2024-2025学年湖南省长沙某中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024.2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={%EZ|%2+3%<4},B={-1,2,5）,则AU8中元素的个数为（）

A.1B.4C.6D.7

2.命题aBxEQ,tanx2EQ”的否定是（）

A.VxEQ,tanx20QB.Vx6Q,tanx26Q

22

C.BxEQftanxGQD.V%0Q,tanxGQ

3.已知i是虚数单位，复数会的虚部为（）

5.已知x>0,y>0,lg2x+38y=仞2,贝/+三的最小值是()

xy

A.8B.12C.16D.10+2<3

6.已知随机事件a,B,c中，a与B相互独立，B与c对立，且p（a）=o.3,p（c）=0.6,则P（AUB）=（）

A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72

7.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下:

甲：乙得奖.

乙：丙得奖.

丙：乙说错了.

T：我没得奖.

四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

8.设a=k)g52,b=O.506,c=O.605,则()

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/（x）=sin（2x+弓），则下列结论正确的是（）

AJ（x）的图象向左平移弓个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x+9的图象

B.直线久=弊/。）图象的一条对称轴

c"0）在内勺上单调递减

D./Q）的图象关于点（招,0）对称

10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信

息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170,

方差为19,女生样本的均值为161,方差为28,则下列说法正确的是（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m,Is卜n,。s/.记样本平均数为

样本方差为s2，s2=悬[S：+G—Z）2]+鼎[s：+G—Z）2]

A.男生样本容量为50B.每个女生被抽到的概率2

C.抽取的样本的均值为165D,抽取的样本的方差为43

11.如图，正方体ABCD-AB'C'。'的棱长为4,M是侧面上的一个,

动点（含边界），点P在棱CC'上，且|PC'|=1,则下列结论正确的有（）/：

A'（-——i----/----I--t厂P

A.沿正方体的表面从点力到点P的最短距离为，而B

B.保持PM与BD'垂直时，点M的运动轨迹长度为

C.若保持=2层,则点M的运动轨迹长度学

D.平面AD'P截正方体48CD—A'B'C'D'所得截面为等腰梯形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量五=（l,m—1）,b-（m,m+3）,若汇•3=—12|•历则m的值为

13.如图，60。的二面角的棱上有4B两点，直线2C,BD分别在二面角两个半平面

内，且垂直于AB,AC=BD=6,AB=8,贝!JCD=______.

14.若三棱锥的棱长为5,8,21,23,29,3其中teN*,贝亚的一个取值可以为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知锐角△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2csim4=Ca.

⑴求C；

(2)若c=7,AABC的面积为10，^,求△ABC的周长.

16.(本小题15分)

现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cM之

间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组［160,164),第2组［164,168),…，第6组［180,184］,得到如下

频率分布直方图.

(1)求a的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；

(2)求这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数；

(3)从这50名男生身高在176cm以上(含176c巾)的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm以上(

含180cm)的概率.

17.(本小题15分)

如图，在底面为菱形的四棱锥P-4BCD中，P41平面ABCD,^ABC=60°,P4=4B=2,点E,F分别

为棱8C,PD的中点，Q是线段PC上的一点.

(1)若Q是直线PC与平面4EF的交点，试确定隹的值；

(2)若三棱锥C-EQ4的体积为今，求直线4Q与平面4EF所成角的正弦值.

E

18.(本小题17分)

已知函数/(%)=as讥％+bcos%,称非零向量力=(a,b)为/(%)的“特征向量”，/(%)为万的“特征函数”.

⑴设函数h(%)=2s讥(与一无)-cos得+%),求函数八(%)的“特征向量”；

(2)若函数f(x)的“特征向量”为方=(1,73),求当〃久)=凯xG(—找)时s讥x的值；

(3)若万=(73,1)的“特征函数”为/⑺，%£［0,平］且方程产⑴+(2-a)/(x)+a—3=。存在4个不相

等的实数根，求实数a的取值范围.

19.(本小题17分)

在空间直角坐标系。-xyz中，已知向量过=(a,b,c),点Po(Xo，y(),Zo).若平面a以记为法向量且经过点P(p

则平面a的点法式方程可表示为a(x—x0)+b(y—y0)+c(z—z0)=0,一般式方程可表示为ax+by+

cz+d=0.

(1)若平面a［：2x-y-l=0,平面的：3y-2z+1=0,直线2为平面由和平面用的交线，求直线I的一

个方向向量；

(2)已知集合「={(x,y,z)||x|W1,|y|W1,|z|W1}.Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|W2},T={(%,y,z)||x|+

|y|<2,|y|+|z|W2,|z|+|x|W2}.记集合Q中所有点构成的几何体的体积为明,PnQ中所有点构成的

几何体的体积为彩，集合T中所有点构成的几何体为W.

(i)求匕和七的值；

(ii)求几何体勿的体积匕和相邻两个面(有公共棱)所成二面角的余弦值.

参考答案

l.c

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

1.D

8.X

9.CD

1Q.ABD

ll.BCD

12.-1

13.10

14.25(答案不唯一)

15.解：(1)因为2csbi4=-/3a,

由正弦定理可得2sinCsinA=y[3sinA,

在锐角△注8。中，可得si加4>0,

可得sinC=等,可得C=全

(2)因为c=7,S=^absinC=gab-苧=10-\/~3,

解得ab=40,

由余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=(a+b)2—2ab—2ab■

即49=(a+b)2—2x40—40,

可得a+b=13,

所以△ABC的周长为a+b+c=13+7=20.

16J?：⑴由频率分布直方图的性质可得，4x(a+0.07+0.08+0.02+0.02+0.01)=1,

解得a=0.05,

因为4X(0.05+0.07)=0.48<0,6,4x(0.05+0.07+0.08)=0.8>0,6,

所以第60百分位数位于[168,172),设其为小，

则0.48+（m-168）X0.08=0.6,

解得TH=169.5,

即估计这50名男生的身高的第60百分位数为169.5cm；

（2）身高在176cm以上（含176cm）的频率为:0.02x4+0.01X4=0.12,

所以这50名男生中身高在176cm以上（含176cm）的人数为：50x0.12=6人；

（3）这50名男生中身高在176czn以上（含176czn）的人数为6人，

其中［176,180）中有0.02x4x50=4人,［180,184］中有0.01X4x50=2人,

从这50名男生身高在176cM以上（含176cm）的人中任意抽取2人，

基本事件总数n=C6-30,

该2人中身高恰有1人在180cm（含180CM）以上包含的基本事件个数爪=盘废=8,

该2人中身高恰有1人在180cM（含180cm）以上的概率为：P=：=捺=2

17.1?：（1）因为四边形力BCD是菱形，ZXBC=60°,£1是中点，

所以△ABC是等边三角形，所以AE1BC,又，P4_L平面4BCD,

所以在2点处AE,AD,2P两两互相垂直，

则以4为原点，分别以4E,AD,HP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

则依题意有E0,0),尸(0,1,1),P(0,0,2),4(0,0,0),C(<3.1,0).

则版=(0,0,0)，AF=(0,1,1)，PC=(<3,l,-2),设函=I=Qlk,k,_2k),

则而=衣+所=(73fc,fc,2-2fc)，

因为Q是直线PC与平面4EF的交点，所以AQ,AE,2F共面，

所以存在实数小，71,使得而荏+n布，BP(73fc,k,2-2k)=(/3m,n,n),

(2

m=-

y/~3k=7n

所以忆=九，解得《几=§7,

2—2k=n,2

所以所=,密即霁号.

11夕

-EcAE-XX

(2)依题意有SAMC-2-2-2

设Q到底面ZBC。的距禺为d,

11

所以d

-d-XV3d=/3-=

则匕;-4EQ=^Q-AEC3-4Ec3-26

所以Q是PC中点,则Q(苧£1)，所以而=(苧［，1>

设平面2EF的一个法向量为记-(x,y,z),

则伫."—6"一°,令丫=1,则％=o,z--1,所以记=(0,1,—1),

(m-AF^y+z^O

设直线4Q与平面4EF所成角为。，

则s讥8=|cos<m,AQ>\=瑞瑞=卜二1

ETxJ以+14

直线AQ与平面2EF所成角的正弦值为

18.解：(1)因为h(x)=2(苧cosx—jsinx)—(年cosx-|stnx)=亨cosx-|sinx>

所以九⑶的“特征向量”为p=(―a净；

(2)由题意知/(%)=sinx+yf3cosx=2sm(x+9

由/(%)=I，得2sin(x+勺=(，sin(x+勺=g,

因为工€(一得(),％+得€(呜)，

所以COS(%+与)=I'

所以sin%=sin[(x+•一刍=|sin(x+g)-苧cos(%+今="

(3)/(%)=yfSsinx+cosx=2sin(x+当％c[0,等]时，x+1G[^2TT],

由严。)+(2-a)/(x)+a-3=0,得(/(%)-1)(/(%)-(a-3))=0,

所以/(%)=1或/(%)=a-3,

由f(%)=1，BPsin(x+1)=[而％E[。，等卜解得久=0或1=.

即/(久)=1在久e[0,詈]上有两个根，

因为方程严(无)+(2-a)/(x)+a—3=。在x£[0,多]上存在4个不相等的实数根，

所以当且仅当f(x)=a-3且a-3Hl在xC[0,今勺上有两个不等实根，

在同一坐标系内作出函数y=/(久)在xG[0,?]上的图像和直线y=a-3,

因为方程f(久)=a-3(a44)在xG[0,半]上有两个不等实根，

即当且仅当函数y=〃久)在xG[0,?]上的图像和直线y=a—3(a大4)有两个公共点,

由图像可知：-2<a—3W0或1<a—3<2,

解得1<aW3或4<a<5,

所以实数a的取值范围是(1,3]U(4,5).

19.解：(1)直线/是两个平面2x-y-l=0与3y-2z+1=0的交线，

所以直线Lh的点满足第一斗二^二，

—/z十J.一u

不妨设y=l，则久=1,z=2,

不妨设y=3,则x=2,z-5,

所以直线/的一个方向向量为：(2-1,3-1,5—2)=(1,2,3)；

(2)(i)记集合Q,PCQ中所有点构成的几何体的体积分别为％,彩，

考虑集合Q的子集Q'={(Xy,z)W+y+z<2,x>0,y>0,z>0],

即为三个坐标平面与x+y+z=2围成的四面体，

四面体四个顶点分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),

此四面体的体积为%,=|x2