2024年高考数学复习：空间向量基本定理（5题型分类）

1.2空间向量基本定理5题型分类

彩题如工总

题型1:空间向量基底的判断

题型5：利用空间向量基本定理求距离、夹角

题型2：利用基底表示空间向量

空间向量基本定理5题型分类

题型4：利用空间向量基本定理证明位置关系

题型3：利用空间向量基本定理求参数

彩先渡宝库

一、空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一^个空间向量p9存在唯一^有序实数组(%,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我们把｛〃，b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

二、空间向量的正交分解

1.单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用亿

j,A｝表示.

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一^个空间向量p,存在唯一^有序实数组(%,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

2.向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,z4使得a=xi+W+zA;.像这样把

一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

三、空间向量基本定理的应用

1.求异面直线的夹角：cos<a,b>=

|a|网

2.证明共线(平行)、共面、垂直问题：

(1)对于空间任意两个向量a、b(bH0),a||b的充要条件是存在实数九使。=肪.

(2)如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量Q,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),

使p=xa+yb.

(3)若a、b是非零向量，则albOa・b=0.

3.求距离(长度)问题：|a|=(而|=J乐•福.

彩他题海籍

（­）

空间向量基底的判断

（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表

示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同；

（2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念；

（3）由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就

说明它们都不是零向量.

（4）基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已

知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便.

题型1：空间向量基底的判断

1-1.（2024高三•全国•对口高考）已知｛4,九。｝为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）

A.a,a-2b,a+bB.a+b,a-b,c

C.2a+2b,a+b,2cD.a+c,b+c,a+b+2c

【答案】B

【分析】利用基底的性质进行求解.

【详解】因为。-26=3。-2（。+6）,所以a,a-2b,a+b是共面向量，不能构成基底，A不正确；

因为〃+不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；

因为2a+2。与〃+人平行，所以2〃+2万,〃+乩2。不能构成基底，C不正确；

因为Q+e+b+0=4+b+22，所以a+c,b+c,a+Z?+2c共面，不能构成基底，D不正确.

故选：B.

1-2.（2024高二下•江西南昌・期中）｛4,6,c｝为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）

A.a,a+b?a—bB.b,a+b>a—b

C.c,a+b,d—bD.a+2ba+ba—b

【答案】c

【分析】确定a=；[(a+6)+(a-6)],6=+,a+26+排除ABD,得至！]

答案.

【详解】对选项A：a=g[,+6)+(cT)],向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：b=^(a+b)-(a-b)\,向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设。=/1,+6)+〃(。-6),即c=(X+〃”+(4-〃)〃，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成

基底，正确；

对选项D：0+2〃=；(a+B)-g(a-B),向量共面，故不能构成基底，错误；

故选:C

1-3.(2024高一下•湖南•期末)给出下列命题：

①若｛°,瓦c｝可以作为空间的一组基，1与：共线，1*0，则｛。,6,d｝也可作为空间的一组基；

②已知向量Z//人则与任何向量都不能构成空间的一组基；

③A,3,M,N是空间四点，若2A,BM,8N不能构成空间的一组基，那么共面；

④已知｛a,b,c｝是空间的一组基，若根=a+c，贝U｛a,6,根｝也是空间的一组基.

其中真命题的个数是().

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

【分析】由空间向量基底的定义，结合空间向量基本定理以及共线定理，利用反证法可得答案.

【详解】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.

③中由共面且过相同点B,故A,氏M,N共面.

下面证明①④正确.

①假设d与。,6共面，则存在实数九〃，使d=Xa+〃b,

团1与"共线，cwO,回存在实数%,使2=公，

回//。，团左r0,从而。+国。与a,6共面，与条件矛盾.

kk

Eld与4,6不共面.

同理可证④也是正确的.

故选：D.

1-4.(2024高一下•湖南•期末)已知｛。,6,可是空间的一个基底，若°=。+＞，q^a+c,则下列与p,q构

成一组空间基底的是()

A.r=2b—3cB.r=a—b+2c

C.r=a+2b—cD.r=2a+b+c

【答案】A

【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A.设户,所以26-3e=x(a+6)+y(d+c),

整理得，2b-3c=(^x+y^a+xb+yc,

x+y=0

因为｛a,b,c｝是空间的一个基底，所以，x=2,无解.

所以。，G与「构成一个基底.

B.因为r="一b+2c,所以r=2q-p,所以排除B；

C.因为厂=a+26—d,所以r=2p—q,所以排除C；

D.设r-xp+yq,所以2&+6+e=x(&+6)+y(a+c),

整理得，2a+b+c=(^x+y^a+xb+yc,

x+y=2

X=1

因为｛a,b，c｝是空间的一个基底，所以，x=l,所以

y=l

y=i

所以P,4与户不构成一个基底，排除D.

故选:A

彩他题海籍

利用基底表示空间向量

1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘

的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解.

2、用基底表示向量的步骤：

⑴定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、

向量的运算进行变形化简.

(3)下结论：利用空间的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a,b,

c,不能含有其他形式的向量.

题型2:利用基底表示空间向量

2-1.(2024高二下•江苏徐州•期中)如图，在平行六面体ABC。-A瓦GR中，尸是CA的中点，点Q在CA上,

且CQ:Q4=4:1,设AB=a,AD=b>AA,=c.则()

D.QP=-a+—b+—c

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为尸是CA的中点，

所以4尸=；(朋+40)=3(朋+河+^£))=3(0+6+0),

又因为点。在C&上，且CQ:QA=4:1,

1114

所以AQ=A4,+AQ=相+《AC=A4,+《(AC-=《AC+1胡

14114

=-(AB+AD)+-AAl=-a+-b+-c,

一一-1114333

所以QP=AP-AQ=—(tz+Z?+c)——a——b——c=一a-\---b---c,

2555101010

故选：c.

2-2.(2024高二下•江苏盐城•期中)在四面体O-ABC中，PA=2OP，。是BC的中点，且/为P。的中点,

右OA=a，OB=b,OC=c,则OM=()

111111

A.—a+—b7+—cB.-ClH---b7H---C

644622

111111

C.—a+—b7+—cD.—a+—bz+—c

322344

【答案】A

【分析】利用基底。也＜+表示OP,OQ,再利用向量线性运算求解即可.

【详解】因为2OP=PA，所以OP=goA,

因为。是2C的中点，所以O0=g(O3+OC),

因为M为PQ的中点，所以OM=L(OP+OQ)=L0尸+!00=-OA+-{OB+OC)=-a+l-b+-c,

22264644

故选：A.

2-3.(2024高二上•浙江丽水・期末)在平行六面体A8Cr>-A4Gr)|中，AC,8。相交于0,M为。C］的中

点，设AB=a，AD=b，AAi=c,则CM=()

1-1・11

A.—a+—b——cB.-Q——b+—c

442442

111_317

C.——a—b7+—cD.a+—b

442-44~2

【答案】C

【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.

2-4.（2024高二上•福建泉州・期末）已知四面体。一ABC,G/是aABC的重心，G是OG/上一点，且OG=

3GGi,^OG=xOA+yOB+zOC,贝！|（x,〉,z）为（）

[1111（333、

A•匕qqjB-匕7力

<111A/222、

uD.匕与母

【答案】A

【分析】连接AG/并延长，交BC于点E,利用向量加减、数乘几何意义用OA,OB,。。表示出OG,即可得

答案.

【详解】如图所示，连接AG/并延长，交8C于点E,则点E为8c的中点，

1121

AE=-{AB+AC)=-(OB-2OA+OC),则AGi=-AE=-(OB-2OA+OC),

由题设，OG=3GG]=3(OG]-OG),

3331211

OG=-OGX=-{OA+AGi)=-{OA+-OB--OA+-OC)=-{OA+OB+OC)

所以x=y=z=L.

故选：A

彩健题秘籍(二)

空间向量基本定理在几何中的应用

用空间向量基本定理解决几何问题时需注意

(1)若证明线线平行，只需证明两向量共线.

(2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为0.

(3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角.

(4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模.

题型3:利用空间向量基本定理求参数

3-1.(2024高二下•云南•阶段练习)如图，在正方体ABCD-4瓦G2中，瓦/分别为4民。2的中点，若

EF=xDA+yDC+zDDx,则x+y+z=.

【答案】-1

【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.

【详解】因为砂=£4+4。+£)尸=一加-；£^+：。2,

1111

所以无=_l,y=_],z=/,所以x+y+z=_l_5+5=_l.

故答案为:-1.

3-2.(2024高二下•江苏常州•期中)已知矩形A3CD,尸为平面ABCL(外一点，上4,平面ABC。，点N

12

满足尸M=]PC,PN=-PD.MN=xAB+yAD+zAP,则x+y+z=()

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理表示出MN，即可求解.

【详解】矩形A3CD中，AC=AS+A。,所以尸C=PA+AC=PA+A8+AO=—AP+AB+AO.

因为PO=AD_AP,PN=：PD,所以PN=：(A£>-AP).

所以M7V=PN—PM=g(AD—AP)_JbAP+A8+Ar))=_jA3_gAP+gAO.

所以尤=一:，y=_：,z=：,所以x+y+z=(_；]+(-;]+：=一；.

266<<oyo2

故选：A

3-3.（2024高三上•安徽宣城•期末）四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是平行四边形，点E为棱PC的中点,

^AE=xAB+yAD+zAP,则x+y+z等于()

22

【答案】A

【分析】运用向量的线性运用表示向量AE=gA8+：Ar»+；AP,对照系数，求得x，y，z,代入可得选项.

【详解】因为AE=AB+BC+CEuAB+AD+EP=A2+AD+（AP-AE）,

所以2AE=AB+Ar>+AP，所以AE=：++：A尸，所以x=：,y=：,z=：,

乙乙乙乙乙乙

1113

所以％+丁+2=大+二+7=7，

2222

故选：A.

3-4.（2024•陕西•一模）空间四边形A8CD中，AC与5。是四边形的两条对角线，M,N分别为线段A3,

-23

CO上的两点，且满足DN=-DC,若点G在线段MN上，且满足MG=3GN，若向量AG满

AG=xAB+yAC+zAD9则x+y+z=

【答案】鸟

12

1Q3

【分析】利用空间向量的运算法则，直接求出AG=：AB+3AC+3AZ),再利用空间向量基本定理，即可

61616

求出结果.

QQ02OQA1、

【详解】因为AG=A〃+MG=§AB+：MN=1AB+：(MB+BN)=§AB+：［3A5+BN)

Qio11o11211o/1、

=-AB+-AB+-BN=—AB+-BN=—AB+-(BC+CN}=—AB+-\AC-AB+-CD

344124124t,124(4)

ioo1QQ10a

=-AB+-AC+—CD=-AB+-AC+—(AD-AC\=-AB+—AC+—AD,

64166416、>61616

匚匚〜19311

6161612

故答案：—.

题型4:利用空间向量基本定理证明位置关系

4-1.（2024高二・江苏,课后作业）已知空间四边形0ABe中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=O8=OC,M,

N分别是。4,8C的中点，G是MN的中点，求证：OG0BC.

【答案】证明见解析

【分析】取定基底向量OAOB,OC,并分别记为a,b,c,再用基底表示出0G和8C,然后借助数量积即可计

算作答.

【详解】在空间四边形04BC中，令OA=a,OB=b,OC=c,则

4ZAOB=Z.BOC=ZAOC=6,G是A/N的中点，如图，

则0G=；(0M+0N)=；[j0A+；(08+0C)]=；3+6+c),BC=OC-OB=c-b，

11--2-2♦.

于是得。G,BC=—(a+6+c>(c-6)=—(a-c-a-b+6-c—6+c—be)

44

=—(|a|2cosd-1a『cos。-1a『+1a『)=0,

4

因此，OG工BC，

所以0G3BC

4-2.(2024高二•江苏•课后作业)如图，在平行六面体ABCD-A向。。/中，A8=4D=AA7=LSAIAB=^AIAD

=SBAD=60°,求证：直线A/C3平面

【答案】证明见解析

【分析】设AB=a，AD=b，M=c,并以它们为基底表示出、BD、BBX,在面上任意一点

P有BP=2BD+HBB],结合已知并应用向量数量积的运算律求ACBP,即可证结论.

【详解】设AB=a，AD=b>A4,-c,贝!]{a,b,c}为空间的一个基底且a+b-c,BD=b-a>BB}=c.

因为AB=AO=A4/=：L,EIAiAB=0AiAD=60°,

所以Wc—l，a-b=bc=c-a=^.

在平面BDD/S上，取BD、8耳为基向量，则对于面■BDQB/上任意一点尸，存在唯一的有序实数对优〃)，

彳更得BP=%BD+〃BB「

所以，-BP=-BD+JuAlCBBl=A(a+b-c)-(b-a)+/j(a+b-c)-c=0.

所以AC是平面BDDiBi的法向量.

所以4CH平面2。。/即

4-3.(湖南省长沙市四校联考2023-2024学年高二上学期9月阶段考试数学试题)如图所示，三棱柱

A3C-A瓦G中，CA=a>CB=b，CCX=c,CA=CB=CCt=l,^a,b^=(a,c)=^-,=N是AB中

点.

(1)用a,b,e表示向量AN；

(2)在线段G耳上是否存在点M，使AM,AN?若存在，求出河的位置，若不存在，说明理由.

[答案]⑴-弓4+^人一

2

(2)当C1M=§GB[时，AM

【分析】(1)根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；

(2)设(4e【°1]),用。，b,?表示向量AM,依题意可得AM-AN=0,根据空间向量数

量积的运算律求出4,即可得解.

【详解】(1)解：因为N是A3中点，所以

2

所以4N=AA+A2V=GC+gAB

=-CC.+-(CB-CA)=--a+-b-c-

1222

(2)解：假设存在点“，使AMLAN,设(2G[0,1]),

显然2clg=例,AM=AAI+AtC1+CIM=c-a+^,

因为AM_LAN,所以AMTN=O,

即(e-a+26).(-ga+g6-c)=0,

:.--c-a+—c-b—c2+—a2-—a-b+c-a-—Aa-b+—Ab2—Ab-c=Q

222222

CA=CB=CC]=1,(a,))=(a,c)=与，=

:.—c-a—c2+—a2-(—+—A)a-i>+—AZ?2=0

22222

11,1,1111

gp-xlxlx(一一)-l2+-xl2-(-+-A)xlxlx(一一)+—2」2=0,

2222222

2?

解得4=§，所以当GM=]C且时，AM.

4-4.(2024高二上•全国・专题练习)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相

对的棱两两垂直.

已知：如图，四面体ABCD,E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点，且

旧求证AB1CD,AC1BD,AD1BC.

【答案】证明见解析

【分析】设AB=a,AC=6,AO=e,由空间向量的运算证明AC_LO3,ADLBC,AB±CD.

【详解】证明：设AB=a,AC="AD=C

贝！|EG=AG-AE=UAC+Ar>)-L4B=」a+L+L」(-a+6+C)

2、>22222、1

FH=AH-AF=-AD--^AB+AC^=-c--(a+b^=-[-a-b+c^

KM=AM-AK=-AC--(AB+AD)=-b--+c^=^—d+b—c

22、)22

|EG|=|FH^,/.；(_〃+/?+(?)=^-a-b+c^,

(一白+石+c[=(­(1-b-\-c\f

a~+b"+c~—2a,b—2a•c+2/?,c=a~++c2+2a,b—2a,c—26,c，

:Aa-b=4b-c,:.ab-b-c=0,.'.b(a-d^=O

Xb=AC,a-c=DB,:.ACDB=O

AC±DB,ACLDB,同理可证AD_L3C,AB_LCD,

这个四面体相对的棱两两垂直.

题型5:利用空间向量基本定理求距离、夹角

5-L（2024高二上•天津静海•阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,

点E,F,G分别是AB,AD,C。的中点.设=AC=b，AD=c.

⑴求证EGEL4S；

（2）求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【答案】（1）证明过程见解析;

（2）1

【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出从而得到线面垂直，进而证明线线垂直;

（2）用a,6,c表达AG与EC，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接。E,

因为空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是AB,C。的中点，

所以AC=BC,3D=AD,

^CELAB,DELAB,

又因为CEDE=E,CE,DEu平面COE,

所以AB_L平面C£>E,

因为EGu平面C£>E,

所以ABJ_EG.

(2)由题意得：！ABC!A。,！ABO均为等边三角形且边长为1,

所以AG=EC=^

2

AG=：R+C),EC=1(BC+AC)=|(AC-AB+AC)=/?-1«,

所以AGEC=-{b+c^\b--a\=-b-—ab+—C'b--a-c

2I2J2424

二g一!卜HWcos60。+；HUcos60°—:忖.卜|cos60°

~2~8+4~~8~2,

设异面直线AG和CE所成角为6,

IzMIAG®:7

则

cos0=cos(AG,EC--

|AG|-|EC|A^X2^3

22

5-2.(2024高二上•上海•期中)如图，三棱柱ABC-A51cl中，M,N分别是4反与G上的点，且

BM=2AM，GN=2BIN.设A3=〃,AC=b^A\=C,

B

⑴试用〃，b，c表示向量MN;

(2)若ZBAC=90°,NBA4t=ZCAA[=60°,AB=AC=AAi=lJ求MN的长.

【答案】(L=ga+»+$

⑵在

3

【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.

(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

【详解】(1)解：MN=MAi+AlCl+C1N

=-BA+AC+-CB

33

=-^AB+^AA,+AC+|(AB-AC)

=-AB+-AA.+-AC,

3313

…11,1

^\MN=-a+-b+-c；

333

(2)解：AB=AC二的=1,.[41日"=匕|=1,

NB4C=90。,“m=0,.N&L4j=ZCAAl=60°,

:\MN^=^(a+b+c

:\MN\=?

即MN的长为好.

3

5-3.(2024高二上•浙江杭州・期末)如图，平行六面体42cz)-44C1R中,

CB±BD,ZCtCD=45°,ZCQB=60°,CCt=CB=BD=l,

⑴求对角线CA的长度；

⑵求异面直线CA与D4所成角的余弦值.

【答案］⑴3；

【分析】（1）以向量CB,CD,CG为基底，贝I有C4j=CB+CD+CG，两边平方即可得|C4,『=9,即可得|C4J

的值，即可得答案；

UUULUUU1UUUUL1U、UUUUUUU

⑵由向量的四则运算及数量积可得CAiDA^C\CB=万,从而可得cos<M，>的值，即可得答案.

【详解】（1）因为C3=3D=1,CB±BD,

所以三角形BCD为等腰直角三角形，所以。=近，

又因为cq=C8=l,NC£B=60。，

所以三角形CG8为边长为1的等边三角形，

UUUULUUUUU

以向量CB,a）,cC］为基底，

UULLULIUUUUUUULUUUULUUUUU

则有。1^CB+BA+AAi=CB+CD+CQ,

uir,uuntuiuxm

两边平方得期一=（C8+C£>+CG>

UUU2tui211UH2tunturuunUULUuunuu

=CB+CD+cq+2CB-CD+2CB-CCX+2CQ-CD

=1+1+2+2x1x72x—+2xlxlx-+2xlXA/2x—

222

=9,

UUU

所以|C4J=3,

即|CAI=3,

所以对角线CA的长度为3；

MULLUUU1ULUUUUUUUUuuuUUU

(2)因为。1=。8+8+区1,1cAi|=3,DA=CB，IDA|=|CB\=l,

UUUUUULUUUUUU

所以cvn^cvcs

UUUULUUUUUUUU

=(CB+CD+CC[)CB

uun2uirummmtun

=CB+CDCB+CC[CB

=1+^2xlx^?-+lxlx—

22

_5

=2；

mu.uuui

用知CA.DA5

所以cos<CA,,D4>=-uutf-1~UUB-=-,

\CA,\-\DA\6

即异面直线CA,与ZM所成角的余弦值为g.

6

5-4.(2024高二上•福建三明•期末)如图，在四面体ABC。中，Zfi4C=60°,ZBAD=ZCAD=45°,AD=亚,

AB=AC=3.

⑴求8C8O的值；

⑵已知尸是线段C。中点，点E满足£B=2AE，求线段EF的长.

【答案】⑴:9;

（2呼

2

【分析】（1）取A氏AC,AO为空间的一个基底，表示出再利用空间向量数量积求解作答.

（2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答.

【详解】（1）在四面体ABCD中,设A月二1AC=b，AD=c＞则忖="=3,卜卜血，

(a,b)=ABAC=60°，〈。,c>=/BAD=45°，S，c)=ZCAD=45°，

__....................-.-2

BC,BD—(AC—AJ5),(AZ)——(b—ci),(c—ci)=b•c—b.a—a*c+a

=|Z?||c|cos450-|/?||a|cos600-|fl||c|cos45°+|<2|2=3V2x--32xl-3^x—+32=-.

2222

(2)由(1)知，因为£B=2AE，贝[]AE=；A2=ga,因为尸是CD中点，贝l]

-2-2-2------

用山1厂厂12z1171、2abca-ba-cb-c

322944332

3232(V2)232cos60°372cos4503A/2COS45011口口后5m而

=---1----1----------------------------------1-------------=—，即侣Er\=------，

94433242

所以线段跖的长为姮.

2

5-5.(2024高二下•江苏•课后作业)如图，在平行六面体-A4G2中，以顶点A为端点的三条棱长

都为1,且两两夹角为60。，求BQ与AC的夹角的余弦值.

【答案】骼

【分析】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出-a+%+c,AC=“+b.进而根据

数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出8。以及AC夹角的余弦值，即

可得出答案.

【详解】设AB=a,AD=b,AAi=c,

由已矢口可得。2==b-c=lxlxcos60°=—,

因为BQ=BA+BC+BB]=-AB+AD+AA,=—a+Z?+c,

AC=AB+AD=a+b9

--2/..\2y111一

22=++_

所以,BD[=(—a+b+c)=a+b+c-2^-Z2+2/?-c-26z-clll2x—+2x--2x—=2,

2/\2°°j

AC=(〃+〃)=Q+2a-b=1+1+2X-=3,

3£)IAC=(_〃+B+c)•(〃+/?)=-a-a-b+ab+b+a-c+b-C=+—+1+—+—=1»

所以忸闻=0,|AC卜出，

BD「AC1瓜

COS,AC

所以,\BD^AC\~y/2xs/3~6

故直线BDX与AC的夹角的余弦值为四.

6

嫁习与梭升

一、单选题

1.（2024高二下•安徽•开学考试）已知四面体O-ABC,G是VABC的重心，尸是线段。G上的点，且OP=2PG,

OP=xOA+yOB+zOC,贝lj(x,y,z)为()

（\in（222、riin（\in

A，[％%'"B-〔炉c-|j，n]D-〔展3J

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意知，

团OP=2PG，

22（111A222

^OP=-OG=-\-OA+-OB+-OC\=-OA+-OB+-OC,

33（333J999

故选:B.

2.（2024高二上•辽宁•期末）已知｛4,"c｝是空间的一个基底，则可以与向量％=a+2b，力=。-，构成空间

另一个基底的向量是（）

A.2a+2b—cB.a+4b+cC.b-cD.a—1b—2c

【答案】C

【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.

【详解】因为2。+2/?-。=(。+2匕)+(〃一。)，

〃+4。+c=2(Q+2b)-{a-c),

a-2b-2c=2(。-c)-(a+2b),

所以向量2Q+2/?—c，a+4b+c，。-2/7—2。均与向量相，〃共面.

故选：C

3.(2024高二上•山东荷泽•阶段练习)对于空间任意一点。和不共线的二点A氏C,有如下关系：

OP=-OA+-OB+-OC,贝I」()

632

A.0,46C四点必共面B.P,A,B,C四点必共面

C.O,P,B,C四点必共面D.O,P,A&C五点必共面

【答案】B

【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点。和不共线三点AB,C,若点P满足

OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zeR)S.x+y+z=l,则P,A,8,C四点共面.

【详解】对于空间任一点O和不共线三点A,3,C,若点P'}^/^OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zeR)y+z=1,

则P,A,民C四点共面.

111ill

^OP=-OA+-OB+-OC,其中二+；+彳=1,所以尸,A,属C四点共面.

632632

故选：B.

4.(2024高二上•全国裸后作业)已知BABC,8瓦为三条不共面的线段，若=乂钻+2y3C+3zC]C,那

么x+y+z=()

7511

A.1B.一C.一D.—

666

【答案】B

【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.

【详解】根据向量加法法则可得：ACi=AB+BC+Cq,

即AC^AB+BC-QC,

因为=xAB+2yBC+3z£C,

所以x=l,2y=1,3z=—1,

所以尤=1,>=:，z=-=，所以x+y+z=l+!—

23236

故选：B.

5.(2024高二上•广东揭阳•阶段练习)如图，M是四面体Q4BC的棱BC的中点，点N在线段上，点P

在线段前上，旦M「ON,AP=/N,用向量叩OB，0。表示。尸，则OP=()

O

B

A.-OA+-OB+-OCB.-OA--OB+-OC

444444

113131

C.-OA——OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

444444

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.

3

【详解】OP==OA+AP=OA+-AN

4

Q1Q

=OA+-(ON-OA\=-OA+-ON

4、,44

13211

=-OA+-x-OM=-OA+-OM

44342

=-OA+-x-(OB+OC]=-OA+-OB+-OC.

422、>444

故选：A

6.(2024高二•全国•课后作业)已知直线AB,BC,8月不共面若四边形的对角线互相平分，且

AG=xA8+2yBC+3zC£,贝！Jx+〉+z的值为()

..5一211

A.1B.—C.一D.—

636

【答案】D

【分析】由题意｛AB.BGCCJ为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.

【详解】由题意，知钻，BC,B片不共面，四边形BBCC为平行四边形，CC\=BB-

（AB,8C,用｝为空间的一组基底.

ACX=AB+BC+CC[,又AG=xAB+2yBC+3zCCl,

:.x=2y=3z=l,：.x=l,V=—,z=-

23

11

.xyz—

故选：D.

7.（2024•福建福州•三模）在三棱锥PA3C中，点。为△A3C的重心，点£）,E,歹分别为侧棱以，PB,PC

的中点，^a=AF，b=CE,c=BD,则0尸=()

11121222-2

A.B.——a——7b——cC.——a——bz——cD.—CLH---bH---C

333333333333

【答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.

【详解】取5c中点为M,

一——,1_.一

a=AF=PF-PA=-PC-PA,

2

b=CE=PE-PC=-PB-PC,

2

--.-.一1•一

=BD=PD-PB=-PA-PB

C2

三个式子相力口可得〃+人+c=-g(出+P3+PC)nPA+P5+PC=—2(〃+Z?+c),

y.OP=AP-AO=-PA--AM=-PA^^x-^AB+AC^=-PA--^PB-PA+PC-PA^

=-PA--(PB-PA+PC-PA\=--PA--PB--PC=--(PA+PB+Pc]=-(a+b+c

3、,3333、,3、

故选：D

8.（2024高二•全国•课后作业）已知"，b，"是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量

是()

A.3a，a-b>a+2bB.2b，b-2a，b+2a

C.a，2b，b-cD.c，a+c'a—c

【答案】C

【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.

【详解】向量6,c是不共面的三个向量，

对于A,3a=2(a-/?)+(«+2b),贝！]向量3a,a-b,a+2b共面，A不能构成空间基底；

对于B,2b=(b-2a)+S+2a),则向量2b,b-2a,b+2a共面，B不能构成空间基底;

对于D,2c=(a+c)-(a-c),则向量c,a+c,a-c共面，D不能构成空间基底；

对于C