机电一体化技术与应用 课件 -第2章 机电一体化系统的数学建模

第2章机电一体化系统的数学建模学习目标知识目标：本章要求掌握机电2.1建立数学模型的一般方法方法，传送函数的定义、求解方法，熟悉典型系统的传递函数求取方法，系统框图及其等效变化。能力目标：为了更好地设计、分析控制系统，掌握其内在变化规律，需用数学表达式来描述控制系统。由于分析和设计的控制系统不同，采用的方法不同，因此用来描述系统的数学模型也是多种多样的。常用的数学模型有微分方程、传递函数、频率特性、差分方程和状态空间表达式等。通过本章学习，掌握线性定常系统微分方程的建立方法，形成系统建模概念体系。思政目标：理解控制系统数学建模的重要基础理论，提高我国控制系统设计制造核心竞争力。数学模型是认识世界，探索未知领域的途径数学模型是理解世界并探索未知领域的重要工具，它通过系统动态特性的精确表示，帮助我们分析、设计、预测和控制实际系统。认识数学模型自动控制领域数学模型数学模型的类型：常见的数学模型包括微分方程、代数方程和差分方程等，这些模型在不同领域的系统（如工程、生物医学、经济、社会等）中应用广泛。数学模型的用途：分析系统：在设计新系统时，通过数字仿真和物理仿真实验来进行初步分析，建立数学模型是进行数字仿真的前提。预测物理量：某些无法直接测量的物理量可以通过数学模型进行预测，例如天气、地震和人口趋势等。设计控制系统：控制系统的设计依赖于数学模型，通过数学模型设计控制器，以满足不同的性能要求。认识控制理论控制系统分类：根据数学模型，控制系统可以分为线性与非线性、连续与离散、定常与时变系统。线性定常系统的分析特别重要，因为它不仅具有完整的研究方法，还能在一定条件下适用于非线性和时变系统。控制理论的发展：控制理论经历了经典控制、现代控制和智能控制的发展阶段。经典控制理论主要采用输入/输出的外部描述方法，通过时域、复数域和频域进行分析，数学模型包括微分方程、差分方程、传递函数和动态结构图等。2.1建立数学模型的一般方法2.2线性微分方程的求解2.3传递函数2.4控制系统的结构图2.5机电一体化系统建模实例目

录2.1建立数学模型的一般方法(1)根据系统的结构特征，确定系统和各元部件的输入、输出量。(2)依据各元部件所遵循的物理或化学定律，如机械系统的牛顿运动定律，电学系统的基尔霍夫电流、电压定律等，依次列写出系统和各元件的动态微分方程。(3)消去中间变量，得到元部件或系统输入、输出变量之间的微分方程。(4)将微分方程标准化：输入量放在等式的右端，输出量放在等式的左端，各阶导数按降幂排列。建立微分方程的一般步骤2.1建立数学模型的一般方法在机械系统中常采用牛顿运动定律建立数学模型2.1.1力学系统对于这种没有外部输入的系统，称之为自由系统。在实际应用中，系统总会受到给定输入或外部干扰，称作强迫的或受控系统，意味着状态变化的速率会受输入的影响。2.1建立数学模型的一般方法2.1.2电路系统电气系统主要由电阻、电容和电感等基本元件组成依据基尔霍夫电压和基尔霍夫电流定律，可得系统的微分方程：典型的RC电路2.1建立数学模型的一般方法2.1.3多学科建模建模是许多学科的基本组成部分，但各个学科的方法可能各不相同。需先将系统划分成较小的子系统。将每个子系统表示成关于质量、能量和动量的平衡方程，然后通过对互连的各个子系统变量的行为进行描述，掌握子系统接口处的行为。通过将子系统的描述以及接口的描述组合起来，得到完整的模型。2.1建立数学模型的一般方法2.2线性微分方程的求解2.3传递函数2.4控制系统的结构图2.5机电一体化系统建模实例目

录2.2线性微分方程的求解拉普拉斯变换，简称拉氏变换，是求解线性微分方程的一种简便运算方法，是利用频率法分析控制系统的数学基础。利用拉普拉斯变换求解微分方程，可以将时间函数的导数，变成复变量s的乘积，将时间t表示的微分方程，变成以s表示的代数方程，大大简化求解过程。2.2线性微分方程的求解(1)拉普拉斯变换2.2.1.拉普拉斯变换及拉普拉斯反变换的定义特别说明：2.2线性微分方程的求解2.2线性微分方程的求解(2)拉普拉斯反变换2.2线性微分方程的求解(1)单位阶跃函数的拉氏变换2.2.2.典型时间函数的拉普拉斯变换2.2线性微分方程的求解(2)单位斜坡函数的拉氏变换2.2线性微分方程的求解(3)单位加速度函数2.2线性微分方程的求解(4)指数函数的拉氏变换2.2线性微分方程的求解(5)正弦函数的拉氏变换2.2线性微分方程的求解(5)正弦函数的拉氏变换2.2线性微分方程的求解(6)单位脉冲函数的拉氏变换2.2线性微分方程的求解拉氏变换对照表2.2线性微分方程的求解拉氏变换对照表2.2线性微分方程的求解1.线性定理2.2.3拉普拉斯变换基本定理2.2线性微分方程的求解2.实数域的平移定理2.2线性微分方程的求解3.复数域的平移定理证明：2.2线性微分方程的求解4.微分定理2.2线性微分方程的求解证明：根据拉氏变换的定义，有2.2线性微分方程的求解注意：运用微分定理可将函数的求导运算转化为代数运算2.2线性微分方程的求解5.积分定理2.2线性微分方程的求解2.2线性微分方程的求解6.初值定理2.2线性微分方程的求解7.终值定理2.2线性微分方程的求解拉普拉斯反变换是求解控制系统时间响应的重要手段。常采用部分分式展开法将复杂的象函数化简成简单的部分分式之和，然后对照拉氏变换表求取原函数。2.2.4拉普拉斯反变换2.2线性微分方程的求解在控制系统中，象函数常可写成如下的有理分式形式：：(1)象函数F(s)的极点为各不相同的实数2.2线性微分方程的求解2.2线性微分方程的求解(2)象函数F(s)的极点中有共轭复数极点2.2线性微分方程的求解令等式两边的实部和虚部分别相等，联立求解方程，则可求得k1、k2的值则将共轭复数极点部分配成上面的格式，利用线性定理，即可求出系统的原函数。2.2线性微分方程的求解(3)象函数F(s)的极点中有重极点特别说明：2.2线性微分方程的求解2.2线性微分方程的求解解：由拉氏变换定义及线性定理可知：2.2.5例题2.2线性微分方程的求解【例2.2】求所示三角波的拉氏变换。解：三角波可表达为：利用实数域的平移定理，对上式求拉氏变换，得：2.2线性微分方程的求解解：由正弦函数的拉氏变换可知运用复数域的平移定理，有2.2线性微分方程的求解解：象函数中极点均为不相同的实数，可展开为2.2线性微分方程的求解解：2.2线性微分方程的求解解：2.1建立数学模型的一般方法2.2线性微分方程的求解2.3传递函数2.4控制系统的结构图2.5机电一体化系统建模实例目

录2.3传递函数为了方便地求解系统的微分方程，分析系统的动态特性，常需借助于拉普拉斯变换，将时域中复杂的微分方程转变为复数域简单的代数方程。传递函数就是在建立在拉氏变换基础上的，用来分析和设计零初始条件下控制系统的有力工具。2.3传递函数2.3.1.传递函数的定义线性定常系统的传递函数：在零初始条件下(初始输入量和输出量及其各阶导数均为零)，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3传递函数设线性定常系统输入与输出间的n阶微分方程一般表达式为：当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：2.3传递函数在实际中，控制系统都是由许多物理元部件构成的。但不同物理特性的元部件却可能具有相同的传递函数形式。为了更方便地分析和设计系统，常将具有某种确定信息传递关系的元部件称为环节。一个复杂的控制系统总可看作是由一些典型环节所组成。常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。2.3.2.典型环节的传递函数2.3传递函数(1)比例环节2.3传递函数2.惯性环节(2)惯性环节2.3传递函数2.3传递函数(3)积分环节2.3传递函数(4)微分环节2.3传递函数(4)微分环节说明：理想微分环节的单位阶跃响应为幅值为无穷大而时间宽度为0的脉冲函数，这实际上是不可能的，因此微分环节必须与其它环节同时存在。2.3传递函数(5)振荡环节数学模型为二阶线性常微分方程的环节2.3传递函数2.3传递函数

传递函数的主要特点传递函数表征了系统本身的固有特性，只与系统的结构和参数有关。传递函数的概念只适用于单输入单输出系统；传递函数本身不反映任何系统的物理结构。即不同的物理系统可能具有同类型的传递函数；2.3传递函数传递函数的主要特点传递函数只适用于零初始条件下的情况，原则上不适用于非零初始条件。2.1建立数学模型的一般方法2.2线性微分方程的求解2.3传递函数2.4控制系统的结构图2.5机电一体化系统建模实例目

录2.4控制系统的结构图为了更清楚地说明控制系统中各元件的物理功能及相互关系，常用框图来分析系统和元件的特性框图也称系统结构图/方框图，是一种图解形式的数学模型根据各元件间信号的传递关系，将各元件联接起来，主要由方框、信号线、相加点和分支点组成2.4.1.结构图的组成2.4控制系统的结构图2.4.1.结构图的组成方框信号线相加点相加点运算分支点2.4控制系统的结构图2.4.2绘制结构图的步骤写出每一个元件的微分方程，注意输人量与输出量的确定。由微分方程求出各元件的传递函数，并绘出相应的框图。依据信号在系统中的传递关系，将各元件的框图连接起来，输人量置于左端，输出量置于右端，便构成了系统的框图。2.4控制系统的结构图框图的基本联接方式主要有串联、并联和反馈联接三种。串联联接就是将各环节的方框首尾联接起来，前一环节的输出量就是后一环节的输入量2.4.3框图的基本联接方式(1)串联联接2.4控制系统的结构图2.4控制系统的结构图(2)并联联接并联联接就是几个环节具有相同的输入量，而输出量为各环节输出的代数和(或差)2.4控制系统的结构图2.4控制系统的结构图输出量经反馈通道作为反馈信号与输入量相比较，并以偏差信号作为系统的控制量。(3)反馈联接2.4控制系统的结构图2.4控制系统的结构图2.4控制系统的结构图2.4控制系统的结构图为了分析和研究系统的动态特性，得到输入量与输出量之间的传递函数，常需对系统的框图进行必要的简化。框图的简化应符合等效原则，即在变换过程中，应保证变换前、后输入量和输出量之间的关系保持不变。对于复杂的框图，由于存在交错联接的现象，仅采用前面介绍的三种联接方式往往不能解决框图化简的问题，需要通过相加点或分支点的移动来消除各种联接方式之间的交叉，然后再进行等效变换。2.2.4框图的简化2.4控制系统的结构图2.4控制系统的结构图2.1建立数学模型的一般方法2.2线性微分方程的求解2.3传递函数2.4控制系统的结构图2.5机电一体化系统建模实例目

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