数学(文)一轮教学案：第十章第2讲 双曲线及其性质 含解析

第2讲双曲线及其性质

考纲展示命题探究

1双曲线的定义

(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两

定点间的距离)的动点的轨迹.两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间

的距离叫做焦距.

(2)符号语言：|\MFi|-\MF2\\=2a(2a<\FiF2\).

2双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：

(1)当双曲线的焦点在％轴上时，双曲线的标准方程为

%2y~

了一力=1(。>0，>>0).

(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为

%一7=1(。>0,Z?>0).

3双曲线方程的几种常见设法

⑴与双曲线多4=1有共同渐近线的双曲线方程可设为土(

=A(2W0).

(2)若双曲线的渐近线方程为y=±%则双曲线方程可设为泉一

*=2(2W0)或足X2一机2y2=2(%W0).

(3)与双曲线三一*=1共焦点的双曲线方程可设为七一名

aba~kb-+k

=l(—h2<k<a2).

(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为nu2+ny2=

1(mn<0).

(5)与椭圆1(。泌>0)有共同焦点的双曲线方程可设为

?2

屋-丸十工厂

M注意点双曲线定义的理解

当\MF\|一|M囹=2a时，曲线仅表示焦点/2所对应的双曲线的一

支；当附川一附尸2|=—2。时，曲线仅表示焦点尸1所对应的双曲线的

一支；当2a=用凡时，轨迹为分别以尸1,B为端点的两条射线；当

2。>尸1巴时，动点轨迹不存在.

1.思维辨析

(1)平面内到点吊(0,4),6(0,—4)距离之差等于6的点的轨迹是

双曲线.()

(2)平面内到点B(0,4),F2(0,一4)距离之差的绝对值等于8的点

的轨迹是双曲线.()

(3)方程专一?=1("〃7〉0)表示焦点在x轴上的双曲线.()

(4)、+5=l表示双曲线的充要条件是加2<0.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.与椭圆C：春十为=1共焦点且过点(1,小)的双曲线的标准

方程为()

A.炉一餐=1B.y2~2x2=1

「V2炉

C."j—y=l

答案C

解析椭圆的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线

22R_l=i

的标准方程为5一工=1(机>0，〃>0)，贝，机n'解得机=71=2,

lm+n=4,

故选C.

3.双曲线主一^'=1上的点。到点(5,0)的距离是6,则点。的坐

10y

标是.

答案(8,±3小)

解析尸(5,0)为双曲线的右焦点，设P(x,y),则(%—5)2+>2=36

①，与言一5=1②，联立①②解得：％=8,尸±3机.•.尸(8,±3小).

>［考法综述］高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研

究双曲线的性质.双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方

程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题.

命题法双曲线的定义和方程

典例(1)已知双曲线C：^2-^2=1的焦距为10,点尸(2,1)在

C的渐近线上，则C的方程为()

C丽一丽=1D-20-80=1

(2)已知双曲线^一产=1的左、右焦点为尸2,点P为左支上

一点，且满足NQPB=60。，则△RPF2的面积为.

［解析］⑴由2c=10,得c=5,

107

二•点尸(2,1)在直线、=/上，/.1即Q=2b.

12

又•.•〃+/?2=25,/.a=20,b=5.

故双曲线C的方程为加一方=1.

(2)设1PBi=机，\PF2\=n,

fm2+n2-/nn=20,

所以」，C

［m+n—2mn=16,

所以加2=4,所以SZ\FiPF2=；fn〃sin60°=小.

［答案］(1)A(2h/3

Q【解题法】双曲线标准方程的求法

(1)一般步骤

①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴

上，还是两个坐标轴都有可能.

②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程.

③列：根据题意列关于“，h,c的方程或者方程组.

④解：求解得到方程.

(2)常见问题形式

①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y

轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a,b,c的

方程组，解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能

是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解).

②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原

点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程如2+町;2

=l(mn<0).

1.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是

()

A.^—4=1

X2

C.^—x2—lD.尸7『1

答案C

解析双曲线,一方=1和%—1=1的渐近线方程分别为最一方

=0和]一骨轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令?一

/]

f=0,得>=±2%,令>2—4=0，得旷=±/%,故选C.

2.已知双曲线。点一方=1的离心率e=l，且其右焦点为b2(5,0),

则双曲线C的方程为()

x2y1

A.「3=lB-9-T6=1

C.讳—亍=1D.1一『1

答案C

解析由题意得e=\^1+*=东又右焦点为尸2(5,0),tz2+Z?2

=

=/,所以Q2=]6,炉=9,故双曲线。的方程为m10一Qy1.

3.已知双曲线摄一方=1(。＞0，匕＞0)的一条渐近线过点(2,5)，且

双曲线的一个焦点在抛物线产=4巾％的准线上，则双曲线的方程为

()

A^._Z=1j

11

A-2128氏2821

x2y2x2y2

41u431

答案D

解析由题意可得《=坐，c=巾,又，=7=足+加，解得4=4,

＞2=3,故双曲线的方程为/,一七丫2=1.

4.已知双曲线。的离心率为2,焦点为为，点A在C上.若

|FIA|=2|F2A|,贝ijCOSNAF2K=()

11

-1

B-

A.43

c#

答案A

解析:.双曲线的离心率为2,「5=2,

：.a":c=l：仍：2.

\\AFx\~\AF^2a,

又・,<

*JFIA|=2|F2A|,

.,.|AFi|=4tz,\AF2\=2a,

：.\F\Fi\=2c=4a,

.r|A&F+|FIB|2一|A川2

..COSZAF2FI-2|AF2||FIF2|

4后+脂/—16屋4屋i

=2X2a义4a=而=不选人，

5.设双曲线C经过点(2,2),且与9一小=1具有相同渐近线，则

C的方程为;渐近线方程为.

X2V2

答案y—Y^=ly=±2x

解析双曲线?一r=1的渐近线方程为丁=±2%.

设与双曲线?一%2=1有共同渐近线的方程为?一%2=a«W0),又

22

(2,2)在双曲线上，故彳-22=九解得4=-3.

故所求双曲线方程为?一?=-3,即n=i.

所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.

6.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点4,B为左、

右焦点，且双曲线过C,。两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线

的标准方程为.

答案f一弓=1

解析设双曲线的标准方程为，一£=1(。＞0,。＞0).由题意得

B(2,0),C(2,3),

4=〃+。2,

次=1,

49।解得

厂产上b2=3,

二.双曲线的标准方程为x2-^=l.

7.已知双曲线的渐近线方程为2对3y=0,且焦距是2小，则双

曲线方程为.

答案或

解析设双曲线方程为卷一3=4抄0).

Z74

若丸＞0,则*=9九〃=42,

/=〃+〃=132.

由题设知2c=2册5,「.2=1,

故所求双曲线方程为「一%1；

y4-

若k0,则〃=—4九〃=一9九

/=4+抉=—132.由2c=2^/13,.*.A=—1,

22

故所求双曲线方程为1―5=1.

综上，所求双曲线方程为点一7=1或？一点=1.

yH-4-y

1双曲线的几何性质

标准方X2V2y2x2

万一启=1(〃>0,b>0))一炉=1(〃>0,h>0)

程

图形

2等轴双曲线及性质

(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相笠的双曲线叫做等轴双曲线,

其标准方程可写作：/—y=/Qwo).

(2)等轴双曲线o离心率6=啦台两条渐近线总工相互垂直.

/丫2

3点P(xo,yo)和双曲线公=1(。＞0,〃＞0)的关系

M注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系

离心率e的取值范围：e＞l,当e越接近于1时，双曲线开口越

小；e越接近于+8时，双曲线开口越大.

1.思维辨析

⑴双曲线方程.一%=“心0,〃〉0,挣0）的渐近线方程是a一5

=0,即工±*=0.（）

mn、/

（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于啦.（）

jp-丫2冗2y2

（3）若双曲线了一台=l（a〉0,匕＞0）与/一，=1（。＞0,。〉0）的离心率

分别是约，及，则上+5=1（此结论中两条双曲线称为共辗双曲

线）.（）

（4）渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是仁川田+1.（）

答案⑴J（2）V（3）V（4）X

2.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y

轴上，一条渐近线方程为％—2y=0,则它的离心率为（）

A.小B坐

C.小D.2

答案A

解析依题意设双曲线的方程是W=l（其中。＞0,人＞0）,则

其渐近线方程是尸土张，由题知方=今即b=2o,因此其离心率e=

N屋+炉—小r-

a-a―弋・

?2

3.以椭圆5+5=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近

线方程为.

答案y=±V久

解析椭圆，+£=1的焦点坐标为(1,0),(—1,0),顶点坐标为

(2,0),(-2,0).

则双曲线的顶点为(1,0),(-1,0),焦点为(2,0),(-2,0).

则双曲线的标准方程为：％2—苧=1.

其渐近线为y=±y［3x.

>［考法综述］高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运

用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考

查，难度较大.

命题法双曲线的几何性质

典例(1)已知为、尸2分别是双曲线滔一%=1(。>0,8>0)的左、

右焦点，过点八与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条

渐近线于点"，若点M在以线段为直径的圆外，则双曲线离心

率的取值范围是()

A.(1,也)B.(啦，小)

C.他,2)D.(2,+8)

(2)过双曲线$一方=l(a>0,力>0)的左焦点尸作圆O：x2+y2=a2

的两条切线，切点为A,B,双曲线左顶点为C,若NAC8=120。，

则双曲线的渐近线方程为()

C.y=±yj2xD.y=±拳x

［解析］(1)如图所示，过点B(c,0)且与渐近线平Ct行的直

（b,、

hb尸*」），

线为c),与另一条渐近线y=一力联立得<“

ab

y=—~x,

ra

♦.•点〃在以线段为直径的圆夕卜,

/.\OM\>c,

，双曲线离心率e=*、l1+g}>2.

故双曲线离心率的取值范围是(2,+8).故选D.

(2)如图所示，设双曲线最一方=l(a〉O,〃〉0)的焦距为2c(c>0),

则C(~a,0),F(-c,0).

由双曲线和圆的对称性知，点A与点3关于％轴对称，则NACO

=ZBCO=|zACB=1x120°=60°.

'：\OA\=\OC\^a,「.△ACO为等边三角形，AZAOC=60°.

・二M切圆O于点A,：.OA±FA,

在RtAAOF中，ZAFO=90°-ZAOF=90°-60°=30°,

.'.\OF\=2\OA\,即c=2a,.,.b=ylc2—a2=-\l(2a)2—a2=-\[3a,故

双曲线最一方=1(。>0，b>0)的渐近线方程为尸土，，即尸

|答案](1)D(2)A

Q【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法

(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关

于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式，利用加=/一/和e=:转

化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或

取值范围.

（2）求渐近线时，利用，=/+序转化为关于访的方程或不等

式.双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.

1.已知43为双曲线E的左，右顶点，点M在七上，/XABM

为等腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为（）

A聿B.2

C.小D.y/2

答案D

/V2

解析设双曲线方程为六一炉=1（。>。，匕〉0），不妨设点M在双

曲线的右支上，如图，AB=BM=2a,NMBA=120。，作〃轴于

H,则NM8”=60。，BH=a,MH=y[3a,所以M（2a,小a）.将点〃

的坐标代入双曲线方程，一g=l,得a=b,所以e=隹故选D.

99

2.若双曲线E：5一器=1的左、右焦点分别为丹，6，点尸在

双曲线£上，且|PF1|=3,则|尸等于（）

A.11B.9

C.5D.3

答案B

解析解法一：依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线

的定义，得|PF2|一|P为|=2*3=6,所以|PB|=6+3=9,故选B.

解法二:根据双曲线的定义，得||P尸2Mp尸川=2X3=6,所以||PB|

-3|=6,所以|PB|=9或『尸2|=一3（舍去）,故选B.

3.将离心率为ei的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长b（a乎b）

同时增加双心0）个单位长度，得到离心率为及的双曲线。2,则（）

A.对任意的a,b,e\>ei

B.当时，e\>ei-,当时，e\<ei

C.对任意的a,b,e\<ei

D.当a>匕时，e\<ei-,当时，e\>ez

答案D

副弟今密*+炉/问d（a+"2）2+3+"?）2

斛析依延思，e尸。=\p+/e2=狂机

b~\~mb/+加_ab+bm—ab-am_m(b_a)

1+2因为由于

、。+旬'aa-\-mG(Q+，")a(a-\-m)

1”,,,bb~\~mbb~\~m

机>0,«>0,h>Q,且a#儿所以当a泌时，0<-<1,0<^<1,万京，

⑶（b+ni\力h+mbb+m

0<仁同，所以约々2；当时，->1,在/I，而不不：所

以件〉伶拦］2,所以C.所以当时，ei<e2;当a<0时，ei>e2,

W\ci~rinj

故选D.

4.过双曲线％2—日=1的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲

线的两条渐近线于A,8两点，则H8|=（）

4s

B.2小

,3

C.6D.4小

答案D

解析由双曲线的标准方程（一『=1得，右焦点厂（2,0）,两条

渐近线方程为y=±Vix,直线A&x=2,所以不妨取4（2,2小），3（2,

—25则|4回=4仍，选D.

5.已知产为双曲线C：好一4廿=3加（加〉0）的一个焦点，则点尸到

C的一条渐近线的距离为（）

A.^3B.3

C.小mD.3m

答案A

解析由题意，可得双曲线c为方］-全=1,则双曲线的半焦距

c=、3m+3.不妨取右焦点（、3"+3,0）,其渐近线方程为旷=±诟X,

3

即方丽y=0.所以由点到直线的距离公式得d=1黑土=小.故选A.

Y1十"2

r2v2v2v2

6.若实数Z满足0<M9,则曲线会一七=1与曲线左匕一会=

239~K25—Ky

1的（）

A.焦距相等B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等D.离心率相等

答案A

?222

解析因为0<上9,所以方程表-34=1与1均表

2D9—K25—ky

示焦点在x轴上的双曲线.双曲线短一占=1中，其实轴长为10,

2D9—K

______________^2«

虚轴长为2秒二I焦距为2弋25+9—左=2^34—左；双曲线=一

NDKV

=1中，其实轴长为2\]25-限虚轴长为6,焦距为2、25-k+9=

2弋34一七因此两曲线的焦距相等,故选A.

7.已知a泌〉0,椭圆G的方程为了+方=1,双曲线Q的方程

为，一/1,C与C2的离心率之积为零则Q的渐近线方程为（：）

A.x±\l?.y=0B.啦x±y=0

C.x±2y—0D.2x±y—0

答案A

解析由题意，知椭圆G的离心率的=也?，

双曲线G的离心率为e2=』。了一

田为_立斫,[伍2一左乂屋+加）小

因为e\-e2—2，所以4—2，

F（/一左乂足+心）3

即a4一不

整理可得。=媳尻

又双曲线。2的渐近线方程为hx±ay=O,

所以hx±\[2by=0,即％上&y=0.

8.设丹，/2分别为双曲线，一£=1（。>0,8>0）的左、右焦点，双

9

曲线上存在一点P使得|PA|十|PF2|=36,|尸尸1|・|06|=平江则该双曲

线的离心率为（）

A-3B1

9

C.4D.3

答案B

解析根据双曲线的定义||尸碎一|PB||=2a,可得|PQ|2-

22

2|PFI||PF2|+IPF2I=4a2.而由已知可得『HF+2|PFI||PF2|+|PF2|=

9

9b2,两式作差可得一4|尸R||PF2|=4Q2—9〃.又|HFi||PF2|=z",所以有

4足+9必一9扶=0,即（4。-3加（。+3。）=0,得4a=3b,平方得16a2

c2255

=9左，即16〃=9（c2—/）,即25辟=9已%=年,所以\=玄故选

ClyJ

B.

x2«

9.点P在双曲线户-金=l（a>0,。〉0）上，Fi,F2分别是双曲线

的左、右焦点，ZFIPF2=90°,且的三条边长之比为3：4：

5.则双曲线的渐近线方程是（）

A.y=±2-\[3xB.y=±4x

C.y=±2小xD.y=+2y{6x

答案D

解析设的三条边长为|PFi|=3机，|PB|=4机，|FIF2|=

5m,m>0,则2a=\PF2\—\PF\\=m,2c=\F}F2\=5m,所以b=y[6m,

所以]=乎=2疵，所以双曲线的渐近线方程是y=±2册乂

2m

10.设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为B,F2,以为直

径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，则|尸园+尸田+|尸心+国。|

=()

A.4^3B.2小

C.小D坐

答案A

解析依题意，设题中的双曲线方程是%2—)2=1,不妨设点A、

3、C、。依次位于第一、二、三、四象限，则有

\AF\\—\AF^\=2

河|2+叱=尸园2=8'由此解得

1,同理|。川=3西|=小+1,|。尸1|=出人|=总同=小一1,\AFi\+\BFx\

+\CF{\+\DFy\=4y[3,选A.

11.已知点尸是双曲线$一卓=1(。>0,6>0)右支上一点，Fi,F2

分别是双曲线的左、右焦点，/为△PFxFi的内心，若

1PF—IPF+IFF

122।2成立，则双曲线的离心率为()

A.4B.|

5

C.2D.g

答案C

解析

12.设厂是双曲线C：a一看=1的一个焦点.若C上存在点尸,

使线段PE的中点恰为其虚轴的一个端点，则。的离心率为.

答案y[5

解析由已知不妨设F(-c,0),虚轴的一个端点为B(0,b),B

恰为线段Pb的中点，故P(c,2b),代入双曲线方程，由兴一嚏"=1

得宗=5,即/=5,又e>l,故e=小.

2

13.已知双曲线r/一>2=1（4〉0）的一条渐近线为小工+>=0,则Q

答案事

解析因为双曲线，一步=13>0）的一条渐近线为y=一5了,即

y=±%,所以;=小，故。=坐

/丫2

14.设直线％—3y+m=0OW0）与双曲线了一方=l（a〉O,。>0）的

两条渐近线分别交于点4区若点P（八0）满足|用|=|P8|,则该双曲线

的离心率是.

答案坐

X—3y+m=0,z[、

,口{ambmj

{尸3得心"3b-<7/

「％—3y+m=0,,、

.I_zambm

由传4―赤二，3b+aj，

一一,,,,2

人!|线段A3的中八、、为,年/处c2^_m〃，9/37b2—ma2,/

2

由题意得PA1_LA3,APM=—3,得。2=4炉=4,一4a,故/=

5.=止

4*''e~2'

15.设R,g是双曲线C：a一次=1（。>0,8>0）的两个焦点，P

是C上一点.若『尸i|+|PB|=6a,且的最小内角为30。，则C

的离心率为.

答案小

解析不妨设点尸在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PB|

-\PF2\=2a,

又因为IPBI+IP尸2|=6a,所以|PB|=4m\PF2\=2a,

因为|PQ|>|PB|,所以NPE尸2为最小内角，因此NPBF2=30。，

222

在△PF\Fz中，由余弦定理可知，\PF2\=|PFi|+|FIF2|一

2|PFI|-|FIF2|-COS30°,4a2=16a2+4c2—8-\/3ac,所以c2—23”,+3屋

=0,两边同除以次，得/—2小e+3=0,解得e=小.

16.已知双曲线宏一g=1(。>0，6>0)的左、右焦点分别为Fi,

尸2，点P在双曲线的右支上，且|PFi|=4|P6|,则双曲线的离心率e

的最大值为.

答案|

解析设NFIPF2=8,

Q

|PFi|-|PF|=2a,\PFi\=^a,

由,2得s

|PFI|=4|PF2||PF2|=|a,

工人口、^工C17a2—9c2179

由余弦正理何cos6>=—0—=~8~se7'

179।5

V0e(0,7r],；.cos^e[-l,l),一1W2，又e>l,l<eWg.

88e<l

晟已知圆G：(%+3)2+y2=l和圆。2：(%—3)2+》2=9,动圆M

同时与圆G及圆Q外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

［错解］

［错因分析］在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出

错.本题中，|MQ|—|MG|=2,与双曲线的定义相比，等式左边少了

外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会

得出点〃的轨迹方程为r—?=1这一错误结果.

O

［正解］如图所示，设动圆M与圆G及圆G分别外切于A和8

两点.连接MG,MC2.

根据两圆外切的条件，得

\MCi\~\ACi\=\MA\,\MC2\~\BC2\=\MB\.

因为|K4|=|MB|,所以\MCx|—|AG|=IMC2I—|3C2|,即|MC2|-|MCI|

=|3C2|-|AG|=3-1=2.

所以点M到两定点G,C2的距离的差是常数.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与

Q的距离比与C的距离大），可设轨迹方程为，一%=1（。>0,岳0,

%<0）,其中Q=1,c=3,则〃=8.

故点M的轨迹方程为?=1（%<0）.

O

［心得体会］

.整课时撬分练

时间：60分钟

基础组

22

1.［2016・武邑中学模拟］已知双曲线于一3=1的一个焦点与抛物

线产=4%的焦点重合，且双曲线的离心率等于小，则该双曲线的方

程为（）

A.5/一与=1B.y—^=1

C&Y=1D.5-竽=1

答案D

解析•..抛物线的焦点为网1,0）,，c=l.

又\=小，：.°=玉,.,.加='—。2=1-］='.

故所求方程为5/一竽=1,故选D.

%2v2

2.[2016•枣强中学一轮检测是“方程后^一言=1表

示双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

YV

解析方程；表示双曲线’则(m—8)(〃L10)〉0,

r2v2

解得机<8或心1。，故，，W是“方程官=1表示双曲线”

的充分不必要条件，故选A.

3.[2016彳嵬水中学周测]已知点知(-3,0)、N(3,0)、5(1,0),动圆C

与直线MN相切于点3,分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相

交于点尸，则点P的轨迹方程为()

v2«

A.』一弓=1(%>1)B.x2-—=l(^>0)

oin1U

y2y2

C.%2—K=l(x>0)D.X2—777=1(A：>1)

o1U

答案A

解析如图所示，设两切线分别与圆相切于点S、T,贝U|PM|一|PN|

=(|PS|+|SM)—(|P7]+I力V|)=|SM-|力V|=|8M—|BNl=2=2a,所以所

求曲线为双曲线的右支且不能与％轴相交，。=1,c=3,所以〃=8,

故点P的轨迹方程为5=1(%>1).

O

4.[2016•冀州中学月考]以正三角形ABC的顶点A,8为焦点的

双曲线恰好平分边AC,BC,则双曲线的离心率为()

A.A/3-1B.2

C.V3+1D.2小

答案C

解析如图，设|AB|=2c,显然|AD|=c,|8D|=Sc,即（小一l）c

=2〃，

=小+1,

...选C.

5.[2016•武邑中学周测]已知双曲线§—/=l（a>0,b>0）的离心

率为小，则双曲线的渐近线方程为（）

B.y—±\l2x

C.y=±2xD.y=±,x

答案A

解析由题意得，双曲线的离心率0=：=小，故£=乎，故双曲

线的渐近线方程为y=±%，选A.

/丫2

6.[20⑹衡水中学月考]已知双曲线C：^2-^2=1（«>0,。>0）的焦

距为2小，抛物线>=点？+1与双曲线。的渐近线相切，则双曲线C

的方程为（）

解析由对称性，取一条渐近线y=gx即可，把代入产上

1hhr1

得育2—不+由题意得即2

f+l,loa1=0,azlol=-2—4X—X1=0,a=

4b2,又c=小，.'.c2—a2+h2=5h2—5,b2=1,a2=4,选D.

7.[2016•枣强中学猜题]已知双曲线也一方=l（a>0,入0）的左焦

点为左、右顶点分别为4、A2,P为双曲线上任意一点，则分别

以线段尸凡，4A2为直径的两个圆的位置关系为()

A.相交B.相切

C.相离D.以上情况都有可能

答案B

解析设以线段PB,AN2为直径的两圆的半径分别为小，-2,

若P在双曲线左支，如图所示，则IO2O11=；|PB|=；(|PQ|+2fl)=1|PF,I

+«=n+r2,即圆心距为半径之和，两圆外切，若尸在双曲线右支，

同理求得|。2。||=「|一「2,故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故

选B.

8.[2016彳氮水中学期中]已知Fi,弦为双曲线C：9=2的左、

右焦点，点尸在C上，|PFI|=2|PF2|,则COSNBPF2=()

A.1B.|

C.1D.1

答案C

解析由题意可知。c=2.

,.,|PFI|=2|PF2|,又1PBi一甲尸2|=2啦,

：.\PFi\=4yj2,俨兄=2巾,|FIF2|=4.

22

IPFiP+lPFd—IFIF2|

由余弦定理得COSZF,PF=

2'9lI\Lrrh\\-p\rfr2\

(4加(+(2啦423将件「

=2X2巾X4巾=不故选C

9.[2016•武邑中学期中]设尸2是双曲线f—若=1的两个焦

点，尸是双曲线上的一点，且3|PR|=4|尸F2I，则△PB/2的面积等于

()

A.4啦B.8^3

C.24D.48

答案c

解析双曲线的实轴长为2,焦距为尸产21=2X5=10.据题意和

双曲线的定义知，2=|所|-\PF2\=||PF2|-|PF2|=||PF2|,

：.\PF2\=6,|PFI|=8.

222

.,.|PFI|+|PF2|=|FIF2|,

:.PFISF2,

/.5APF|F2=1|PFIMPF2|=1X6X8=24,故选C.

29

10.[2016箱水中学期末]已知F,,B是双曲线?一g=1（4>0,

匕〉0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点B关于直线y

b、

=/对称，则该双曲线的离心率为（）

A.坐B.小

C.啦D.2

答案B

解析由题意可知渐近线为PF2的中垂线，设M为尸尸2的中点，

MF。h

所以OM_LPF2.tanNMOF2=-^J=Z，因为OF2=c,所以MF2=b,

OM=Q.因此PB=2〃，PF\=2a,又因为尸F2一尸凡=2a,所以。=2”，

则c2=a2+b2=5a2,即c=y[5a,故e=\=小.

11.[2016•冀州中学期末]若双曲线$一£=1（〃>0,比>0）的一个焦

点到一条渐近线的距离等于焦距的1则该双曲线的离心率为

答案皆

解析双曲线的一条渐近线方程为加一0=0,一个焦点坐标为

（c,0）.根据题意：弋2c,所以c=2。，a=yjc2—b2=y{3b,

圻“_£__2__2事

所以吁「小一3.

12.［2016箱水中学预测］双曲线系一台=l（a>0,。>0）的左、右焦

点分别为6和B,左、右顶点分别为4和A2,过焦点6与％轴垂

直的直线和双曲线的一个交点为P,若|91|是IBBI和I4BI的等比中

项，则该双曲线的离心率为.

答案啦

———彷

解析由题意可知|用1F=