苏科版八年级数学上册尖子生同步培优题典专题2.10等腰三角形的性质与判定大题专练(重难点培优)特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.10等腰三角形的性质与判定大题专练（重难点培优）一、解答题（共24题）1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．(1)求证：ΔABD≅(2)若∠BDC＝70°，求∠DBC的度数．2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度数．3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的边BC上一点，∠DAB=∠DEB=∠CAE，AD=AB，AB、DE相交于点F．(1)求证：△ADE≌△ABC；(2)若∠C=70①当AE=BE时，求∠DAE的度数；②当△ABC的外心在其内部时，直接写出∠B的取值范围．4．（2022·江苏泰州·一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．(1)在线段BC的延长线上，找出一点E，使∠CEA＝22.5°；(2)在（1）的条件下，在线段BC上，找出一点D，使∠EAD＝45°．5．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．6．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．7．（2021·江苏常州·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E是BC边上不重合的两点，BD＝CE．(1)求证：AD＝AE；(2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，DE∥AB,AE平分∠DAB，点C在线段AE上，AC=BC=AD，求证：AE=AB．9．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，点E在AD求证：ΔABE10．（2020·江苏苏州·八年级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．11．（2021·江苏泰州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC．(1)用无刻度直尺和圆规作图：(保留作图痕进，不写作法)①作∠BAC的平分线交BC于点D．②作边AC的中点E，连接DE．(2)在(1)所作的图中，若AD=12，BC=10，求DE的长．12．（2021·江苏·常州实验初中八年级阶段练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若DE=9，CG=4，求线段EG的长．14．（2020·江苏·无锡市钱桥中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．（1）求证：∠BAC=90°；（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，请直接写出BP的长．15．（2021·江苏苏州·二模）如图，在ΔABC中，BD⊥AC于点D,P为BD上的点，∠PAC=45（1）求证：CD=BD;（2）若∠CPA=105°,AB=2,16．（2019·江苏无锡·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上，从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t秒．（1）点D在运动t秒后，BD＝cm（用含有t的式子表示）（2）AB＝

cm

，AB

边上的高为

cm

；（3）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．17．（2022·江苏·八年级）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．18．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，在RtΔABC和RtΔEFD中，∠ABC=90°，∠EFD=90°，AC=ED，AC⊥ED，垂足为M．连接EA，连接EC并延长交（1）求证△ABC≌（2）若∠G=45°，求证EA=ED．19．（2022·江苏盐城·八年级开学考试）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；

（2）CF⊥DE．20．（2021·江苏泰州·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC．分别交AB、AC于M、N．（1）求证：BM+CN＝MN．（2）如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．问题①BC＝6，求MN的长．问题②求证：O是MN的中点．21．（2021·江苏苏州·一模）已知：在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点.点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（1）如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数；（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．22．（2021·江苏泰州·一模）已知：如图1，△ACD中，AD≠CD．（1）请你以AC为一边，在AC的同侧构造一个与△ACD全等的三角形△ACE，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中①∠ACB+∠CAD=180°；②∠B=∠D；③CD=AB．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）23．（2022·江苏淮安·七年级期末）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．(1)如图1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC和DB交于点E，则线段AE和线段(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，且CE=BD．求证：(3)如图3，在△ABC中，∠BAC为钝角，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，且CE=BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．24．（2021·江苏南京·一模）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线．（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．①求∠B和∠C的关系式．②求∠BAC的取值范围．【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.10等腰三角形的性质与判定大题专练（重难点培优）一、解答题1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．(1)求证：ΔABD≅(2)若∠BDC＝70°，求∠DBC的度数．【答案】(1)证明见解析(2)40°【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求解．(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BEC∠ADB=∠EBC∴△ABD≌△ECB（AAS）；(2)∵△ABD≌△ECB∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度数．【答案】∠BAC=65°【解析】【分析】先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD求出∠BAD的度数，再由∠C=70°求出∠CAD的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∴∠BAD=45°，∵∠C=70°，∴∠CAD=90°-70°=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+20°=65°．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握运用三角形内角和定理是解答此题的关键．3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的边BC上一点，∠DAB=∠DEB=∠CAE，AD=AB，AB、DE相交于点F．(1)求证：△ADE≌△ABC；(2)若∠C=70①当AE=BE时，求∠DAE的度数；②当△ABC的外心在其内部时，直接写出∠B的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)①75°；②20°<∠B<90°【解析】【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证；（2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可；②根据锐角三角形外心的性质求解即可．(1)证明：∵∠DAB=∠DEB，∠DFA=∠EFB，∴∠D=∠B，∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，∵AD=AB，∴△ADE≌△ABC；(2)解：①∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∴∠AEC=∠C=70°，∴∠EAC=40°，∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠B=∠BAE=35°，∴∠DAE=∠BAC=∠BAE+∠EAC=75°．②20°<∠B<90°．∵△ABC的外心在其内部，∴△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠BAC=180°−∠C−∠B=110°−∠B<90°，∴20°<∠B<90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．4．（2022·江苏泰州·一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．(1)在线段BC的延长线上，找出一点E，使∠CEA＝22.5°；(2)在（1）的条件下，在线段BC上，找出一点D，使∠EAD＝45°．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】【分析】（1）在BC的延长线上截取CE=CA，由于∠BAC=90°，AB=AC．则∠ACB=45°，然后利用∠CEA=∠CAE=12∠ACB（2）作∠CAD=∠CAE，则∠EAD=45°．(1)解：如图，点E为所作；(2)解：如图，点D为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．5．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由SAS证明△ABD≌△ACE，从而得AD=AE．【详解】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌△ACESAS∴AD=AE．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．6．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．【答案】(1)见解析；(2)20°【解析】【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．(1)证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠CAD+∠EAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE∠ADB=∠AEC=90°∴△ABD≌△ACE（AAS）；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC-∠ABD＝∠ACB-∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．7．（2021·江苏常州·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E是BC边上不重合的两点，BD＝CE．(1)求证：AD＝AE；(2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小．【答案】(1)证明见解析(2)∠BAD＝19°【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE；（2）由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE，由三角形内角和定理可求解．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；(2)∵∠C＝∠B＝26°，∴∠BAC＝180°﹣（26°+26°）＝128°，∵∠BAC＝128°，∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝128°﹣90°＝38°，∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝38°÷2＝19°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，DE∥AB,AE平分∠DAB，点C在线段AE上，AC=BC=AD，求证：AE=AB．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行和角平分线得出AD=DE，再证△ADE≌△ACB即可．【详解】证明：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠CAB，∵DE∥AB，∴∠E=∠BAE，∵AC=BC，∴∠B=∠BAE，∴∠E=∠B,在△ADE和△ACB中，∠E=∠B∴△ADE≌△ACB，∴AE=AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．9．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，点E在AD求证：ΔABE【答案】见解析【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一，得出∠BAE=∠CAE，根据SAS证明△ABE≌△ACE．【详解】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，在ΔABE和ΔAB=AC∠BAE=∠CAE∴ΔABE【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质证明∠BAE=∠CAE．10．（2020·江苏苏州·八年级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】(1)4或25(2)258【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求出BC的长．分类讨论当∠APB=90°时和∠BAP=90°时，作出图形，利用勾股定理，结合题意即可求出结果．（2）分类讨论①当AP=BP时，利用勾股定理即可解题；②当AB=BP时，直接用BP的长除以2即得出答案；③当AB=AP时，由等腰三角形三线合一的性质，易求出BP的长，即可得出答案．(1)在Rt△ABC中，BC=A分类讨论：①当∠APB=90°时，如图，此时P点与C点重合，∴BP=BC=8，∴t=BP②当∠BAP=90°时，如图，设CP=x，则BP=8+x．∵在Rt△ABP中，AP2=B在Rt△ACP中，AP2=A∴(8+x)2解得：x=92，即∴BP=8+9∴t=BP综上可知，当t的值为4或254时，△ABP(2)分类讨论：①当AP=BP时，如图，设CP=x，则BP=AP=8−x，∵在Rt△APC中，AP2=A解得：x=7∴BP=8−7∴t=BP②当AB=BP时，如图，∵AB=10，∴BP=10，∴t=BP③当AB=AP时，如图，∵AB=AP，AC⊥BP，∴BC=CP=8，∴BP=BC+CP=16，∴t=BP综上可知，当t的值为258或5或8时，△ABP【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质以及利用勾股定理解三角形，利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键．11．（2021·江苏泰州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC．(1)用无刻度直尺和圆规作图：(保留作图痕进，不写作法)①作∠BAC的平分线交BC于点D．②作边AC的中点E，连接DE．(2)在(1)所作的图中，若AD=12，BC=10，求DE的长．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)6.5【解析】【分析】（1）按要求用尺规作图即可；（2）由等腰三角形三线合一的性质得，DC=5，根据勾股定理求出AC=13，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DE即可．(1)解：①如图，线段AD即为所求作的线段；②如图，点E，线段DE即为所求，(2)解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴DC=BD=12BC=∵AD=12，∴AC=A∵点E是AC的中点，∴DE=1答：DE的长为6.5．【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图，三线合一的性质，勾股定理是解此题的关键12．（2021·江苏·常州实验初中八年级阶段练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF【答案】见解析【解析】【分析】如图，连接AD．根据AB=AC，点D是BC边上的中点，得出AD平分∠BAC，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F，DE=DF即可．【详解】证明：如图，连接AD．∵AB=AC，点D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∴DE=DF．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若DE=9，CG=4，求线段EG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EG=5．【解析】【分析】（1）根据AC=BD可得AD=BC，然后利用已知条件根据ASA即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF，再结合等角对等边可得DG=CG=4，最后利用线段的和差即可求得EG的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△ADE和△BCF中，∠A=∠B∴△ADE≌△BCF（ASA）；（2）∵△ADE≌△BCF，∴∠ADE=∠BCF，∴DG=CG=4，∵DE=9，∴EG=DE−DG=5．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．14．（2020·江苏·无锡市钱桥中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．（1）求证：∠BAC=90°；（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，请直接写出BP的长．【答案】（1）见解析；（2）25【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中可求AC2，而BC＝CD＋BD＝10，则AC2＋AB2＝100＝BC2，从而可得△ABC是直角三角形．（2）若△ABP为等腰三角形，可分三种情况讨论：①当BP＝AB时，②当BP＝AP时，③当AP＝AB时，分别求出BP的长即可．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，CD＝8，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD2＋BD2＝20．同理可得：AC2＝CD2＋AD2＝80．∵BC＝CD＋BD＝10，∴BC2＝100．∴AC2＋AB2＝100＝BC2．∴△ABC是直角三角形．∴∠BAC＝90°．（2）解：若△ABP为等腰三角形，BP的长可从以下三种情况进行计算：①当BP＝AB时，∵AD⊥BC，∴AB＝AD∴BP＝AB＝25②当BP＝AP时，∵△ABC是直角三角形，∴∠B＋∠C＝90°，∠BAP＋∠PAC＝90°．∵∠B＝∠BAP，∴∠C＝∠PAC．∴AP＝PC．∴BP＝12③当AP＝AB时，∵AD⊥BC，∴BP＝2BD＝4．综上所述：BP的长为25【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形判定与性质的应用，掌握勾股定理、逆定理的应用是解第（1）小题的关键，利用等腰三角形的性质与判定并能结合分类讨论的思想是解第（2）小题的关键．15．（2021·江苏苏州·二模）如图，在ΔABC中，BD⊥AC于点D,P为BD上的点，∠PAC=45（1）求证：CD=BD;（2）若∠CPA=105°,AB=2,【答案】（1）见解析；（2）3−1【解析】【分析】（1）由题意可得AD=DP，由“HL”可证Rt△ADB≌Rt△PDC，可得结论；（2）可求∠CPD=60°，∠PCD=30°，由直角三角形的性质可求PB的长．【详解】解：（1）∵BD⊥AC，∠PAC=45°，∴∠DPA=∠PAC=45°，∴AD=DP，且AB=CP，∴Rt△ADB≌Rt△PDC（HL），∴CD=BD；（2）∵∠CPA=105∴∠CPD=60°，又∵BD⊥AC，∴∠PCD=30°，∵AB=CP，AB=2,∴CP=2，∴PD=1，∴CD=CP∴BD=3，∴PB=3−1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．16．（2019·江苏无锡·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上，从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t秒．（1）点D在运动t秒后，BD＝cm（用含有t的式子表示）（2）AB＝

cm

，AB

边上的高为

cm

；（3）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．【答案】（1）2t；（2）50；24；（3）t的值为15s或18s或12.5s.【解析】【分析】（1）根据点D以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t秒，即可表示出BD=2t；（2）利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式即可求得AB边上的高；（3）分三种情况：①当BD=BC=30cm时得到2t=30，即可得到结果；②当CD=CB=30cm时，作CE⊥AB于E，则BE=DE=1③当DB=DC时，∠BCD=∠B，证明DA=DC，得出AD=DB=12【详解】（1）∵点D以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t秒∴BD=2t故答案为2t（2）由勾股定理得，AB=设AB边上的高为h，SΔABC∴12解得：ℎ=24故答案为50；24.（3）分三种情况：①当BD=BC=30cm时，2t=30∴t=15（s）②当CD=CB=30cm时，作CE⊥AB于E，如图所示：则BE=DE=1由（2）得，AB边上的高CE=24，在RtΔBCE中，由勾股定理得：BE=B∴t=18(s)③当DB=DC时，∠BCD=∠B∵∠A=90°﹣∠B，∠ACD=90°﹣∠BCD，∴∠ACD=∠A∴DA=DC∴AD=DB=12∴2t=25t=12.5(s)综上所述，t的值为15s或18s或12.5s.【点睛】本题主要考查勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题关键.17．（2022·江苏·八年级）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝12∠BCD∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角对等边）．【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CED=30°是正确解答本题的关键．18．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，在RtΔABC和RtΔEFD中，∠ABC=90°，∠EFD=90°，AC=ED，AC⊥ED，垂足为M．连接EA，连接EC并延长交（1）求证△ABC≌（2）若∠G=45°，求证EA=ED．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ADM=∠ACB，从而利用AAS可证明△ABC≌（2）根据已知可得△EFG和△CBG都为等腰直角三角形，再结合（1）中的全等进一步证明AB=FG，从而可得AF=DF，结合垂直平分线的性质可证明结论．【详解】解：（1）证明：∵AC⊥ED，∠ABC=90°∴∠CAD+∠ADM=90°，∠CAD+∠ACB=90°∴∠ADM=∠ACB，在△ABC和△EFD中，∵∠ABC=∠EFD=90°∠ADM=∠ACB∴△ABC≌△EFD（（2）证明：∵△ABC≌∴DF=BC，EF=AB，∵∠ABC=90°，∠G=45°，∠EFD=90°，∴∠BCG=∠FEG=∠G=45°，∴AB=EF=FG，DF=BC=BG，∴AB−BF=FG−BF，即AF=BG=DF，∵∠EFD=90°，∴EA=ED．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等．（1）中能利用同角的余角相等证明∠ADM=∠ACB是解题关键；（2）中能结合图形得出△EFG和△CBG都为等腰直角三角形是解题关键．19．（2022·江苏盐城·八年级开学考试）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；

（2）CF⊥DE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．【详解】证明：（1）∵AD//BE，∴∠A=∠B，在ΔACD和ΔBEC中{∴ΔACD≅ΔBEC(SAS)，（2）∵ΔACD≅ΔBEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．20．（2021·江苏泰州·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC．分别交AB、AC于M、N．（1）求证：BM+CN＝MN．（2）如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．问题①BC＝6，求MN的长．问题②求证：O是MN的中点．【答案】（1）见解析；（2）①MN=4；②见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质可证得∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，再根据等角对等边的性质可得BM=MO，CN=ON，再由MO+ON=MN即可证得结论；（2）①过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得MN=EF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，进而有∠BME=∠CNF=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可证得BE=12BM，CF=12CN，由BC=BE+EF+CF和BM+CN=MN可得BC=②过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得ME=NF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据全等三角形的判定可证得△MEB≌△NFC，则有BM=CN，由（1）中BM=MO，CN=ON可得MO=ON，即可证得结论．【详解】（1）证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠MBO，∠OCB=∠NCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，∴BM=MO，CN=ON，∴BM+CN=MO+ON=MN，即BM+CN=MN；（2）若选①，解：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF,∠MEB=∠NFC=90°，∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN=EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴∠BME=∠CNF=30°，∴BE=12BM，CF=1∵BC=BE+EF+CF=12BM+MN+12CN=∴MN=4；若选②，证明：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF，∠MEB=∠NFC=90°∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴ME=NF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴△MEB≌△NFC（AAS），∴BM=CN，∵BM=MO，CN=ON∴MO=ON，即O为MN的中点．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各知识点的运用，借助作辅助线进行计算或证明解答的关键．21．（2021·江苏苏州·一模）已知：在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点.点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（1）如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数；（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠MCE=45°；（2）AC=CE+2【解析】【分析】（1）过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出FM＝MC，进而判断出△FAM≌△CME（SAS），即可得出结论；（2）过点M作BC边的垂线交CA于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出FM＝MC，进而判断出△FAM≌△CME（SAS），进而得出AF＝CM，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】（1）如图，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，∴∠FMC＝90°，∴∠FMA＋∠AMC＝90°，∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，∴∠AME＝90°，∴∠CME＋∠AMC＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝MC，在△FMA和△CME中，FM=MC∠FMA=∠CME∴△FAM≌△CME（SAS），∴∠MCE＝∠F＝45°；（2）AC=CE+2如图，过点M作BC边的垂线交CA于点F，∴∠FMC＝90°，∴∠FMA＋∠AMC＝90°，∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，∴∠AME＝90°，∴∠CME＋∠AMC＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴FM=CM，在△FMA和△CME中，FM=CM∴△FAM≌△CME（SAS），∴AF=CE，在Rt△CMF中，CF=F∴AC−CE=AC−AF=CF=2即AC=CE+2【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22．（2021·江苏泰州·一模）已知：如图1，△ACD中，AD≠CD．（1）请你以AC为一边，在AC的同侧构造一个与△ACD全等的三角形△ACE，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中①∠ACB+∠CAD=180°；②∠B=∠D；③CD=AB．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）【答案】（1）作图见详解；（2）①②；③【解析】【分析】（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E，连接AE，CE，即可；（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明△ABC≌△CEA，可得∠B=∠E，AB=CE，进而即可得到结论．【详解】解：（1）如图所示：（2）选择的条件是①②，结论是③，理由如下：延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC+∠EAC=180°，∴∠ACB=∠EAC，在△ABC和△CEA中，∵AE=CB∠ACB=∠EAC∴△ABC≌△CEA，∴∠B=∠E，AB=CE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB，故答案是：①②；③．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．23．（2022·江苏淮安·七年级期末）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．(1)如图1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC和DB交于点E，则线段AE和线段(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，且CE=