数学单元测试：第三讲圆锥曲线性质的探讨

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章测评第三讲测评（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆在平面上的平行射影可能是(）A．圆B．椭圆C．线段D．以上都有可能2．已知椭圆eq\f（x2,25)＋eq\f（y2,16)＝1上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为(）A．2B．3C．5D．73．一平面与圆柱母线的夹角为75°,则该平面与圆柱面交线是（)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆)的离心率为eq\f（\r（3),2)，则平面β与圆柱母线的夹角是（）A．30°B．60°C．45°D．90°5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为(）A．（0，eq\r(2))B．(1，eq\r(2））C．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2），2）,1）)D．(eq\r(2），＋∞)6．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是()A．射影为线段时，线段的长为8B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C．射影为椭圆时,椭圆的长轴可能为8D．射影为圆时，圆的直径可能为47．若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率为()A．eq\r（3）B．2C．3D．2eq\r（3)8．方程x2－3x＋2＝0的两根可作为（)A．两个椭圆的离心率B．一双曲线、一条抛物线的离心率C．两双曲线的离心率D．一个椭圆、一条抛物线的离心率9．平面与圆锥轴线夹角为45°，圆锥母线与轴线夹角为60°，平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为(）A．eq\r（2）B．2eq\r（2)C．4eq\r(2）D．eq\f(\r(2），2)解析：∵e＝eq\f(cosβ,cosα）＝eq\f(c，a),∴eq\f(cos45°，cos60°）＝eq\f（c,1）。∴c＝eq\r(2)，2c＝2eq\r(2）.10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴的最小值为()A．eq\r(2)B．2C．eq\r（5)D．2eq\r（2）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．一圆面积为5，该圆与平行射影方向垂直，其射影面积为10，则平行射影方向与射影面的夹角是__________．12．将两个半径为2cm的球嵌入底面半径为2cm的圆柱中,使两球球心的距离为6cm；用一个平面分别与两个球相切，所成的截线为一个椭圆,则该椭圆的长轴长为________,短轴长为______，焦距为______，离心率为______．13．双曲线eq\f(x2，64)－eq\f(y2,36）＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2＝eq\r（6）d1，则椭圆C的离心率为__________．15．一圆面积为5,该圆与平行射影方向垂直，其射影面积为10,则平行射影方向与射影面的夹角是__________．三、解答题(本大题共4小题,共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分)如图,圆柱被平面α所截．已知AC是圆柱口在平面α上最长的投影线段，BD是最短的投影线段,EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交于点G，H.（1）比较EF，GH的大小；（2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD.17．（6分）已知一圆锥的母线与轴的夹角为30°，一平面截圆锥得一双曲线，截面的两焦球的半径分别为1和3，求截线双曲线的实轴长和离心率．18．（6分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为顶点，F2为焦点的抛物线交椭圆于P，Q两点，且eq\f（PF1，PF2）＝e，其中e是椭圆的离心率，求椭圆的离心率e。19．(7分)如图，已知圆锥的母线与轴线的夹角为α，圆锥嵌入半径为R的Dandelin球，平面π与圆锥面的交线为抛物线，求抛物线的焦点到准线的距离．

参考答案一、1．D2．解析：∵点P在椭圆eq\f(x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1上，设左、右焦点分别为F1,F2，则PF1＋PF2＝2a＝10，故点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.答案：D3．解析：该交线是圆柱的斜截口，故是椭圆．答案:B4．解析：设平面β与母线夹角为φ，则cosφ＝eq\f（\r（3)，2)，∴φ＝30°.答案:A5．解析：不妨设双曲线的方程为eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1，由题意可知Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(a2,c），\f(ab，c）））,Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（a2,c)，－\f(ab,c))），则以AB为直径的圆的方程为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（a2,c)））2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(ab，c)))2。又因F1（－c,0）在圆内,则eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－c＋\f(a2,c)））2＋02＜eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(ab,c)））2，整理得b2＜a2，故e2＝eq\f（c2,a2）＝eq\f(a2＋b2，a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＜2。又因e＞1，故e∈(1，eq\r(2））．答案：B6．解析：射影为圆时，应为正射影,所得的圆与已知圆完全一样，故其直径为8。答案：D7．解析:设方程为eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1，由题意知3×eq\f（2a2,c)＝2a.∴e＝eq\f(c，a）＝3。答案：C8．解析：方程的两根分别为x1＝1,x2＝2，椭圆0＜e＜1，双曲线e＞1，抛物线e＝1.答案：B9．B10．解析：作出如图所示的图形，在椭圆上取一点P（x，y),设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则＝eq\f(1,2）·2c·｜y|＝c｜y|.当P点为短轴顶点时，｜y｜最大为b.所以Smax＝bc.又bc＝1，所以a2＝b2＋c2≥2bc＝2，即2a≥2eq\r（2)。答案:D二、11．解析：如图，BC为射影方向,显然AB所在平面为圆所在平面，AC所在平面为射影面，设α为射影方向与射影面的夹角，利用sinα＝eq\r(\f(5,10））＝eq\f(\r（2),2），解得α＝45°，即夹角是45°.答案:45°12．答案:642eq\r（5)eq\f(\r（5)，3)13．解析:由双曲线eq\f（x2,64）－eq\f（y2，36）＝1,得a＝8,b＝6，c＝eq\r（a2＋b2)＝eq\r（64＋36)＝10,∴准线方程为x＝±eq\f（a2,c)＝±eq\f(64,10)＝±eq\f(32，5）。设点P到右准线的距离为d，则由双曲线的第二定义知eq\f（4,d）＝e＝eq\f(c，a)＝eq\f(10，8)，∴d＝eq\f(32，10)＝eq\f(16，5）.∴点P到左准线的距离为d＋eq\f（2a2，c）＝eq\f（16,5)＋eq\f(64，5）＝16.答案:1614．解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为eq\f（x，c）＋eq\f（y，b）＝1,即bx＋cy－bc＝0.于是可知d1＝eq\f(bc,\r（b2＋c2）)＝eq\f（bc,a），d2＝eq\f(a2，c)－c＝eq\f(a2－c2,c)＝eq\f（b2,c).∵d2＝eq\r(6）d1,∴eq\f（b2,c)＝eq\f（\r(6)bc，a)，即ab＝eq\r(6)c2.∴a2（a2－c2)＝6c4。∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝eq\f(1，3)。∴e＝eq\f(\r（3），3）。答案：eq\f（\r(3），3)15．解析：如图，BC为射影方向，显然AB所在的平面为圆所在的平面，AC所在的平面为射影面，设α为射影方向与射影面的夹角，利用sinα＝eq\f(5,10）＝eq\f(1,2)，解得α＝30°，即夹角是30°。答案：30°三、16．解：（1)∵EG和FH都是投影线，∴EG∥FH.又EG＝FH，∴四边形EFHG是平行四边形,∴EF＝GH.（2)如图,过点D作DP⊥AC于点P.则在Rt△CDP中,有sin∠DCP＝eq\f(DP,CD）,又∠DCP＝θ，DP＝2r，∴CD＝eq\f（2r,sinθ)。17．解：sin30°＝eq\f(r1＋r2，O1O2），∴O1O2＝eq\f（r1＋r2,sin30°)＝eq\f（1＋3，\f(1，2))＝8，设截面与轴线的夹角为φ，sinφ＝eq\f(r2－r1,O1O2）＝eq\f(3－1,8）＝eq\f(1，4)，∴cosφ＝eq\f（\r（15），4)，焦距F1F2＝O1O2cosφ＝2eq\r（15).又离心率e＝eq\f(cosφ，cos30°)＝eq\f（\r(5)，2)，∴实轴长为eq\f(2\r（15),\f(\r（5），2))＝4eq\r(3）.18．分析:本题综合考查了圆锥曲线的定义、几何性质(焦点、顶点、中心、准线、离心率），只要画出平面示意图是比较容易求解的．解：如图，设l是椭圆的准线，焦距为2c，长轴长为2a。由离心率定义，则eq\f(PF1，PM)＝e。由已知条件，知eq\f(PF1，PF2）＝e，∴eq\f(PF1,PM)＝eq\f（PF1,PF2）。∴PM＝PF2.而点P在抛物线上，F2为抛物线的焦点，根据抛物线的定义，∴l又是抛物线的准线．∴F1H＝F1F2＝2c。∴OH＝3c.又椭圆两准线间的距离为eq\f(2a2，c)，∴OH＝eq\f（a2,c）.∴eq\f(a2,c）＝3c,∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)，3)。19．分析：转化到相应的平面中求解，注意切线长定