新高考数学一轮复习之几何专项讲义：解析几何同构

第23讲同构式的解题赏析

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1.【2011年浙江理21】已知抛物线C]：d=y,圆C,：Y+（y-4）2=l的圆心为点M.

（I）求点”到抛物线的准线的距离;

（II）已知点P是抛物线C|上一点（异于原点），过点P作圆G的两条切线，交抛物线C|于两点,若过"，尸

两点的直线/垂足于A3,求直线/的方程.

解析：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为:

17

所以圆心M（0,4）到准线的距离是—.

4

（II）设尸（％,后）,A&,片）,3（%2，）），

则题意得x0wO,xow±1,%wx2,

设过点尸的圆。2的切线方程为y-片=k（x—x0）,

y=kx-kx0+xl①

贝115+4-焉I=],

、Jl+公

即（/；—1）左之+2XQ（4—尤；）左+（x；-4）2—1=0，

设PA,PB的斜率为匕，左2Aw履），则匕也是上述方程的两根，所以

《+鼠=2%（：；4）/#,（片-4尸一1

/一1xoT

22

将①代入y=X,x-kx+kx0-XQ=0

由于与是此方程的根,

故玉=匕一%0,%2=左2-%0，所以

x2—2%o（x3—4）x；—4

------=%+%2=匕+攵2—2%=----2------2叫）,左“P=-----

%1~X2XQ-1XQ

由近；2,得勉%一1）,

解得片=/

即点P的坐标为（土

所以直线I的方程为y=土迈5工+4.

115

2.【2018年浙江21】如图，已知点?是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线G/=4x上存在不同的两点4B

满足为，处的中点均在。上.

（I）设四中点为〃，证明：9垂直于y轴；

2

（II）若尸是半椭圆三+匕=1CK0）上的动点，求△为6面积的取值范围.

4

22

解析：（I）设尸（%,%）,4咛~,必）,y2）,

2

则PA中点为（£+1■,”A）,由A尸中点在抛物线上，可得

2

心产）2=岭+/），化简得y；一2%%+胱7；=0,显然%F，

且对力也有2%%+8%-¥=0，

所以%%是二次方程V-2为y+8%o-y；=0的两不等实根，

所以乂+%=2%，%=弘；%二与二外,即垂直于1轴・

（II）s=5（为一九p）（i%-加I+1加一%I）=~（xw一/）I必一%I，

由⑴可得乂+%=2%,%%=8%。-¥，

△=(2%>-4(8%-y：)=8(y；-4x0)>0(%wy2),

2

此时尸(%,%)在半椭圆/+\=1(犬<0)上，

22

：•△—8(%2—4x0)=8[4(1—x0)—4x0]=32(1—x0—x0)，

-1<x0<0,A>0,

；・IX_%1=~~={32(1—x。一片)=4^2(1-x0-Xg),

IYY|_父+£Y_(%+%)2-2%%Y_4北一2(8%-尤)_6(4-4片)

\xM-xp\--xo--XQ--X。--

—3(1—x0—%o)，

所以S=E(xM一%)I%-乂1=6母(1-x0—Xp)AJ1-X0—XQ=,

t=-片e[I,1]，所以S=6衣3©[672,1^2],

即APAB的面积的取值范围是[6后，身叵].

4

模考链接：

1.如图，已知抛物线C：y2=4x,直线/过点尸（-g,0）与抛物线C交于第一象限内两点A,B,设Q~OB的斜率

分别为匕,右.

(I)求K+&的取值范围；

(II)若直线Q4,03恰好与圆。:(x-1)2+(y-2)2=/(厂>0)相切，求一的值.

解析：(1)设/：X=)-*。>0),代入丁=4%,

得/一物+更=0,A=16r-->0,得”马.

设A(小,％)，8(号,为)，则乂+%=41，=g

&+/=4+汽=内%+%)=5r>2召,所以匕+%,的取值范围是(2有XO

(II)由(I)知人居=生=5,设过原点且与圆相切的直线为>=依，则

整理得

(1--)左2一4左+4一/=0,

£

kxk2=—~==5,得/=，，所以

1-1-r242

2.已知椭圆C：二+年=1(°>0),点尸,Q,R在椭圆C上，点R到直线OROQ的距离均

aa

等于£.直线OP,OQ的斜率分别为kt,k2.

(I)求发色的值；

(II)证明：|0尸||0。区；/.

解析：(1)设尺(%0，%),因为直线OP：y=klx,OQ：y=k2x,

22

所以坪二%=La,化简得(x；+y0--«=0

，1+匕22I4；4

22

同理(x；--^-tz^Z:2-2k2x0y0+%2_92_Q

所以匕#2是方程［片-卜2—2%为k+%2—；/=0的两个不相等的实数根,

、，；一：/

由韦达定理得，左左2=-------

片——a2

°4

2Q221

因为点R(%%)在椭圆C上，所以乌+*=1,即为2=幺一工12

aa33

12

-----Cl

4

所以kyk2=

12

—ci

4

（II）设尸（士,乂）,。®,%），3左芯+1=0，即亚匹+1=0,即y；yj=[x：xj

王多

2

网\3短一1a12

-----玉

a22a33

因为尸（%，%），。（9，%）在椭圆C上，所以＜，即

2Q22

a12

々.3%_i2

----1y2-----x.

Ia2-------2a33

整理得年+x；=片,

所以%2+£=］展切+［展*＞］，所以|0叶+佻,竽

\OP\\OQ\<^-.

3.【2019届9+1联盟期中考试】已知抛物线C：丁=以上动点「（占,%）,点4在射线/:工-2丫+8=0（、20）上,

满足P4的中点。在抛物线C上.

（I）若直线尸4的斜率为1,求点尸的坐标；

（II）若射线/上存在不同于A的另一点8,使得P8的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值.

解析：（I）设直线R4的方程为y=x+6,则48-26,8-3，设。（%,必），由

所以△=16-16Z?>0,b<\,1%+%一4

1%丫2=44

b=0,b=-24,

又必+8-。=2%,解得，%=0,或.X二—8,

芈=4,72=12.

经检验都是方程的解，所以P（0,0）或（16,-8）.

(II)设A(2%-8,Q,B(2t2-8,?2),>0,贝U由丛的中点。(2-+%-4,3^)在抛物线C上，可得

(写入尸=4(1+4一4),整理得片+(2%-16兑+64-y；=0,

同理]+(2y_]6»2+64_靖=0,

所以是方程r+(2x-16)1+64-城=。的两个不相等的非负根，

A=(2%-16)2-4(64-短)>0,

所以f+L=16-2%>0,所以一8<乂<0.

卬2=64-靖>0,

所以|知卜布11一丫=2后而口金\326，当且仅当％=-8时，取“=”号.

所以|A同的最大值为32占.

4.【2018金华十校4月模拟】已知抛物线丁=尤和C,过抛物线上的一点尸(x0,%)(%21),作C的两条切线,

与〉轴分别相交于A,B两点.

(I)若切线尸8过抛物线的焦点，求直线尸B斜率；

(II)求面积AA8P的最小值.

解析：(I)抛物线的焦点为/[,。],设切线PB的斜率为k,

则切线尸8的方程为：丁=后(尤即Ax-y-%=0.

-----.-.4-=1,解得：k=±-.

7FT73

4

•,尸(%，%)(为之1)，*'•k=-.

(II)设切线方程为了=履+〃7,由点尸在直线上得：笈=4二丝①

圆心C到切线的距离匚竺^=1,整理得：■-2km—\=b②

将①代入②得：（%o+2）m2-2yom-%=0③

设方程的两个根分别为叫，..，由韦达定理得：g+饵="°，2

%+2%+2

/2+3%

从而[AB]=帆—叫=｛（仍+”）2—4町”=2,

（%+2产

S忑*忙于”.

记函数g⑺=?爰。汕，则，

.从柳的最小值为g,当x0=l取得等号.

5.12018浙江省名校协作体试题】如图，已知抛物线G:炉=2py的焦点

在抛物线C2：y=/+1上，点尸是抛物线G上的动点.

(I)求抛物线G的方程及其准线方程；

（II）过点..作抛物线。2的两条切线，A,3分别为两个切点，求.PA8面积的最小值