广州某中学2024-2025学年高二年级上册开学考试数学试卷（含答案）

2024年9月广附高二开学考试数学问卷

姓名：班级：考号：

一.单选题（8道，共40分）

1.已知A={疝＜x＜2},3={x|x＜0,若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，贝/的取值

范围是（）

A.a<\B.a>lC.a<2D.a>2

2.已矢口z=1—i是方程z?+2〃z—。=0(〃,b£R)的根，贝!Ja+Z?=()

A.-3B.-1C.2D.3

3.已知=兀，b\nb=兀，c=G则（)

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

已知1

4.Gf0,—,cos2cir-sin2a=—且3sin/7=sin(2a+£),则a+6的值为()

7

A71c兀

A-12D.-

-73

5.已知函数〃x）=sin（2x+°）（。＜。＜兀），,则（）.

A.〃。)=;

B./（尤）的图象向左平移?个单位长度后关于y轴对称

O

C./（x）在T"］上单调递减

D--

6.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”.现测得实验动

物血液中药物含量为0.8mg/ml,若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少

经过（）个小时才会“药物失效”.（参考数据：但2。0.3010）

A.4B.5C.6D.7

7.已知圆台的体积为电玩，母线长为3,高为石，则圆台的侧面积为（）

3

A.36KB.24兀C.18兀D.12兀

8.已知。为DABC的内心，角A为锐角，sinA=半，若15=〃而+21^,则〃+彳的最

大值为（）

试卷第1页，共4页

二.多选题（3道，共18分）

9.已知。>0,6>0,且a+b=l,则下列不等式成立的是（）

A.abN—B.—I—225C.y[a+y[b<-x/2D.a1<a

4ab

10.如图，已知棱长为2的正方体ABC。-A与6A中，点p在线段8c上运动，现给出下

列结论：则正确的选项为（）

A.直线A"与直线。尸所成角的大小不变

B.平面_L平面AG。

C.点P到平面AC。的距离为定值空

3

D.存在一点P,使得直线AP与平面BCGg所成角为J]T

11.一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点

数6的有（）

A.平均数为3,中位数为4

B.中位数为4,众数为3

C.平均数为2,方差为2.1

D.中位数为3,方差为0.85

三.填空题（3道，共15分）

12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如

图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分

位数为分.

13.已知口ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,是口ABC的中线.若AO=2,

且b?+c2+bc-(ZJCOSC+ccosB)-,则□ABC面积的最大值为

14.设函数/（尤）的定义域关于原点对称且满足:

(i)；（ii）存在正常数。使数a）=L

则函数的一个周期是

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四.解答题(13,15,15,17,17,共77分)

15.已知函数/(司=瓜皿3+夕)(0<0<1,同<与的图象过［一:,。］，两点，将

/(X)的图象上各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移£个单位长度，得

到函数g(x)的图象.

⑴求函数g(无)的解析式；

⑵若函数尸(x)=g(x)-当>0,求函数/(X)的单调区间.

16.已知斜三角形ABC.

(1)借助正切和角公式证明：tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC.

并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：

①tan200+tan40°+V3tan20°tan40°,

tan200+tan400+tan120°

②

tan20°tan40°

(2)若C=135。，求tanA+tanB的最小值.

17.如图，在平行四边形ABC。中，AP1BC,垂足为P,E为CD中点,

⑴若丽•府=32,求AP的长；

⑵设I丽|=0，IACl=V5，cosZBAC=—,AP

10

=xAE+yAC＞求冲的值.

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18.如图，在四棱锥P-ABC£>中，底面A3CD为平行四边形，ABAD=60°,PD=AD=1,

PB=AB=1.

(1)证明：B。/平面PAD；

(2)当二面角PA-8的正切值为加时，求直线8。与平

面PBC所成角的大小.

19.已知有序数对x：｛尤1，尤2，再｝，有序数对丫：｛%,%，%｝，定义"。变换"：％=匕-尤2］，

%=民-引，为=|尤3-无］1，可以将有序数对X转化为有序数对Y.

⑴对于有序数对X:｛3,4,5｝,不断进行“。变换”，能得到有序数对｛0,0,0｝吗？请说明理由.

⑵设有序数对X:｛占,马,不｝经过一次“C变换”得到有序数对Y-.｛y,2,x\(x>y),且有序数对

Y的三项之和为2024,求上的值.

X

⑶在(2)的条件下，若有序数对Y经过几次“。变换”得到的有序数对的三项之和最小，求”

的最小值.

试卷第4页，共4页

2024年9月广附高二开学考试数学答案

1.D,2.A,3.A,4.D,5.D,6.D,7.D

8.C

【详解】方法一：点。是DABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=Q，其中BC=a,AC=b,

AB=c,理由如下：^aOA+bOB+cOC=0>则。为+6(国+通)+c(市+*)=6,

beABAC

整理得（a+8+c）砺+屈+c苑'=6,所以函=-即点。在/B4c的角平

a+b+c［洞|Zc|

分线上，同理可证，点。在/ABC,NBC4的角平分线上，即点。为O4BC的内心.

故而=^-荏+—衣，故〃+八^^=」=1+4

a+b+ca+b+ca+b+cb+c

因为角A为锐角，sinA=姮，所以cosA=（.由定理得到

88

COS」+j7J22772

=—nb+c——bc=a

2bc84

又因为^+白（当且仅当时取等号）,

26=c所以所以

ca

cb

，=1+j+JI54

“故"+2*'

4+4b+cV16

方法二：如图，延长A。，交BC于点，

设CD=yCB,即A。-AC=y^AB—ACj,故AD=yAB+(1-y)AC,

设AO=xAD=尤卜48+(1-y)AC)=xyAB+x(\-y^AC,

/n-xy

则/•/+〃=x,作DABC的内切圆与8c边切于点E,与A3切于点R

A=x(l-y)

、.AA-A

2sin一cos一2tan一

设圆O半径为广，・•,sinA=J"且A为锐角，sinA=2singcosg=22二2

.2A2A2Al

\822sin——Feos—tan——Fl

222

cA

2tan—

解得tan^=声或瓦（舍去），故sin^=/cos2

故.....-

2Al

tan—+12

2

答案第1页，共7页

AAA]0p1

又si叱+c”l,解得sin5="负值舍去，=“即A°=4r，^OD>OE=r,

AO4r4

x=^=：故选:c.

AD4r+\OD\

9.BCD

10.ABC

11.ABD

【详解】对于A：10次点数为U,1,1,4,4,4,4,4,6符合题意，故A正确;

对于B：10次点数为3,3,3,3,4,4,4,6,6,6符合题意,故B正确；

对于C：设10次点数为巧，工2，%3，%4，%5,4，工7，/，入9，占0且114％2（％34％4«毛4入6（入7（入8<入94玉0，

平均数为加，

假设有一次点数为6,不妨设占。=6,由方差公式?=丁+¥+4+”+与3+*+>+后+琉_/,

代入相关数据得：

2.1=x；+x-+*不+/+x；+36-4,即x；+考+尤；+*+尤；+x；+考+x；+无；=25,

显然％最大只能取4，

不妨设/=4得x；+%；+x；+xj+%；+x；+4+=9,此时方程无解，所以％9。4,

当天=3时得：X；+考+后+%：+石+工；+考+片=16,/最大只能取3,

不妨设4=3得%;+x；+x；+x：+x；+x；+x；=7,此时方程有唯一■解，

再

=x2x3=x4=x5=x6=Xy=1,

即10次点数为1,1，1,1，1,1，1,3,3,6,但此时平均数为1.9不合题意，所以％W3,

当%9=2得入；+考+%；+%：+*+片+考+工；=21取%5=冗6=冗7=入8=2得片+考+君+%：=5,

此时方程无解（其余情况也均无解），所以当/=1时，平均数为1.5不合题意.

综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C错误；对于D：10次点数为3,3,3,3,3,3,3,4,4,6符合题

意，故D正确.故选：ABD

12.86.25

13.4^/3

答案第2页，共7页

【详解】因为/?2+H+^=(8850+8053)2,由正弦定理可得

sin2B+sin2C+sinBsinC=(sinBcosC+sinCcosB)2,又

sinBcosC+sinCcos3=sin(3+C)=sin(7i—A)=sinA,所以sii?B+sii?C+sinBsinC=sir?A,由

正弦定理可得。2+°2+A=Q2,

由余弦定理。2=廿+02-2bccosA,所以cosA=-1，又4©(0,兀)，所以A=?，

___,1—.1___，

因为AO是口ABC中BC边上中线，则AD.AB+iAC,BP2AD^AB+AC，所以

4AD2=AB2+AC2+2AB-AC^\6=b2+c2-bc>2bc-bc,可得bc<16,当且仅当〃=c=4时等

号成立，故以诋=；^^114=¥A446，即口ABC面积的最大值为4vL

故答案为：4A/3

14.4a

“占)小2)+1

【详解】令x=%-々，/（一耳=〃々一玉）==-〃占-々）=一〃尤）,

/(x2)-/(x2)

•••〃尤）是奇函数.,//(x+a)=/[%-(-«)]=

〃x)T]

=/,x]--,(y(a)=l),/.f(x+2a)-f\(x+a\+a\=1——=--

J

〃x)+i'l〃x)-if(xy

7Wi+

/.f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=2.)=/(x),

・・J(x)是以4a为周期的周期函数.

答案第3页，共7页

15.

【详解】⑴因为函数/(x)=6sin(0x+°XO<0<l,|d<1)的图象过(-彳，。)，C|，6)两点，所

以工■+左T=兀，即(工+Qx—=71,解得(v=—+k,keZf

44CD2

又因为0<G<1,则&=g.所以6sin(gxg+9)=6,

TTTTTT

所以一+夕=—+2/CTI,左EZ,则。=—+2E,左£Z,

623

又因为所以夕="|,即/(x)=J^sin(；x+_|),

所以将Ax)的图象上各点的横坐标缩短为原来的g,纵坐标不变，

再向右平移三个单位长度得g(x)=百sinx.

巧

(2)由(1)知J,尸(x)=6sin无一方

因为/0)>。，所以6sin尤一三■>(),即sinx〉］,

TT57r

解得—+2k7i<x<--F2for,左£Z,

66

所以尸(无)的单调递增区间为(弓+2版卷+2版］,左€2单调递减区间为1+2E，*2far),%eZ

16.

[详角军](1)'：C=TI—{A+B),tanC=tan[K-(A+B)]=-tan(A+B),

-tanA+tanB

tanC=--------------tanC(1-tanAtanB)=-(tanA+tanB),

1-tanAtanB

**.tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC；①tan200+tan40°+石tan20°tan40°

=tan20°+tan40°+tan120°+V3tan20°tan40°+43=tan20°tan40°tan120°+百tan20°tan40°+V3

=-V3tan20°tan40°+>/3tan20°tan40°+百=百；

tan20°+tan40°+tan120°tan20。tan40。tan120。=tan120°=—\/3；

tan20°tan40°tan20°tan40°

(2)vC=135°,则(r<A<45。，0°<B<45°,且A+5=45。,

11

所以tanA〉0,tanB〉0,?.tanA+tan3=-tan1350+tauAtan3tan1350=1—tanAtan521—('4+‘a"B)

4

/.(tanA+tanB)*2+4(tanA+tanB)-4>0,解得tanA+tan322正一2或tanA+tan3<—2夜一2(舍去)，

所以tanA+tan322夜-2,当且仅当tanA=tanB=y[2-1时取等号

tanA+tanB的最小值为2后-2.

答案第4页，共7页

17.

【详解】（1）•••APJLBC,.•.而是衣在而方向上的投影向量，

■,-AP-AC=AP2=|AP|2=32,BpAP=4A/2;

法二：•.,AP_LBC,.,.而•I^=|而H衣|cosNPAC=|而|-|Q|=|而「=32,

即AP=4V2;

（2）在□ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZBAC==9,

cos人空2+9-5

所以BC=3,V|

2xABxBC2x3xV2V

―兀

因为8e（0,万），所以8=一，AP=A8sinB=l,BP^ABcosB^l,PC=BC—PB=2,

4

以P为坐标原点，PC,R4所在直线分别为无轴，y轴，建系如图:

易知产（0,0）,4（0,1）,C（2,0）,。（3,1）,因为E为。中点,

所以E（|，g）,

AP=（O,-l）,A£=[j,-1^AC=（2,-1）,

AP=xAE+jAC,.'.

（0,-1）=尤g,-；）+y（2,T）=（?!x+2y,-gx-y）

C5ccf4

丁+2y=0x=-§20

2，解得：J，所以：xy=-y

法二：在□ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABAC-cosABAC==2+5-2xV2x75=9,

2

所以BC=3,cosB='C+4'一一.。=”一；=交

2xABxBC2x3xj22

IT

因为Be（0,兀），所以2=-,AP=ABsinB=l,BP=ABcosB=l,PC=BC~PB=2,

4

因为PC=2PB,所以Q=+而=荏+；前=荏+；（/一！5）=：而+;衣，

又：Q=xAE+yAC=x（AC+CE）+yAC=x（AC-；而）+yAC--|A8+（X+y）AC

124

——x=一x=—

所以：个=一£

由平面向量基本定理得：2；,解得：,§3,

x+y：

答案第5页，共7页

18.

【详解】（1）在△A①）中，由余弦定理得Br>2=A£>2+A82-2Ao.A8cosA=l+4-2xlx2x：=3,

_TT

显然AD?+AD?=AB?，则NAO8=5，即AD/BD,

兀

由AO=P。，AB=PB,BD=BD,得△ABD经△PB。，则/尸。3=—,即PCBD,

2

又A£）nPD=。，PRADu平面R4O,所以平面尸40.

（2）取E4中点E,连接BE,DE,如图，

由A8=P2,AD=PD,则BE_LPA,DEA.PA,即NBED为二面角。一尸4一8的平面角，

由（1）知，2。工平面PAD,OEu平面PAD,则BD_LDE,BD=6,

于是tan/BED=^=&,DE=—,而尸Z>=AZ>=1,

DE2

贝!]AE=J,PA=日PD2+AD2=PA2，于是PD_LAD,

2

又BDLAD,PDcBD=D,曰0,8。<=平面尸3。，因此A。_L平面P8£）,

又BCUAD,则3C」平面P8。，过。作。F_LPB于点/，。尸u平面P8O,于是3C_LOP,

而BCnPB=B,BC,PBu平面P8C,则D尸4平面PBC,

因此直线BD与平面PBC夹角即为ZPBD,

RtZ\PBZ）中，ZBDP=-,sinZPBD=-=-,

2PB2

且,NPBDe（O㈤,^ZPBD=-,

6