新疆乌鲁木齐地区2025届数学高二上期末检测模拟试题含解析

新疆乌鲁木齐地区2025届数学高二上期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正三棱锥S-ABC中，AB=4，D、E分别是SA、AB中点，且DE⊥CD，则三棱锥S-ABC外接球的体积为（）A.π B.πC.π D.π2．已知随机变量，且，，则为（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27183．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A B.C. D.64．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B.0C.6 D.85．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（）A. B.C. D.6．已知集合，则（）A. B.C. D.7．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.8．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．设函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.10．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（）A. B.C. D.11．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.12．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，椭圆的中心在坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率___________.14．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________.15．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______16．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中a为正数（1）讨论单调性；（2）求证：18．（12分）已知双曲线及直线（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长19．（12分）已知函数，当时，函数有极值1.（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.20．（12分）已知圆C过点，，它与x轴的交点为，，与y轴的交点为，，且.（1）求圆C的标准方程；（2）若，直线，从点A发出的一条光线经直线l反射后与圆C有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围.21．（12分）已知曲线在处的切线方程为，且.（1）求的解析式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若时，对任意都有恒成立，求实数的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】取中点，连接，证明平面，得证，然后证明平面，得两两垂直，以为棱把三棱锥补成一个正方体，正方体的对角线是其外接球的直径，而正方体的外接球也是正三棱锥的外接球，由此计算可得【详解】取中点，连接，则，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分别是SA、AB的中点，则，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱锥，因此，因此可以为棱把三棱锥补成一个正方体，正方体的对角线是其外接球的直径，而正方体的外接球也是正三棱锥的外接球，由，得，所以所求外接球直径为，半径为，球体积为故选：C2、C【解析】根据正态分布的对称性可求概率.【详解】由题设可得，，故选：C.3、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.4、C【解析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.故选：C5、D【解析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.【详解】由题意得：，，且，又，，，，.故选：D.6、D【解析】由集合的关系及交集运算，逐项判断即可得解.【详解】因为集合，，所以，，.故选：D.【点睛】本题考查了集合关系的判断及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.7、A【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，，所以为直径的圆的圆心为，半径为.直线的方程为，由于以线段为直径的圆与相交，所以，，，，，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A8、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，，，所以＝＝，，，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.9、A【解析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：A10、A【解析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可【详解】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为.故选：A11、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A12、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】写出，，求出，根据以及即可求解，【详解】由题意，，，所以，，因为，则，即，即，所以，即，解得或（舍）.故答案为：14、【解析】利用圆锥的结构特征及侧面积公式即得.【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为，∴，∴.故答案为：.15、【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案.【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，又，所以.故答案为：.16、【解析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可【详解】设,又有成立，函数，即是上的增函数，，即,，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求解函数的导函数，并且求的两个根，然后分类讨论，和三种情况下对应的单调性；（2）令，通过二次求导法，判断函数的单调性与最小值，设的零点为，求出取值范围，最后将转化为的对勾函数并求解最小值，即可证明出不等式.【小问1详解】函数的定义域为∵令得∵，∴，得或①当，即时，时，或；时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增②当，即时，时，或；时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增③当，即时，∴在上单调递增综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增【小问2详解】令，（）∴，令∴，∴在上单调递增又∵，，∴使得，即（*）∴当时，，∴，∴单调递减∴当时，，∴，∴单调递增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函数单调递减∴，∴∴【点睛】求解本题的关键是利用二次求导法，通过虚设零点，求解原函数的单调性与最小值，并通过最小值的取值范围证明不等式.18、（1）且；（2）【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可【详解】（1）联立y=2可得∵与有两个不同的交点，且，且（2）设，由（1）可知，又中点的横坐标为，，或又由（1）可知，为与有两个不同交点时，19、（1）（2）【解析】（1）根据，可得可得结果.（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.【详解】（1）由，有，又有，解得：，，故函数的解析式为（2）由（1）有可知：故函数的增区间为，，减区间为，所以的极小值为，极大值为由关于x的方程有一个实数根，等价于方程有一个实数根，即等价于函数的图像只有一个交点实数m的取值范围为【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.20、（1）；（2）.【解析】（1）设圆C的一般式方程为：，然后根据题意列出方程，解出D，E，F的值即可得到圆的方程；（2）先求出点关于直线l的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线和圆的位置关系列出不等式解出k的取值范围即可.【详解】（1）设圆C的一般式方程为：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圆C过点，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圆C的一般式方程为，标准方程为；（2）设关于的对称点，所以有，解之得，故点，∴反射光线所在直线过点，设反射光线所在直线方程为：，所以有，所以反射光线所在的直线斜率取值范围为.【点睛】本题考查圆的方程的求法，直线和圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.21、（1）；（2）.【解析】(1)根据导数的几何意义得，结合对数的运算性质求出m，利用直线的点斜式方程即可得出切线方程；(2)由(1)将不等式变形为，利用导数研究函数在、、时的单调性，即可得出结果.【小问1详解】，∴，，，，，切线方程为，即，∴.【小问2详解】令，，，当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意；当时，设，①当，，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，所以，故符合题意；②当时，，，所以在上递增，在上递减，且，所以当时，，则在上单调递减，且，故，，舍去.综上：