北师大版数学八年级上册 探索勾股定理 同步练习（培优卷）

北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理同步练习（培优卷）

班级：姓名：

夯实基础73黑/不肌勤学早.白育方悔父韦迟.

一、选择题

1.如图，在RtaABC中，点D,E分别是边AC、AB上的两点，连接BD,CE,CD=AE,已知BC=6,AB=

8,贝"BD+CE的最小值是（）

C.9.6D.5+V45

2.已知等腰三角形ABC,=AC,点。是BC上一点，若=10,BC=12.则△ABD

的周长可能是（）

A.15B.20C.28D.36

3.如图，已知AABC中，AB=AC=4,BC=6,在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合）,

使得AABP成为等腰三角形，则这样的点P共有（）.

B.2个C.3个D.4个

4.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将AABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE

A.3B.3.5C.3.75D.4

5.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式

放置在最大正三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

B.较小两个正三角重叠部分的面积

C.最大正三角形的面积

D.最大正三角形与直角三角形的面积差

6.如图，等边AABC的边长为2,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC的中点，则EM+CM

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.V3

7.如图，等边AABC的边长为6,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2,

贝UEM+CM的最小值为（）

8.如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB,有一只蚂蚁

从E点出发，经过F、G、H,最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（)

A.2B.4C.2V2D.3V2

9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点/在x轴的正半轴上.顶点6的坐标为(3,V3)，点

C的坐标为(1,0),且N/1加=30°点夕为斜边。8上的一个动点，则以+%的最小值为()

10.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F

处，连接CF,则CF的长为()

巩固积宝封母从康与出.梅花罟索

二、填空题

11.等边的边长为2,过点C作直线/||/6,夕为直线/上一点，JLAP=V3AB,则点夕到8c所在

直线的距离是.

12.在Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,点E,F分别在边AB,AC_E,将AAEF沿直线EF翻折,

点A落在点P处，且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是.

13.如图，在直角坐标系中，点A(2,2),C(4,4)是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为

2,且BA=CB,在y轴上取一点D,连接AB,BC,AD,CD,使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的

最小值为.

14.在aABC中，BC=6,高线AD=4,则AABC周长的最小值为.

15.如图，已知等边AABC的边长为4,点P是边BC上一点，CP=3,则AP=,若点Q是边AC

上一点，BQ=AP,则AQ=.

优尖拨商书山者珞勤力校.学海无灌苗作舟.

三、解答题

16.如图，已知AB=12,AB1_BC于B,AB_LAD于A,AD=5,BC=10点E是CD的中点，求AE的长.

17.一个25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙A0上，这时的A0距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙

下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？

HB'

18.在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为直角边

在AD右侧作等腰直角三角形ADE,使NDAE=90°,连结CE.

(1)探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.

(3)拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系

为.

②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.

19.在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形Gi上各点的最短距离为由，点P到

图形G2上各点的最短距离为d2,若心=&2,就称点P是图形Gi和图形G2的一个“等距点”.

已知点4(6,0),B(0,6).

(1)在点。(―6,0),E(3,0),F(0,3)中，是点A和点0的“等距点”；

(2)在点G(—2,-1),"(2,2),1(3,6)中，是线段0A和0B的“等距点”；

(3)点C(m,0)为x轴上一点，点P既是点A和点C的''等距点”，又是线段0A和0B的''等距点”.

①当m=8时，是否存在满足条件的点P,如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说

明理由；

②若点P在404B内，请直接写出满足条件的m的取值范围.

20.如图，AABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿

折线A—C—B—A运动，设运动时间为t秒(t>0).

(备用图)

(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求此时t的值;

(2)若点P恰好在NBAC的平分线上，求t的值.

.色解析7

1.【答案】A

【解析】【解答】解：过点A作AFLAC,并使得AF=BC,连接EF,则NFAC=90

AZFAE+ZEAC=90°,

\•在RtZ\ABC中，ZBAC+ZBCD=90°,

：.NFAE=NBCD,

VAF=CB,AE=CD,

AABCD^AFAE(SAS),

；.EF=BD,

.,.BD+CE=EF+CE,

连接CF,即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，

VAB=8,BC=6,ZABC=90°,

；.AF=BC=6,AC=10,

，CF=y/AF2+AC2=V62+102=V136,

ABD+CE的最小值是V136.

故答案为：A.

【分析】过点A作AFLAC,并使得AF=BC,连接EF,则NFAC=90°,由同角的余角相等可得NFAE=N

BCD,证明4BCD丝ZXFAE,得到EF=BD,连接CF,可得CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的

最小值，据此求解.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，当点D是BC的中点时，

A

：.AD1BC,

由勾股定理，AD=7AB2—BD2=V102—62=8,

此时CAABD=AB+BD+AD=10+6+8=24,

CMBC=AB+AC+BC=10+10+12=32,

当点D无线趋近于点B的时候，AABD的周长趋近于20,

只有C选项的值在范围内.

故答案为：C.

【分析】当点D是BC的中点时，先求出周长20,再利用变化趋势判断。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意，使得AABP成为等腰三角形，分4尸=BP、AB=BP、AB=AP

三种情况分析：

当AP=BP时，点P位置再分两种情况分析：

第1种：点P在点0右侧，4。1BC于点0

A

-'-AO=JAB2-（1FC）2=V7

设OP=x

=yjAO2+OP2="+久2

■：AB=AC=4

：.BO=^BC=3

:.BP—BO+OP=3+%

+%2=3+%

：.x=—2,不符合题意；

第2种：点P在点0左侧，401BC于点0

A

■,.AP=7A。2+op2=V7+x2

：.BP=BO—OP=3-x

^7+x2—3—x

：.x=2,点P存在，BP=1;

当AB=BP时，BP=AB=4,点P存在；

当AB=AP时，AP=AB=4,即点P和点C重合，不符合题意；

...符合题意的点P共有：2个

故答案为：B.

【分析】分三种情况分析讨论，在BC边上取一点P(点P不与点B、C重合)，使得4ABP成为等腰三

角形，即AP=BP、AB=BP,AB=AP;根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，设OP=x,利用

勾股构造方程求解，再判断即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：­•-NC=90°,BC=6,AC=8,

AB=y]BC2+AC2=+82=10,

由折叠可得：AE=BE,BD=AD=5,

设BE=x,贝UAE=x,CE=8-x,

(8—%)2+62=x2,

25

-•-xY------4------，

「-------25,15

DE=y/BE2-BD2=(-j-)2-52=-j-=3.75,

、44

故答案为：c.

【分析】由勾股定理求解,由对折可得AE=BE,BD=AD=5,设BE=%,则AE

x,CE=8—x,利用勾股定理求解X,再利用勾股定理可得答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c,较短直角边长为a,较长直角边为b,

由勾股定理得：c2=a2+b2,

阴影部分的面积为：造匕―b)(c—a),

较小两个正三角形重叠部分的边长为：a+b-c,

则较小两个正三角形重叠部分的面积为：

苧(a+b—c)2=孚+房+2ab+c2—2c(a+b)]=苧[c2+2ab+c2—2c(a+b)]=

字(c-b)(c-a),

知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正三角形重叠部分的面积，即等于阴影部分的面积.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理得到c2=a，b2,再根据正三角形的面积公式、平行四边形的面积公式推导计算即

可.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：连接BE,交AD于M',

•.•△ABC为等边三角形，AD为BC边上中线，

则ADJ_BC,即AD是BC的垂直平分线，

AMB=MC,M'B=M'C,

.\EM+CM=EM+BM,EM'+CM'=EM'+BM',

VEM+BM>BE=EM'+BM',

...当B、M、E在同一条直线上，EM+CM最小,

这时BE=VfiC2-FC2=V22-l2=V3-

故答案为：D.

【分析】根据等边三角形的性质得出AD为BC边上的垂直平分线，于是EM+CM转化为BM+EM,然后根据两

点之间线段最短，推得当M’在BE和AD的交点时，EM+CM最短，最后利用勾股定理求出BE的长即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】如图，连接BE交AD于一点M连接CM',BM,作BHJ_AC,

,/△ABC为等边三角形，

AAD为垂直平分BC,

.".BE=BM,+M'E=BM'+M,C,

VBE<BM+ME=MC+ME,

EM+CM的最小值为BE,

VEH=AH-AE=3-2=1,

BH=VFC2-CH2=V62-32=3V3,

2

；.BE力B42+E“2=J(3V3)+1=V28-

故答案为：C.

【分析】连接BE交AD于一点M连接CM',BM,作BHLAC,先根据垂直平分线的性质，再结合三角形

三边的关系求出EM+CM最小时M的位置，即当B、M、E三点共线时，EM+CM长最短，最后利用勾股定理

求出BE的长，则EM+CM长可求.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：延长DC到D',使CD=CD',G关于C对称点为G',则FG=FG',

同样作D'A'_LCD',D'A'=DA,H对应的位置为H',则G'H'=GH,

AERK

则H'E'=HE.

容易看出，当E、F、G\H'、E'在一条直线上时路程最小,

最小路程为EE1=J(2AB)2+(2BC)2=V4+4=2V2.

故答案为：C.

【分析】本题先根据轴对称的原理分别找出点G、H、E的对称位置G'、H'、E’,再根据两点之间线段最

短可知当E、F、G'、H'、E'在同一直线上上时路程最小，最后借助直角三角形利用勾股定理计算即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，过点C作C关于0B的对称点5,连接AC，与OB相交，

则AC'与0B的交点即所求的点P,PA+PC的最小值二AC',

过点C'作C'D_LOA于D,

:点C的坐标为(1,0),且NA0B=30°,

：.Z0CC,=90°-30°=60°,

0C=1,CC'=2X1XJ=1,

.\CD=*,C'D=苧，

•.•顶点B的坐标为(3,V3)，点C的坐标为(1,0),Z0AB=90°,

.,.AC=3-1=2,

，AD=2+那，

在Rt^AC'D中，由勾股定理得，

AC，=JcD2+AD2=，（苧）2+（32=V7,

故答案为：C.

【分析】过点C作C关于0B的对称点5,连接AC7与0B相交，根据轴对称确定最短路线得AC'与0B

的交点即为所求的点P,PA+PC的最小值二AC',过点C'作C'D_LOA于D,求出CC',N0CC'=60",

再求出CD、5D,然后求出AD,再根据勾股定理列式计算即可得解.

10.【答案】B

【解析】【解答】连接BF,由折叠可知AE垂直平分BF,

：BC=6,点E为BC的中点，

ABE=3,

又：AB=4,

2222

二AE=^AB+BE=V4+3=5，

11

:^AB,BE=^AE・BH,

11

..ix3x4=^x5xBH,

.,.BH=挈，则BF=普，

VFE=BE=EC,

AZBFC=90°,

.\CF=7BC2-FF2="_（皆=善.

故答案为：B.

【分析】连接BF,由折叠可知AE垂直平分BF,根据勾股定理求得AE=5,利用直角三角形面积的两种表

示法求得BH=等，即可得BF=曾，再证明NBFC=90°,最后利用勾股定理求得CF=竽.

11.【答案】遍或2遍

【解析】【解答】解：过点C作CD1AB于D,过点4作AEV/于E,如图1所示，

'：AB=AC=BC=2,CDLAB于D,

：.BD=AD=1,

*'•CD=V22—l2=V3,

U：AE±/于E,

：.AE=CD=V3

：.AP=遮AB=2V3

当夕点&?的延长线上时，AP爻BC于袅F,如图1所示,

9：AP=2AE

J^APE=30°

/\\AB,

：.NPCF=^BAC=60°

JNPFC=90

，尸厂即为2点到8c所在直线的距离，

•：PE=7AP2-AE2=J(2V3)2-(V3)2=3，CE=y/AC2-AE2=J22-(V3)2=1,

：.PC=PF-CE=3-1=2,

:・CF=1

PF—V22—l2=V3；

当户点CE的延长线上时，延长8a过点、P作PF1CF,交比延长线于点尸，如图2所示,

：.PC=PE+CE=3+1=4,

•・•/II他

NPCF=C=60°

■:PFLCF,

.・・NCPF=30°

ACF==PC=2

:・PF=>JPC2-CF2=V42-22=2V3;

综上所述，P点到8c所在直线的距离为百或2遮，

故答案为：V3或2陋.

【分析】过点C作CDLAB于D,过点A作AELI于E,根据等边三角形的性质得BD=AD=1,根据勾股定理

算出CD的长，根据平行线间的距离相等可得AE的长，此题分类讨论：①当P点EC的延长线上时，AP交

BC于点F,易得AP=2AE,从而可得NAPE=30°,根据平行线的性质得NPCF=60°,故NPFC=90°,所以

PF就是点P到BC所在直线的距离；用勾股定理算出PE、CE,根据PC=PE-CE算出PC的长，最后再根据

勾股定理即可算出PF的长；②当P点CE的延长线上时，延长BC,过点P作PFLCF,交BC延长线于点

F,由线段的和差算出PC的长，根据平行线的性质得NPCF=60°,根据三角形的内角和定理得N

CPF=30°,根据含30°角直角三角形的性质得CF的长，进而根据勾股定理算出PF的长.

12.【答案】1<CPW5

【解析】【解答】解：如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，

此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,

如图，当点F与点C重合时，CP的值最大,

此时CP=AC,

"△ABC中，ZABC=90",AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值为5,

所以线段CP长的取值范围是1<CP<5.

故答案为：1WCPW5.

【分析】当点E与点B重合时，CP的值最小，此时BP=AB=3,然后根据PC=BC-BP进行计算；当点F与点

C重合时，CP的值最大，此时CP=AC,在RtZ\ABC中，由勾股定理求出AC,据此不难得到CP的范围.

13.【答案】4+2V10

【解析】【解答】解：•.•点A(2,2),点B的纵坐标为2,

；.AB〃x轴，

voc是第一象限的角平分线

AZBAC=45°,

VCA=CB,

AZACB=ZBAC=45°,

：.ZB=90°,

VC(4,4)

AB(4,2),

AAB=BC=2,

作C(4,4)关于y轴的对称点C'(-4,4),

连接AC，交y轴于D，,

则此时，四边形ABCD'的周长最小，且CD=C'D,

则这个最小周长的值=AB+BC+AC',

■：Cr(-4,4),A(2,2)

,'AC=V62+22=2VTU，

，四边形ABCD的最小周长值=AB+BC+4C=4+2/历，

故答案为：4+2V10

【分析】先求出NBAC=45°,再求出AB=BC=2,最后求解即可。

14.【答案】16

【解析】【解答】解：如图，过I〃BC,使BC与I的距离为4,再作B关于I的对称点B',连接CB'交I

于点A,过E作AELBC,

•.,直线I是BB'的中垂线，

.,.AB'=AB,A'B'=A'B,

,.•A'B'+A,C>B,C=AB+AC,

AA'B+A'OAB+AC,

•.•直线I是BB'的中垂线，

/.NB'AD=NBAD,

I〃BC,

AZB'AD=ZACB,ZBAD=ZABC,

ZABC=ZACB,

AAABC为等腰三角形，

.\BE=EC=3,

AB=AC=7XF2+BE2=5,

：.AABC的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16.

故答案为：16.

【分析】过l〃BC,使BC与I的距离为4,再作B关于I的对称点B',连接CB'交I于点A,过E作AE

LBC,然后利用三角形三边的关系求出当AABC为等腰三角形时，其周长最小，再根据等腰三角形的性质

求出BE长，然后根据勾股定理求AB和AC,即可解答.

15.【答案】V13;3或1

【解析】【解答】解：•.•△ABC是等边三角形，

.\BC=AB=AC=4,

如图，过A作AH_LBC于H,

Q

.\BH=CH=2,

VCP=3,

.,.PH=PC-CH=1,

'-"AH=y/AC2-CH2=V42-22=2班,

'-AP=7AH2+PH2=J(2圾2+12=Vi3；

过B作BE±AC于E,

当点Q在线段CE之间时，连接BQ,

；.CE=AE=2,BE=AH=2k,

'：BQ=AP=V13,

-'-EQ=y/BQ2-BE2=J(V13)2-(2V3)2=1,

.,.AQ=AE+EQ=2+1=3;

当Q'在线段AE之间时，BQ,,

-EQ'=』BQ，2_BE2=J(V13)2-(2V3)2=1-

AAQ=AE-EQ=2-1=1,

；.AQ=3或1.

故答案为：V13,3或1.

【分析】由等边三角形的性质可得BC=AB=AC=4,过A作AH_LBC于H,则BH=CH=2,利用勾股定理求出

AH,AP：过B作BELAC于E,当点Q在线段CE之间时，连接BQ,易得CE=AE=2,BE=AH=2同BQ=

AP=V13,由勾股定理求出EQ,进而求出AQ;当Q'在线段AE之间时，连接BQ',由勾股定理求出

EQ',然后根据AQ'=AE-EQZ进行计算.

16.【答案】解：如图，延长AE交BC于F.

；.AD〃BC

,ND=NC,ZDAE=ZCFE,

又：点E是CD的中点，

.\DE=CE.

V^AAED与ZkFEC中，

(ND=NC

jNDAE=NCFE，

(DE=CE

.,.△AED^AFEC(AAS),

AAE=FE,AD=FC.

VAD=5,BC=10.

ABF=5

在RtAABF中，AF=JAB2+BF2=7122+52=13，

AAE=|AF=6.5.

【解析】【分析】延长AE交BC于F,易得AD〃BC,由平行线的性质得ND二NC,ZDAE=ZCFE,根据中点

的概念可得DE=CE,证明△AED0Z\FEC,得到AE=FE,AD=FC,则BF=BC-CF=BC-AD=5,利用勾股定理可得

AF,进而可得AE.

17.【答案】解：不对.

理由：如图，依题意可知

AB=25(米)，A0=24(米)，Z0=90°,

BO2=AB2-A02=25-242,

BO=7(米),

移动后,A'0=20(米)，B'02=(A'B')2-(A'0)2=252-202=152,

B'0=15(米),

：.BB'=B'0-B0=15-7=8(米).

【解析】【分析】根据勾股定理求出BO的长度，再根据移动后的三角形的勾股定理，求出BB'的长度。

18.【答案】(1)解：VZBAC=90°,ZDAE=90°,

ZBAC=ZDAE.

,/ZBAC=ZBAD+ZDAC,ZDAE=ZCAE+ZDAC,

ZBAD=ZCAE.

VAB=AC,AD=AE,

.".△ABD^AACE.

.,.BD=CE.

VBC=BD+CD,

.\BC=CE+CD.

(2)2+V2

(3)BC=CD-CE;BC=CE-CD

【解析】【解答】(2)应用：在RtZkABC中，AB=AC=&,

AZABC=ZACB=45°,BC=2,

VCD=1,

.\BD=BC-CD=1,

由探究知，△ABD04ACE,

AZACE=ZABD=45°,

ZDCE=90°,

在RtABCE中,CD=1,CE=BD=1,

根据勾股定理得，DE=V2,

/.△DCE的周长为CD+CE+DE=2+V2

故答案为：2+V2.(3)拓展：①同探究的方法得，△ABD/AACE.

.\BD=CE

.\BC=CD-BD=CD-CE,

故答案为BC=CD-CE;

②同探究的方法得，△ABD/aACE.

.*.BD=CE

.\BC=BD-CD=CE-CD,

故答案为:BC=CE-CD.

【分析】(1)由NBAC=NDAE=90°,易知NBAD=NCAE,根据SAS可证明△ABD/4ACE,则BD=CE,根据

线段间的等量代换证得BC=CE+CD。(2)在Rt^ABC中，先计算出BC,然后求得BD,在Rt^BCE中，再运

用勾股定理求得DE,最后求出4DCE的周长。拓展：①同探究的方法得出△ABD/4ACE,利用全等三角

形性质可得BD=CE,进而得出BC=CD-CEo②同探究的方法得，△ABD/Z\ACE,可得BD=CE,进而得出结

论BC=CE-CD„

19.【答案】(1)点E

(2)点H

(3)解：①存在，点P的坐标为(7,7),理由如下：

•.•点P是线段0A和0B的“等距点”，且线段0A在x轴上，线段0B在y轴上，

可设点P(x,x)且x>0,

:点P是点A和点C的“等距点”，

：.AP2=CP2,

;点、C(8,0),A(6,0),

(%—8)2+x2=(x—6)2+x2,

解得：x=7,

...点P的坐标为(7,7)；②满足条件的m的取值范围为—6<m<0.

【解析】【解答】解：(1)根据题意得：AD=6-(-6)=12,AE=6-3=3,AF=

J(6—0)2+(0-3)2=3V5,

0D=6,0E=3,OF=3,

：.AE=OE,

...点E(3,0)是点A和点0的“等距点”；

(2)根据题意得：线段0A在x轴上，线段0B在y轴上，

二点G(—2,-1)至I线段0A的距离为1,到线段0B的距离为2,

点”(2,2)至I线段0A的距离为2,到线段0B的距离为2,

点/(3,6)到线段0A的距离为6,到线段0B的距离为3,

，点H(2,2)到线段0A的距离和到线段0B的距离相等,

...点H(2,2)是线段0A和OB的“等距点”;

(3)②如图,

•.•点P是线段0A和0B的“等距点”，且线段0A在x轴上，线段0B在y轴上,

二点P在NA0B的角平分线上，

可设点P(a,a)且a>0,

：4(6,0),B(0,6).

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