，因为为圆上任一点，则圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值为，故答案为：.例83．（2023·全国·高二专题练习）已知实数，，，满足，，，则的最大值是．【答案】/【解析】由，可知，点，分别在圆和圆上，如图，作直线，过作于，过A作于，而，其中表示A到直线的距离，表示到直线的距离，因为与，平行，且与的距离为，与的距离为，要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，所以，，由得，设，因为，所以，从而，故，其中，故当时，取最大值，从而，即的最大值为．故答案为：．经典题型七：面积问题例84．（2023·全国·高二专题练习）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围．【答案】【解析】因为直线分别与轴，轴交于，两点，所以，，因此．因为圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则，因此直线与圆相离．又因为点在圆上，所以点到直线距离的最小值为，最大值为，即，又因为面积为，所以面积的取值范围为．故答案为：例85．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以原点O为圆心作单位圆O，直线l与直线平行，且过点，P为直线l上一动点，过点P作直线与圆O相切于点B，则面积的最小值为．【答案】/【解析】由题知，圆的圆心为，半径为．设直线，将点代入，得，所以直线，所以点O到直线l的距离为，所以.因为，所以，所以的面积为，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为．故答案为：.例86．（2023·全国·高二期中）曲线围成的图形的面积是.【答案】/【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，∴，故围成的图形的面积为：.故答案为：.例87．（2023·广东揭阳·高二校考期中）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为.【答案】【解析】直线可化为，所以直线过定点，圆可化为，圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，所以当，即直线过圆心时，最大，则，所求圆面积最大，为，当最大时，即直线与垂直时最小，则,所求圆面积最小，为，所求圆面积取值范围为，故答案为：.例88．（2023·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考期中）在中，为的角平分线，D在上，且，则面积的最大值为．【答案】3【解析】因为为的角平分线，且，，由角平分线定理得：，以中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设，则点B的轨迹方程为，整理得，所以B的轨迹是半径为2的圆，当边的高等于半径时，面积取最大值，．故答案为：3．例89．（2023·河北唐山·高二统考期末）已知圆：，圆：，过圆上的任意一点P作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最大值为.【答案】【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，四边形面积，∵，∴四边形面积的最大值为.故答案为：.例90．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，．【答案】【解析】如图所示：由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，又因为，，所以，，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，，当与直线垂直时，取最小值，且，所以，，所以，，此时，因此，.故答案为：.例91．（2023·高二课时练习）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积．【解析】设圆圆心为M，由题可得圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1．所以点在圆内，最长弦为圆的直径，由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，最长弦即直径，即，所以四边形的面积为．例92．（2023·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）已知圆方程：，圆相交点A、B．(1)求经过点A、B的直线方程.(2)求的面积.【解析】（1）圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，且有，则圆与圆相交，由消去二次项得，所以直线的方程为.（2）由（1）知，点到直线：的距离，于是，所以的面积.例93．（2023·全国·高二专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.【解析】圆即圆，所以圆心，半径，连接，由点在直线上，可设点坐标为，所以，因为，所以当最小时，取最小值．因为．所以当时，．所以，即四边形面积的最小值为．例94．（2023·上海·高二专题练习）若点为圆的弦的中点．求：(1)直线的方程；(2)的面积．【解析】（1）圆，可知圆的圆心又,，直线的方程为：．（2）设圆心到直线的距离为，又因为所以，．模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例95．圆M：与两个坐标轴共有3个公共点，则实数m的值是（

）A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1【答案】D

【解析】由条件得，圆M与x轴相切同时与y轴相交，圆M与y轴相切同时与x轴相交，或者圆M与x轴y轴相交且过坐标原点，圆M：，圆心若圆M与x轴相切，则圆的半径为2，当圆的半径为2时，，，此时圆M：与x轴相切，与y轴两个交点，符合题意；若圆M与y轴相切，则圆的半径为1，当圆的半径为1时，，，此时圆M：与y轴相切，与x轴无交点，不合题意，若圆M与x轴y轴相交且过坐标原点，此时，圆M：，经检验符合题意．综上，实数m的值为0或故选例96．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C

【解析】圆的圆心为，半径r为1，当直线l的斜率不存在时，直线到圆心的距离为1，与圆相切成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线和圆相切的条件：，可得，解得，则直线l的方程为，综上可得，直线l的方程为或，故选例97．直线与曲线恰有两个交点，则实数m取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】曲线表示圆在x轴的上半部分包含x轴上的点，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，要使直线与曲线恰有两个交点，则，所以实数m取值范围为故选：例98．一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（

）A．或B．或C．D．或【答案】D

【解析】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，直线被圆截得的弦长为8，弦心距，若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意；若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，所求直线的方程为，圆心到所设直线的距离，解得：，此时所求方程为，即，综上，此弦所在直线的方程为或故选例99．由曲线围成的曲线面积是（

）A． B． C． D．【答案】D