上海市松江某中学2024-2025学年高三年级上册开学考试数学试卷（含解析）

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.已知集合4==1x|0<x<31,则=

2.在复平面内，复数2对应的点的坐标是（1,2）,贝Iji・z=.

3.在（4—2了的展开式中，/的系数为.

4.双曲线——/=i的两条渐近线的夹角为

3--------

5.已知向量方=（—1,2）石=付,2）,且cos伍B〉=1,则彳=

6.函数/（x）在R上可导，若/（2）=3,则典/（2+3Ax2/（2-M.

'123、

7.已知随机变量X的分布为111,且y=aX+3,若E[F]=—2,则实数a=

J36）

8.正方体Z8CD-481GA的棱长为2,P为棱CG的中点，△APD】以为轴旋转一周，则得到的旋

转体的表面积是.

DiC,

9.已知集合N=<|x221,xeR>,设函数y=log]X+a,（xe幺）的值域为5,若50/,则实数a

I%-2J5

的取值范围为.

10.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放

回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为.

22

11.如图，己知「，鸟分别是椭圆。：二+与=1伍〉6〉0）的左、右焦点，河,N为椭圆上两点，满足

ab

F、M〃FK,且内N|:内M：EM=1:2:3,则椭圆C的离心率为.

12.已知Kb.c,2都是平面向量，且同=25—可=血—耳=1,若〈3,2〉=；,则归―1+曲—@的

最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.“。=2”是“直线y=—ox+2与直线y=（x—1垂直”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.已知加，〃是两条不同直线，a,6是两个不同平面，则下列命题错误的是（）

A.若切,〃平行于同一平面，则加与〃可能异面

B.若a,万不平行，则在a内不存在与A平行的直线

C.若加，〃不平行，则加与〃不可能垂直于同一平面

D.若a,6垂直于同一平面，则a与6可能相交

—■2—■

15.在△4BC中，弓是边48上一定点，满足片8=§48,且对于边48上任一点尸，恒有

PBPC>^B-^C,则△N8C为（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

16.已知函数/（x）=储，若函数g（x）="（x）T+〃（%）-e?-ae恰有5个不同的零点，则实数a的

取值范围是（）

A.（-00,-2e）B.（-00,-e）C.[―叫一斗D.[―叫一口

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BC。是矩形，上4,平面4BCD,PA=AD=2,AB=1,以BD

的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.

18.（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

黄山原名“夥山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山

雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.明代旅行家、地理学家徐霞客两游黄山，赞

叹说：“登黄山天下无山，观止矣！”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉，为更好地提升

旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分,

制成如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求x的值；

（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）；

（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在［50,60）,［60,70）的两组中共抽取6人，再从

这6人中随机抽取2人进行个别交流。求选取的2人评分分别在［50,60）和［60,70）内各1人的概率.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数y=/（x）的表达式/（X）=X+3+2（加为实数）.

（1）函数歹=/（x）在区间［2,+00）上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数小的取值范围；

（2）设机<0,若不等式/（x）〈乙在xe1,1上有解，求左的取值范围.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

如图，已知「，鸟是椭圆一丁+/=1的左右焦点，是其顶点，直线=狂+加/>0）与「相交

于48两点.

（1）求的面积尸；

（2）若/JLgN,点4〃重合，求8点的坐标;

(3)设直线OA,OB的斜率分别为尢，左2，记以OA,OB为直径的圆的面积分别为岳,S2,^OAB的面积为

S,若左1、k、左2恰好构成等比数列，求S(S]+S2)的最大值.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

己知函数f(x)=xe2~~ax2-ax(a>0).

⑴求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若/(x)的极大值为1—：,求。的值；

(3)当a>2时，若对任意的X]e[1,+co),存在马€(-8,0]使得/(芯)+/(%2)=0，求a的取值范

e

围.

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1•【答案】{152}

【解析】易知znB={i,2}.

2.【答案】—2+i

【解析】z=l+2i,i-z=i(l+2i)=—2+i.

3.【答案】—10

42

【解析】7]+1=C*(V^)x(-2y=-10x.

4.【答案】60°

【解析】两条渐近线分别为y=±[x,夹角为60°.

5.【答案】±1

【解析】a-b=同•W-cos〈瓦B〉-%2+4=45x=±1.

6.【答案】12

[解析]lim〃2+3Ax)-/(2-Ax)=1ml/(2+3Ax)-”2)+/⑵-/(2-Ax)

ArfoAxAx

=lim/(2+3Ax)-/(2)+Um/(2)-/(2-Ax)=3的/(2+3Ax)-/(2)+./(2+Ax)-/(2)

AxAX->OAx3AxAx

=3/'（2）+/'（2）=12

7.【答案】-3

【解析[E[X]=lx-+2x-+3x-=-,E[Y]=E[aX+3]=aE[X]+3=-2^a=-3.

2363

8.【答案】2丽兀

【解析】由题意知，△耳犯为等腰三角形，aBD[=26,PD[=PB=4^,所以△BPD1以33为轴旋

转一周，得到的旋转体是以AD1为中心轴,

和尸5分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体,

可得圆锥的底面半径为=所以S表=2兀〃=2&5兀.

9.【答案】（4,5]

(4-x)(x-2)>0

【解析】会"白一三。，即n2<x<4=>2=(2,4]

I'xw2

因为xw4=(2,4],所以log[xe[—2,—1)Jog[x+ae2+a,—1+a),所以8=[—2+ct,—1+a)

22

-2+a〉2

因为5uA,所以1,解得4<a<5,所以实数a的取值范围为（4,5]

—-l+tz<4

3

10.【答案】-

5

p11

【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为a=庶=而，

3次检测结束的概率为a=0：+,正=1，

133

则恰好检测四次停止的概率为p=l-p2-p3=l----=-

m【答案】半

【解析】设椭圆的半焦距为c（c>0）,

如图，延长儿阴，与椭圆交于点心连接用乙由F[M〃F?N,所以根据对称性可知，阳£|=|QN|,

设叵M=|44=/,/〉0,则闪M=2t：MM=3f,从而2a=内网+阳M=5f,故内4=4/,

\MF2

在片中，叵4=4/=|北国，所以cos/L〃5=R向

4

在△.心中，4c2=9r+4/2—2x3/x2/x；,即4c2=10』,

所以/=巫。，所以2a=JT5c,所以离心率6=巫

55

12.【答案】V26--

2

【解析】如图设丽=心而=5扇砺=3,玩=工砺=2,

点5在以Z为圆心，半径为’的圆上,

2

JT

点C在以M为圆心，半径为1的圆上，ZNOM=-,

4

_____k1______kk3

所以。在射线ON上，所以出―2|+m—2|=|砺|+|反闭万口—5+|加|—1=|万口+|加|一5,

作的4关于射线ON的对称点G,则|方不目方彳，且NGCU=m，

所以|54+|加/9己俞卜9=茅—g=M—（当且仅当。、G、加共线时取等号）,

|^—t/|+|c—1/|的最小值为A/26——.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

13.【答案】A

【解析】“直线y=—欧+2与直线歹=巴工一1垂直”等价于一ax@=—loa=±2,故选A.

44

14.【答案】B

【解析】在】内与1和万的交线平行的直线与万平行，故B错误.

15.【答案】B

【解析】取3C的中点的中点E,连接勺。,4£(如图所示)，则

M隹=(而+西.(而+反)=(而+西.(而-西=福-丽2,

-----►-----►------►2-----*2

同理尸8•尸C=P£>-DB,

----------►----------►------------►------------►-----------*2-----*2------*2-----*2

因为PB-PCN,所以尸£>-DB>P0D-DB,

即而2»92,所以对于边48上任意一点尸都有，48丽因此兄。，45,

--2—•

又PoB=^AB,D为BC中W,E为。C中点，

pDBD2

所以」」=—=-,所以不。〃/E,即/氏4E=90°,所以/R4c>90。，即△4BC为针角三角

ABBE3°

形.

16.【答案】A

【解析】函数/(x)=片的定义域为{X|XH0},

lxl

(X—])QX

若X〉0时，由/(%)二一求导得，/'(')=----2--

XX

故当0<x<l时，/'(x)<0,当时，/'(x)〉0,

所以/(x)=厘在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增，且/(x)极小值=/(l)=e,

X

当X—。+时，/(x)+00,当X—+8时，+8；

(]—x)QX

若x<0时，由/(%)=---求导得,/,(%)=-----j，

XJC

因x<0,故恒有/'(x)〉0,即/(x)=—J在(―oo,0)上单调递增，

X

且当X-—8时，f(x)0+,当X-0一时，/(x)f+8,即X<0时，恒有/(X)>0.

作出函数/(X)=『的大致图像如图所示.

又由g(x)="(x)]+/■(》)—e?—ae="(x)-e]"(x)+e+a]=0可得/(%)=6或

f(x)--Q-a,由图知/(x)=e有两个根，此时g(x)有2个零点；

要使函数g(x)="(%)『+«/'(x)-e2-ae恰有5个不同的零点，

需使/(x)=-e-a有3个零点，由图知，需使/(x)〉e,即-e-a>e,解得a<-2e.

综上所述，实数。的取值范围是(-8,-2e).

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.【答案】(1)证明见解析；(2)120°

【解析】(1)因为平面48CD,48u平面48CD,4Du平面4BCD,

所以,

又AB上AD,AD^PA=A,ADu平面PAD,PAu平面PAD,

所以48,平面P4D,又PDu平面P4D,所以4BLPD,

有题意可知BMLPD,又ABCBM=B,ABu平面ABM,BMu平面ABM,

所以平面4W.

(2)分别以AB,AD,AP所在直线为xj,z轴建立空间直角坐标系，

Z1

因P。，平面4gM平面4W,所以尸I1,

因为尸4=/。=2,所以M为尸。中点，

故？（0,0,2）,。（0,2,0）,河（0,1,1）,8（1,0,0）,。（1,2,0）,

平面ABM的一个法向量为/=丽=（0,2,—2）,

W=（-1,1,1）,5C=（0,2,0）,

设平面5cM的法向量为〃2=（x/,z）,

n2-BM二0-x+y+z=0

由＜得＜令x=-2得y=0,z=-2,

2y=0

n2-BC=0

4_1

贝|]〃2=(-2,0,-2),所以〈〃，〃〉

COS12272x272-5

因为二面角A-BM-C是钝二面角,所以二面角A-BM-C的大小为120。.

18•【答案】

8

c1)x=0.03；(2)83.33；(3)—

15

【解析】⑴由图知：10x(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=l,可得x=0.03.

(2)由10x(0.005+0.01+0.015)=0,3<0,4<10x(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6,所以40%分位

数在区间[80,90)内，令其为加，

则0.3+0.03x（m-80）=0.4,解得加=80+1a83.33.所以满意度评分的40%分位数为83.33.

（3）因为评分在［50,60）,［60,70）的频率分别为0.05,0.1,

0.05

则在［50,60）中抽取x6=2人,设为a,6；

0.05+0.1

0.1

在［60,70）中抽取x6=4人,设为C,D,E,F；

0.05+0.1

从这6人中随机抽取2人，则有:{a,b},{a,C},{a,D},{a,E},{a,F},{b,C},{b,D},{b,E},{b,F},

{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共有15个基本事件,

设选取的2人评分分别在［50,60）和［60,70）内各1人为事件4,

O

则有｛2。｝,｛凡。｝,｛名司,｛生尸｝,｛“。｝,｛4。｝,｛"号,｛仇/｝,共有8个基本事件，所以尸(2)=话.

22

19.【答案】(1)(-oo,4]；(2)当加(一§时，Ew[4加+5,+8)；当一§＜优＜0时,

k£[加+3,+8).

【解析】(1)由题意，任取天、x2€[2,+oo),且匹＜X2，

贝!J/(12)―/(匹)=+%+2—匹+丝+2=(%2一2),—~~—＞0,

因为％2一七〉°，%丁2＞0，所以看12一加〉0，即加＜西12，

由％2＞项22,得％I＞2＞4,所以冽44,所以，加的取值范围是(一8,4].

m]m2

(2)由/得xH----卜24kx,因为xs—,1，所以左之一—----F1,

x12」xx

令[=L则％所以后之加『+2/+1,令g(%)=加之+2i+l/£[1,2],

于是，要使原不等式在XW1,1有解，当且仅当左Ng。%/，

因为机＜0,所以8(。=掰,+工]+l—_1-图象开口向下，对称轴为直线，=一'-＞0,

\mJmm

1+23

因为,41,2],设：[。为区间[1,2]的中点值，%=亏=5，

132

故当0＜，＜九，即0＜---＜—,即加W—时，g(0min=g(2)=4m+5；

m23

132

当务＜£,即＞7,即一;＜加＜。时,g«)min=g(D=加+3.

m23

22

综上，当加W——时,ke[4机+5,+co)；当—＜加＜0时,ke[ZM+3,+co).

33

224

20.【答案】(1)Id—V3；(2)B（3）S（S+S2）的最大值不存在

2E'U

【解析】（1）容易求得片bG,0），8（G,0）,M（—2,0）,N（0,l）

所以，P=-\MF,\xb=l+-y/3.

21212

（2）易求左4N=—[，所以左=G，

代入直线方程得/:j=V3(x+2),设4(—2,0),8(x2,%),

戚/）0得⑶》…=0,

由＜

44224

由韦达定理得：—2X=—，解得/=----,y=

21321321313

f224

所以，8—记，百

(3)设2(%21),8(%2，%),

::加40得(1+4左2)/+8左蛆+4(加2—1)=

由＜0,

2

8km4(m-l

由韦达定理有：X]+%=-

彳记'X也=不而

且A=16(1+4左之一加2)>.

一九%(丘1+M(丘2+〃，

IV—fVi/v2_—，即左根（再+%）+加2=0.

XXX2X1X2

11

由韦达定理得左29二—,即左二—,

42

由A=16(1+4左2—加之)>o得加£卜后,后)，

工+邑=a(x；+v；+考+4

S=\m\,2-加2=J加之(2_疗)<1,

当且仅当m2=2-m2,即同=1时等号成立.

此时，直线方程为y=；x+l,该直线过〃,N,即3上2中有一个不存在，

所以，5(5]+邑)的最大值不存在.

21.【答案】(1)y=(1—a)x；(2)a=2；(3)\-,e--

lee」

rr

【解析】(1)/(x)=QX^x+\)-ax-a,则左=/(0)=l-a,

因为/(o)=o,所以切点(oj(o))即(0,0),

所以切线为y=(l-a)x.

(2)(x)=ev(x+1)-tzx-«=(x+D(e"-a),

因为a>0,令/'(x)=0,解得x=-1或x=Ina,

①当lna<—1时，即0<a<,时，/(同在卜哈也切上单调递增，在(Ina,—1)上单调递减，在(-l,+oo)

e

上单调递增，

所以/(x)的极大值为/(Ina)=