初中数学新定义型二次函数的综合探究问题题型及答案

目录新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--1如果抛物线C的顶点在抛物线CC的顶点也在抛物线CC与C212211141Cy=x2+x与Cy=ax2+x+c：2112AB分别是抛物线CCC经过点D(6-1)．122(1)直接写出AB的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E△ABEE请说明理由；(3)如图2F(-63)在抛物线CMN分别是抛物线CCMN的横坐标相112△AFM面积为S(当点M与点AF重合时S=0)△ABN的面积为S(当点N与点AB重合时，112S=0)S=S+Sy≤yxS的最大值．212121(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)y=ax+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=bx+ax+cy=2x+3x+1y=3x+2x+1．已知抛物线C:y=4ax+ax+4a-3a≠0C．121(1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标；(2)若a>0x轴上一点Px轴的垂线分别交抛物线CC于点MN．12①当MN=6aP的坐标；②当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2aa的值．新定义型二次函数--1(2023·贵州遵义·统考三模)1y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y=2x+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x-2x-5．(1)函数y=-2x+2x+1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．12(2)已知二次函数C:y=ax+4ax+4(其中a≠0且a≠1且a≠)C．①若函数C的图象与函数C的图象交于AB两点(点A的横坐标小于点B的横坐标)AB的12长；②当-3≤x≤0C2的最大值与最小值的差为8a的值．11y轴交点也相同的二次函数称为y=3x+6x-3y=-2x-4x-3．1313(1)y=-x2；y=x+x-5．(2)(填入正确的序号)①二次项系数为112②二次项系为③y=ax-2ax+3y=(1-a)x-2(1-a)x+3．yx轴至少有一个二次函数有交点．(3)L:y=ax-4ax+1L都与y轴交于点ABC分别在L，121LBC的横坐标均为0<m<2L的对称轴的称点分别力21CCB．①若a=3C的值；m②若m=1C邻边之比为的值．1:2a2新定义型二次函数--1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y=-x+bx-3经过点-1,0b=0,1成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：y=ax+bx+ca≠0轴上的点yM(2)已知抛物线y=-x-2x+5关于点0,m的衍生抛物线为m的取值范yM0,mM对称围．问题解决：(3)已知抛物线y=ax+2ax-ba≠0．①若抛物线y的衍生抛物线为=bx-2bx+a2b≠0ab的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点0,k+12的衍生抛物线为y10,k+22的衍生抛物线为2A1y顶点为A⋯0,k+n的衍生抛物线为n2yAn，⋯(n为正整数．求)AA的长用(21含n的式子表示)．1y=ax+bx+c(a≠0)轴上的点成中心对称的抛物线y'y'为抛物线yM(1)已知抛物线y=-x+bx-3经过点(-10)b=(01)成中心对称的抛物线的表达式是yM(0m)，M；(2)已知抛物线y=-x-2x+5关于点(0m)的衍生抛物线为y'm的取值范围；(3)已知抛物线y=ax+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0k+1)的衍生抛物线为yA11于点(0k+2)的衍生抛物线为2；yA⋯，(0k+n)yA的衍生抛物线为nn；2⋯(n为正整数)AA1的长(用含n的式子表示)．3新定义型二次函数--1x例如：y=x-1-2y=-x-1+2．(1)请写出抛物线y=x-1-2的顶点坐标y=-x-1+2的顶点坐1232标y=-x-1+．(2)B是抛物线Ly=ax-4ax+1B的横坐标为1B作xLCBC关于抛物线对称轴对称的点接BC、C的面积为SS>0．①当四边形C的值．a②当抛物线L(不包括边界)共有11a的取值范围．新定义型二次函数--1二次函数y=x-2mx的图象交轴于原点及点．xOA4(1)当m=11Ly=x-2x上的点BOCAD分别关于点A中心对称的点为，BC⋯⋯O0,0A(______)D3,3⋯⋯-1,31,-1BOD3,1A2,05,-34,01,-3①补全表格；②在图1．我们发现形如(1)中的图象上的点和抛物线上的点关于点Am=-22中的抛物线(2)①当m=-1L的函数值都随着xx的取值范围为；②若二次函数y=x-2mxy=m的值m；my=x-2mx的．新定义型二次函数--1x=ax≤ax=ax≥ax=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对y=(x+1)2x≤0就是关于直线y=(x-1)2x≥0x=0(y轴的)与抛物线一对伴随抛物线．5(1)求抛物线y=(x+1)+3x≤1.5关于直线x=1.5(2)设抛物线y=mx-2mx+2m≠0m≠4交y轴于点Ax=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx-2mx+2关于直线x=4③已知点CD的坐标分别为8280y=mx-2mx+2及其关于直线x=4OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．的新定义型二次函数--1y=ax-h2+ka≠0AxCAC的顶点为轴交于点为对角线的正方形ABCD的另两顶点BDy=ax-h+ka≠0称为美丽抛ABCD为它的内接正方形．12(1)当抛物线y=ax+1是美丽抛物线时，a=y=x+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax+kak数量关系．(3)若抛物线y=ax-h+ka≠0是美丽抛物线，(2)中ak16(4)已知系列美丽抛物线y=ax-n+k(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=xnnn们中恰有两个美丽抛物线y=ax-s+k与，为正整数，y=ax-t+k(st，的内1≤s≤61≤t<6)sssttt接正方形的面积之比为14a+a的值．st新定义型二次函数--1(1)如图1y=-x-x+1y=-x-2x+1y=-x-3x+11236；①抛物线yyy都经过点C(0,1)；12312②抛物线yy的对称轴由抛物线y的对称轴依次向左平移个单位得到；231③抛物线yyy与直线y=1123(2)把满足y=-x-nx+1(n为正整数)在(2)2．P,P,P,⋯,Pn的代数式表示顶点P123nn坐标y与横坐标x之间的关系式；(C,C,C,⋯,C123n-k-1,-k-2,-k-3,⋯,-k-n(k为正整数)y=1A,A,A,⋯,A连接CA,CA1CA,C1123nnnnnA1是否平行？并说明理由．14341y=-nx-nx+n+1(n)为正整数．系列抛物线的顶点分别为MMM⋯M．123n(1)下列结论正确的序号是．32①系列抛物线的对称轴是直线x=-；②系列抛物线有公共交点-4,1和1,1；14③系列抛物线都是由抛物线y=-x2平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；(2)对于任意一条与x轴垂直的直线x=aNNN⋯N．123n①当a=0时，NN1=；NN1由；③以NN1a的值．2我们把抛物线：y=-x+2nx-n+n(n为正整数)同学经历如下过程：7(1)当n=1y1的顶点坐标是x轴的交点坐标是；(2)当n=2y2的顶点坐标是x轴的交点坐标是；(3)当n=3y3的顶点坐标是x轴的交点坐标是；(4)那么抛物线：y=-x+2nx-n+n(n为正整数)的下列结论正确的是(请填入正确的序号)．①抛物线与x轴有两个交点；②抛物线都经过同一个定点；③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；④所有抛物线y的顶点都在抛物线y=x上．2ny=-x+2nx-n+n(n为正整数，与轴交于点，，与轴)yxOAD1y2x11交于点AAD⋯yn与x轴交于点A,AnDn．122(5)求线段AAn的长(用含n的式子表示)；(6)若△DOA的面积与△DAA的面积比为1:125y的解析式．11k1kk8目录新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--新定义型二次函数--1如果抛物线C的顶点在抛物线CC的顶点也在抛物线CC与C212211141Cy=x2+x与Cy=ax2+x+c：2112AB分别是抛物线CCC经过点D(6-1)．122(1)直接写出AB的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E△ABEE请说明理由；(3)如图2F(-63)在抛物线CMN分别是抛物线CCMN的横坐标相112△AFM面积为S(当点M与点AF重合时S=0)△ABN的面积为S(当点N与点AB重合时，112S=0)S=S+Sy≤yxS的最大值．2121214(1)A(-2-1)B(23)C的解析式为y=-x+x+222(2)E的坐标E(6-1)或E(10-13)(3)-2≤x≤2t=2时，S的最大值为161(1)将抛物线C改为顶点式可得A(-2-1)A(-2-1)D(6-1)代入y=ax+x+cy21214=-(x-2)+3B(23)；(2)易得直线AB的解析式：y=x+1①若B为直角顶点，BE⊥ABE(6-1)②若A为直角顶点，AE14⊥ABE(10-13)③若EEm-m+m+21414(3)由y≤y-2≤x≤2Mt，t+tNt-t+t+2-2≤t≤2AF的解析1212式：y=-x-3M作x轴的平行线MQ交AF于QS=t+4t+6ABMN交于点，P(ttP12+1)S=2-t2S=S+S=4t+8t=2时，S的最大值为16．121414(1)抛物线Cy=x+x=(x+2)-111∴A(-2-1)，4a-2+c=-136a+6+c=-1将A(-2-1)D(6-1)代入抛物线Cy=ax+x+c，2214a=-解得：，c=21414∴y=-x+x+2=-(x-2)+3，∴B(23)；(2)设直线AB的解析式为：y=kx+b，-2k+b=-1则，2k+b=3k=1解得：b=1∴直线AB的解析式：y=x+1，①若B为直角顶点，BE⊥ABkBE·k=-1，∴kBE=-1，故可设直线BE解析式为y=-x+，将B3=-2+，解得：=5，直线BE解析式为y=-x+5．y=-x+5联立，1y=-x+x+224x=2x=6y=3y=-1解得，，∴E(6-1)；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y=-x-3．y=-x-3联立，1y=-x+x+224x=-2x=10y=-1y=-13解得，，∴E(10-13)；214③若EEm-m+m+2由AE⊥BE得kBE·kAE=-1，142142-m+m-1-m+m+1即⋅=-1，m-2m+2(m+2)(m-2)[(m-2)(m-6)+16]=0，∴m+2=0或m-2=0或(m-2)(m-6)+16=0(无解)，∴解得m=2或-2(不符合题意舍去)，∴点E的坐标E(6-1)或E(10-13)；(3)∵y≤y，12∴-2≤x≤2，1414设Mt，t+tNt-t+t+2，，-2≤t≤2，-2m+n=1-6m+n=3设直线AF的解析式为y=mx+n，m=-1解得：n=-3∴直线AF的解析式：y=-x-3，M作x轴的平行线MQ交AF于Q，1414则Q-t-t-3t+t，，121∴S=QM•y-y=t+4t+6．FA2设AB交MN于点P知P(tt+1)，1212S=PN•|x-x|=2-t2，AB∴S=S+S=4t+8，12∴当t=2时，S的最大值为16．例系数相乘等于-11(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)y=ax+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=bx+ax+cy=2x+3x+1y=3x+2x+1．已知抛物线C:y=4ax+ax+4a-3a≠0C．12(1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标；(2)若a>0x轴上一点Px轴的垂线分别交抛物线CC于点MN．12①当MN=6aP的坐标；②当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2aa的值．-2-3(1)y=ax+4ax+4a-3a≠0(2)①P-1,0或2,0②a=2-2或a=2．，(1)(2)①设Pp,0Mp,4ap+ap+4a-3Np,ap+4ap+4a-3解；②3(1)解：∵抛物线C:y=4ax+ax+4a-3a≠02，根据题意可得，C2的解析式y=ax+4ax+4a-3a≠0∵y=ax+4ax+4a-3=ax+2-3C顶点为-2-3(2)Pp,0Mp,4ap+ap+4a-3Np,ap+4ap+4a-3∴MN=4ap+ap+4a-3-ap+4ap+4a-3=3ap-3ap∵MN=6a∴3ap-3ap=6a∵a≠0∴p-p=±2当p-p=2时，解得p=-1p=212当p-p=-2∴P-1,0或2,0②∵C2的解析式y=ax+4ax+4a-3a≠0∵y=ax+4ax+4a-3=ax+2-3顶点为-2-3x=-2∵a>0，∴a-2>-2当-2-a-4≥a-2--2时a≤1时，函数的最大值为aa-4+2-3∵C2的最大值与最小值的差为2a-3∴aa-2=2a∵a≠0∴a-2=±2解得a=2-2,a=2+2(a≤1)12∴a=2-2当-2-a-4<a-2--2a-4<-2即1<a<2时，函数的最大值为aa-2+2-3∵C2的最大值与最小值的差为2a∴a=2a-3∵a≠0∴a=±2解得a=2,a=-2(1<a<2)12∴a=2当a-4≥-2时a≥2y随x的增大而增大，函数的最大值为aa-2+2-3=a-3∵C2的最大值与最小值的差为2aaa-4+2-3=aa-2-3∴a-3-aa-2+3=2a即a-aa-2-2a=0∵a≠04即a-a-2-2=032解得a=(a≥2舍去)综上所述，a=2-2或a=2．新定义型二次函数--1(2023·贵州遵义·统考三模)1y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y=2x+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x-2x-5．(1)函数y=-2x+2x+1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．12(2)已知二次函数C:y=ax+4ax+4(其中a≠0且a≠1且a≠)C．①若函数C的图象与函数C的图象交于AB两点(点A的横坐标小于点B的横坐标)AB的12长；②当-3≤x≤0C2的最大值与最小值的差为8a的值．12(1)直线x=y=3x-3x+1(2)①4②-1或3(1)(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数CCCA,B212可得；1②分a<1且a≠0且a≠a>121232122(1)y=-2x+2x+1=-2x-+的对称轴为直线x=，因为1--2=3，1234所以设函数y=-2x+2x+1的友好同轴二次函数为y=3x-+m=3x-3x++m，314所以+m=1得m=，4所以函数y=-2x+2x+1的友好同轴二次函数为y=3x-3x+1，12x=y=3x-3x+1．(2)解：①二次函数C:y=ax+4ax+4=ax+2+4-4a，1则设C:y=1-ax+2+b=1-ax+41-ax+4-4a+b，，所以4-4a+b=4得b=4a，所以C:y=1-ax+41-ax+4，y=ax+4ax+4联立得：2a-1x+42a-1x=0y=1-ax+41-ax+4解得x=0或x=-4，当x=0时，y=4x=-4时，y=16a-16a+4=4，所以A-4,4,B0,4，所以AB=0--4=4；②函数C:y=1-ax+41-ax+4=1-ax+2+4a的对称轴为直线x=-2，512(Ⅰ)当a<1且a≠0且a≠当-3≤x≤-2时，y随x-2<x≤0时，y随x的增大而增大，则当x=-2时，y4a，当x=0时，y4，所以4-4a=8，解得a=-1(Ⅱ)当a>1当-3≤x≤-2时，y随x-2<x≤0时，y随x的增大而减小，则当x=-2时，y4a，当x=0时，y4，所以4a-4=8，解得a=3综上，a的值为-1或3．11y轴交点也相同的二次函数称为y=3x+6x-3y=-2x-4x-3．1313(1)y=-x2；y=x+x-5．(2)(填入正确的序号)①二次项系数为112②二次项系为③y=ax-2ax+3y=(1-a)x-2(1-a)x+3．yx轴至少有一个二次函数有交点．(3)L:y=ax-4ax+1L都与y轴交于点ABC分别在L，121LBC的横坐标均为0<m<2L的对称轴的称点分别力21CCB．①若a=3C的值；m②若m=1C邻边之比为的值．1:2a6432311-101167613(1)y=x2y=x+2x-5(2)；①②③；(3)①m的值为②的值为-a或或523或(1)根据题中1y轴交点也(2)根据题中的性质逐个判断即可得；(3)①Ly=3x-12x+1Ly=-2x+8x+1B的坐标为12m,3m-12m+1C的坐标为m,-2m+8m+1BCC②当m=1时B的坐标为1,-3a+1C的坐标为1,3a-2线段BCC的邻边之比为：出或BC=212=2BC得．1343(1)∵a=1--=，143∴函数y=-x2y=x；32313132a=1-=x=-=-，132×b32∴-=-，232×∴b=2c=-5，1323∴函数y=x+x-5y=x+2x-5,423故答案为：y=x；2y=x+2x-5；3(2)∵1-1=0，∴二次项系数为112∵1÷2=，12∴二次项系数为由定义，y=ax-2ax+3y=1-ax-21-ax+31212若y=x+x+1y=x+x+1x错误；(3)二次函数Ly=ax-4ax+1的对称轴为直线x=--4a2a=2Ly=1-ax-41-ax+1．①∵a=3，∴二次函数Ly=ax-4ax+1=3x-12x+1Ly=1-ax-41-ax+1=-2x+8x+121，∴点B的坐标为m,3m-12m+1C的坐标为m,-2m+8m+1，∴点的坐标为4-m,3m-12m+1的坐标为4-m,-2m+8m+1，∴BC=-2m+8m+1-3m-12m+1=-5m+20m，=4-m-m=4-2m，7∵四边形C为正方形，∴BC=-5m+20m=4-2m，11-10111+101解得：m=∴m的值为m=()，5511-101；5②当m=1时B的坐标为1,-3a+1C的坐标为1,3a-2，∴点的坐标为3,-3a+1的坐标为3,3a-2，∴BC=3a-2--3a+1=6a-3=3-1=2，∵四边形C的邻边之比为12，∴BC=2或=2BC，即6a-3=2×2或2=26a-3，16761323解得：a=-a=a=a=，16761323∴a的值为-或或或．函数的性质是解题关键．新定义型二次函数--1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y=-x+bx-3经过点-1,0b=0,1成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：y=ax+bx+ca≠0轴上的点yM(2)已知抛物线y=-x-2x+5关于点0,m的衍生抛物线为m的取值范yM0,mM对称围．问题解决：(3)已知抛物线y=ax+2ax-ba≠0．8①若抛物线y的衍生抛物线为=bx-2bx+a2b≠0ab的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点0,k+12的衍生抛物线为y10,k+22的衍生抛物线为2A1y顶点为A⋯0,k+n的衍生抛物线为n2yAn，⋯(n为正整数．求)AA的长用(21含n的式子表示)．(1)-4-2,1y=x-4x+5；(2)m≤5a=3(3)①0,6②4n-2b=-3(1)把-1,0代入y=-x+bx-3即可求出b=-40,10,1成中心对称的抛物线的表达式；(2)先求出抛物线y=-x-2x+5的顶点是-1,6-1,6关于0m的对称点是12m-6y'=x-1+2m-6-x+1+6=x-1+2m-6m的取值范围即可；(3)①先求出抛物线y=ax+2ax-ba≠0以及抛物线y的衍生抛物线为=bx-2bx+a2b≠0ab的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②BBBB⋯BB分别是AAA△AAA⋯△AAA的中位1223n11223n1AA=2BBAA=2BB⋯AA=2BB1AA1的12122323n(1)解-1,0代入y=-x+bx-3b=-4，∴y=-x-4x-3=-x+2+1，∴顶点坐标是-2,1，∵-2,1关于0,1的对称点2,1，∴成中心对称的抛物线表达式是：y=x-2+1，即y=x-4x+5故答案为：-4-2,1y=x-4x+5，；(2)∵y=-x-2x+5=-x+1+6，∴顶点是-1,6∵-1,6关于0m的对称点是12m-6，∴y'=x-1+2m-6，∵两抛物线有交点，∴-x+1+6=x-1+2m-6有解，∴x=5-m有解，∴5-m≥0，∴m≤5；(3)①∵y=ax+2ax-b=ax+1-a-b，∴顶点-1,-a-b，9代入=bx-2bx+a2得：①b+2b+a=-a-b∵=bx-2bx+a=bx-1+a-b，∴顶点1,a-b，代入y=ax+2ax-b得：a+2a-b=a-b②a+a+4b=0a-3a=0由①②得，∵a≠0b≠0，a=3∴，b=-3∴两顶点坐标分别是-1,0，1,12，由中点坐标公式得的坐标是06；②AAAA⋯AAAA与y轴分别相于BB⋯BB1，12n112n则A,AA,A⋯A,AA,A分别关于BB⋯BB中心对称，12n112n1∴BBBB⋯BB分别是△AAA△AAA⋯△AAA的中位1223n11223n1线，∴AA=2BBAA=2BB⋯AA=2BB1，12122323n∵B0k+n2B10k+n-12，n∴AA=2BB=2k+n2-k-n-12=4n-2．助数形结合思想解决问题是关键．1y=ax+bx+c(a≠0)轴上的点y，为M(0m)M成中心对称的抛物线y'y'为抛物线yM(1)已知抛物线y=-x+bx-3经过点(-10)b=(01)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x-2x+5关于点(0m)的衍生抛物线为y'm的取值范围；(3)已知抛物线y=ax+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0k+1)的衍生抛物线为yA11于点(0k+2)的衍生抛物线为2；yA⋯，(0k+n)yA的衍生抛物线为nn；2⋯(n为正整数)AA1的长(用含n的式子表示)．10(1)b=-4(-21)y=x-4x+5(2)m≤5(3)4n+2；；(1)利用待定系数法求出b(0-3)(-21)和(0-3)关于(01)(2)求出抛物线的顶点坐标(-16)(3)求出抛物线顶点关于(0k+n)和(0k+(n+1))(1)∵抛物线y=-x+bx-3经过点∴-1-b-3=0，，，(-10)∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x-4x-3=-(x+2)+1，∴抛物线的顶点坐标为(-21)，∴抛物线的顶点坐标(-21)关于(01)的对称点为(21)，(21)，y=-x-4x-3中x=0，∴y=-3，∴(0-3)关于点(01)的对称点坐标为(05)，设新抛物线的解析式为y=a(x-2)+1∵点(05)在新抛物线上，∴5=a(0-2)+1，，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=(x-2)+1=x-4x+5，故答案为-4(-21)y=x-4x+5；(2)∵抛物线y=-x-2x+5=-(x+1)+6①，∴抛物线的顶点坐标为(-16)，设衍生抛物线为y′=a(x-1)+2m-6，∵抛物线y=-x-2x+5关于点(0m)的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=(x-1)+2m-6=x-2x+2m-5②，联立①②得，x-2x+2m-5=-x-2x+5整理得，2x=10-2m，，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，11∴m≤5；(3)抛物线y=ax+2ax-b的顶点坐标为(-1-a-b)，∵点(-1-a-b)关于点(0k+n)的对称点为(1a+b+2k+2n)，∴抛物线y的顶点坐标A为(1a+b+2k+2n)，nn同理：A(1a+b+2k+2(n+1))∴AA=a+b+2k+2(n+1)-(a+b+2k+2n)=4n+2．新定义型二次函数--1x例如：y=x-1-2y=-x-1+2．(1)请写出抛物线y=x-1-2的顶点坐标y=-x-1+2的顶点坐1232标y=-x-1+．(2)B是抛物线Ly=ax-4ax+1B的横坐标为1B作xLCBC关于抛物线对称轴对称的点接BC、C的面积为SS>0．①当四边形C的值．a②当抛物线L(不包括边界)共有11a的取值范围．123215(1)1,-212y=x-1-23414(2)①a=②<a≤1或-≤a<-3(1)根据顶点式y=ax-h+khk的顶点坐标为，的解析式；(2)①写出点Ba②先由对称性分析得到封闭区域内在xL开口的不同进行分类讨论．(1)解y=x-1-2知顶点坐标为，1-2y=-x-1+212知顶点坐标为，，12321232∴抛物线y=-x-1+为y=x-1-；132故答案为：1,-212y=x-1-．212(2)①当x=1时，y=1-3a，∴B11-3a，∴C13a-1，∴BC=1-3a-3a-1=2-6a，-4a2a∵抛物线L的对称轴为直线x=-=2，∴点31-3a，∴=3-1=2，∵四边形C是正方形，∴BC=2-6a=2，23解得：a=0(舍)或a=．②抛物线L的对称轴为直线x=221-4a，∵L关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，(i)当a>0时，∵Ly轴交于点01，∴封闭区域内在x轴上只可能有34个整点，∴当x=1时，-2≤1-3a<-1x=2时，-3≤1-4a<-2，3解得：<a≤1；4(ii)当a<0时，∵Ly轴交于点01，∴封闭区域内在x轴上只可能有53个整点，∴当x=2时，1<1-4a≤2x=-1时，5a+1<0，1415解得：-≤a<-，341415综上所述：<a≤1或-≤a<-．同轴对称抛物．新定义型二次函数--1二次函数y=x-2mx的图象交轴于原点及点．xOA13(1)当m=11Ly=x-2x上的点BOCAD分别关于点A中心对称的点为，BC⋯⋯O0,0A(______)D3,3⋯⋯-1,31,-1BOD3,1A2,05,-34,01,-3①补全表格；②在图1．我们发现形如(1)中的图象上的点和抛物线上的点关于点Am=-22中的抛物线(2)①当m=-1L的函数值都随着xx的取值范围为；②若二次函数y=x-2mxy=m的值m；my=x-2mx的．(1)①2,0②见解析；18(2)①-3≤x≤-1②±1③y=x2(1)①根据中心对称的定义求解即可；②(2)①②根据的性质求得图象L的顶点为Pm-m2L′的顶点为3m,m2③y=x-2mx为y=-x-2mx-4m=-x+6mx-8m2的解析式为My=x+x+，+1x+-6mx++8m2=0M与=-1m使得-6m=0≠-1Δ=-6m-4+1+8m2=0mm取任意实数36-32+1=0-12=0b-4+1=014(1)解：①∵点B-1,3与点5,-3A关于点中心对称，-1+5-3+3∴点A的坐标为,A2,0，22故答案为：20；②(2)解：①当m=-1L为y=x+2xx=-1，∴它的的解析式为y=-x+2x+4x=-2+42=-3，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：-3≤x≤-1；②Ly=x-2mx=x-m-m2Pm-m2，PPM⊥x作轴于点”M的顶点为作M⊥x轴于点M，由题意得：△PMA≌△MA，∴M3m,0，∴3m,m2，∵抛物线L与直线y=m有且只有三个交点，15∴-m=m或m=m，解得m=m=±10，当m=0时，y=x2与y=-x2∴m=±1．③y=x-2mx为∴设符合条件的抛物线M的解析式为y=x+x+，∴x+x+=-x+6mx-8m2，y=-x-2mx-4m=-x+6mx-8m2，整理得：+1x+-6mx++8m2=0，∵抛物线M与有唯一交点，当a=-1使得-6m=0，当am≠-1Δ=-6m-4+1+8m2=0，时，即-12m+36m-4+1⋅8m-4+1=0，整理得：36-32+1m-12m+-4+1=0，∵当m∴当m36-32+1=0∴-12=0，b-4+1=018=解得：=0，=01∴该函数解析式为y=x．818故答案为：y=x2函数的相关性质是解题的关键．新定义型二次函数--1x=ax≤ax=ax≥ax=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对y=(x+1)2x≤0就是关于直线y=(x-1)2x≥0x=0(y轴的)与抛物线一对伴随抛物线．16(1)求抛物线y=(x+1)+3x≤1.5关于直线x=1.5(2)设抛物线y=mx-2mx+2m≠0m≠4交y轴于点Ax=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx-2mx+2关于直线x=4③已知点CD的坐标分别为8280y=mx-2mx+2及其关于直线x=4OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．的(1)y=(x-4)+3x≥1.514-514+52-52+5(2)①m=2②或③m<或m>且m≠4或0<m<32．2222(1)先求出(2)①先求出点ABm的值；②根据∠AOB是直角确定B点在xBm的值即原抛③当B点在xy=mx-2mx+2及其关于直线m的取值范围便可．x=4与矩形OACD(1)∵抛物线y=(x+1)+3(x≤1.5)的顶点坐标∴(-1,3)关于直线x=1.5的对称点坐标为(4,3)(-1,3)，∴所对应的二次函数表达式为：y=(x-4)+3(x≥1.5)；(2)①∵抛物线y=mx-2mx+2(m≠0,m≠4)交y轴于点A，∴点A(0,2)，∵直线AB平行于xx=4于点B．∴点B(4,2)，∴2=16m-8m+2，∴m=0(舍去)m=2，∴m=2；②如图1和图2，17∵∠AOB=90°，∴点B在x轴上，∴点B的坐标是(4,0)，把(4,0)代入y=mx-2mx+216m-8m+2=0，2+52-5解得，m=或，22-2m22m∵y=mx-2mx+2的顶点横坐标为：x=-=m，2+52-5即抛物线y=mx-2mx+2的顶点横坐标为或，22则抛物线y=mx-2mx+2关于直线x=4的顶点横坐标为：2+514-52-514+54+4-=4+4-=，222214-514+5∴的顶点横坐标为③如图3和图4，或；22∵点CD的坐标分别为(8,2)(8,0)A(0,2)y=mx-2mx+2及其关于直线x=4伴随抛与矩形OACD不同的边有四个公共点，∴点B在x轴下方，设B(4,n)n<0，把B(4,n)代入y=mx-2mx+2n=16m-8m+2，∴n=16m-8m+2<0，∴由二次函数n=16m-8m+2图象可知，2-5当m<0n<0m<当m>0n<0m>；22+52．又∵m≠4，2+5∴m>故m<且m≠4，2+522-52或m>且m≠4．2当点B在线段AC上时，16m-8m+2=2此时抛物线的顶点的纵坐标小于0当点B在ACAC与ODm=2，1816m-8m+2>2-m+2>0则有，0<m<32，2-52+5m的值为m<或m>且m≠4或0<m<32．22抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．新定义型二次函数--1y=ax-h2+ka≠0AxCAC的顶点为轴交于点为对角线的正方形ABCD的另两顶点BDy=ax-h+ka≠0称为美丽抛ABCD为它的内接正方形．12(1)当抛物线y=ax+1是美丽抛物线时，a=y=x+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax+kak数量关系．(3)若抛物线y=ax-h+ka≠0是美丽抛物线，(2)中ak16(4)已知系列美丽抛物线y=ax-n+k(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=xnnn们中恰有两个美丽抛物线y=ax-s+k与，为正整数，y=ax-t+k(st，的内1≤s≤61≤t<6)sssttt接正方形的面积之比为14a+a的值．st(1)-2-4(2)ak=-2(3)(4)-18或-9或-6(1)ACAC=BDBD关于对称轴对称可得BD(2)同(1)的方法得BD(3)分a<0a>0D12(4)k2k:k=1:2s:t=1:2st据题中s,t的范围得出s,tkak=-2即可求解．解：(1)∵抛物线y=ax+1中∴对称轴是x=00,1，x=0y=1，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=1，19∵正方形ABCD中，ACBD是对角线，∴AC=BD=1，又∵由题意得，BD关于对称轴对称，111122112211∴B-,D,或B,D-,，222211∴将,代入抛物线y=ax+1221412a+1=a=-2；12∵抛物线y=x+k中x=0y=k，∴对称轴是x=00,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，ACBD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，BD关于对称轴对称，kk22kk22kk22kk∴B-,D,或B,D-,，22kk12∴将,代入抛物线y=x+k22k212k×+k=，42解得：k=0()k=-4，12∴k=-4；故答案为：-2-4；(2)ak=-2，∵抛物线y=ax+kx=0y=k，∴对称轴是x=00,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，ACBD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，BD关于对称轴对称，kk22kk22kk22kk∴B-,D,或B,D-,，22kk22∴将,代入抛物线y=ax+kk24k2a×+k=，解得：ak=-2k=0()；∴ak=-2；(3)ak数量关系仍成立．当a<0时，∵抛物线y=ax-h+ka≠0ABCD，又∵点AAC是对称轴，20∴AC=BD=kBD⊥AC，kk22∴点D的坐标为h+,，∵点D在抛物线y=ax-h+ka≠0，k2k2k2ak242∴=ah+-h+k得-=，∴ak=-2；当a>0ak=-2．∴若抛物线y=ax-h+ka≠0是美丽抛物线，ak数量关系仍为ak=-2；1(4)k2，216∵系列美丽抛物线y=ax-n+k(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=x上，nnn∴k≥0，∵美丽抛物线y=ax-s+k与y=ax-t+k的内接正方形的面积之比为14，sssttt∴k:k=1:2，st16∵s,k，t,k在直线y=x上，ts∴s:t=1:2，∵st为正整数，1≤s≤61≤t<6，s=1t=2s=2t=4s=3t=6或∴∴或，11k=k=12k=6或3或，s1323k=k=k=1∵ak=-2，a=-12a=-6a=-6a=-3a=-4a=-2s或∴或，∴a+a=-18或-9或-6．st新定义型二次函数--1(1)如图1y=-x-x+1y=-x-2x+1y=-x-3x+1123；①抛物线yyy都经过点C(0,1)；12312②抛物线yy的对称轴由抛物线y的对称轴依次向左平移个单位得到；231③抛物线yyy与直线y=112321(2)把满足y=-x-nx+1(n为正整数)在(2)2．P,P,P,⋯,Pn的代数式表示顶点P123nn坐标y与横坐标x之间的关系式；(C,C,C,⋯,C123n-k-1,-k-2,-k-3,⋯,-k-n(k为正整数)y=1A,A,A,⋯,A连接CA,CA1CA,C1123nnnnnA1是否平行？并说明理由．nn2(1)①②③(2)①n-,+1y=x+1②③Cn24An与CA1不平行,理由见解析(1)①当x=0yyyy=y=y=1；1231233212②y=-x-2x+1y=-x-3x+1，的对称轴分别为x=-1x=-，，y=-x-x+1的对称轴x=-，31③当y=1时-x-x+1=1x=0x=-1-x-2x+1=1或；或；x=0x=-2-x-3x+1=1x=0或x=-31，n2n+44(2)①y=-x-nx+1的顶点为-，y=x+1；n②横坐标分别为-k-1-k-2-k-3⋯-k-n(k为正整数)x=-k-n时，y=-k-nk+1坐标分别为-k-k+1-k-2k+1-k-3k+1⋯-k-nk+11+k2；，，，，③由题可知C(-k-n,-k-nk+1)C(-k-n+1,-k-nk+k+1)A(-n,1)A(-n+1,1)，，，．比1n1较∠DAC≠∠EAC1CA与CA1不平行．.nnnn(1)①当x=0yyyy=y=y=1①正确；12313223②y=-x-2x+1y=-x-3x+1，的对称轴分别为，x=-1x=-，312y=-x-x+1的对称轴x=-，1121232由x=-向左移动得到x=-1得到x=-，2②正确；③当y=1时-x-x+1=1∴x=0或x=-1；，-x-2x+1=1，22∴x=0或x=-2；-x-3x+1=1，∴x=0或x=-3；∴相邻两点之间的距离都是1，③正确；故答案为①②③；n2n+44(2)①y=-x-nx+1的顶点为-，，nn2n+44令x=-y=，∴y=x+1；②相邻两点之间的距离都相等．C(-k-n,-k-nk+1)C，(-k-n+1,-k-nk+k+1)．∴CC1两点之间的铅直高度=-k-nk+k+1-(-k-nk+1)=k．CC1两点之间的水平距离=-k-n+1-(-k-n)=1．∴由勾股定理得CC=k+1．∴CC=k+1．③CA与CA1不平行．nn理由：根据题意得：C(-k-n,-k-nk+1)C(-k-n+1,-k-nk+k+1)A(-n,1)A(-n+1,1)．，，，1n1过CnC1分别作直线y=1DE，所以D(-k-n,1)E(-k-n+1,1)．在RtΔDAC中，nnCDAD1-(-k-nk+1)-n-(-k-n)k+nktan∠DAC====k+n．k+nk-knnk在RtΔEAC1中，C1A1EE1-(-k-nk+k+1)-n+1-(-k-n+1)tan∠EAC1====k+kn-1．∵k+n-1≠k+n，∴tan∠DAC≠tan∠EAC1．nn∴∠DAC≠∠EAC1，nn∴CA与CA1不平行．nn1y=-nx-1434nx+n+1(n为正整数．系列抛物线的顶点分)别为MMM⋯M．123n(1)下列结论正确的序号是．32①系列抛物线的对称轴是直线x=-；23②系列抛物线有公共交点-4,1和1,1；14③系列抛物线都是由抛物线y=-x2平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；(2)对于任意一条与x轴垂直的直线x=aNNN⋯N．123n①当a=0时，NN1=；NN1由；③以NN1a的值．(1)①②④1434-7-41(2)①-1②NnNn=a+a-1③a的值为或21+41．2(1)根据抛物线的对称轴143414(2)根据题意求得NnNn=yn-yn=a+a-1①令a=0②相等距离就是a21134+a-1③(1)3-nb2a324x=-=-=-12×-n4143414yn=-nx-nx+n+1=-nx+3x-4+1，令x+3x-4=0得x=-4x=1，，