2025年高考数学一轮复习：基本不等式 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-14基本不等式-专项训练【原卷版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.设％>0,则>=3—3%—1的最大值是（）

x

A.3B.3-2^2

C.-1D.3-2^3

2.已知x三，则^=三"有（）

A.最大值:B.最小值J

24

C.最大值1D.最小值1

3.若对x>0,y>0,有（x+Zjok+je加恒成立，则加的取值范

围是（）

A.加W4B.m>4

C.m<0D.相W8

4.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高,

上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第九层

楼时，上、下楼造成的不满意度为〃，但高处空气清新，嘈杂声较小,

环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教

室在第〃层楼时，环境不满意度为8,则同学们认为最适宜的教室所在

n

的楼层应为（）

A.2B.3

C.4D.8

5.已知a,b,C满足Ab>c时，不等式‘一+‘一+”>0恒

a—bb—cc—a

成立，则屈勺取值范围是()

A.B.A<1

C.2<4D.1>4

6.若0<41<42,0<61<岳，且41+42=61+62=1,则下列代数式中

值最大的是()

A.4161+4262B.a\a2~\~b\bi

C.4162+4261D.1

2

71

7.已知%>0,y>0,x+2y=l.若—~I>加2+3加+4恒成立，则实数

%y

m的取值范围是()

A.(―00,—4]U[―1,+°0)

B.(—8,-1]U[4,+8)

C.(-4,1)

D.(-1,4)

8.设x,y,z^R,且x+y+z=2,贝1j%2+》2+z2的最小值为()

42

A.-B.-

33

C.-D.1

3

二、填空题

9.若对任意x>0,,广।Wa恒成立,则。的取值范围

x2+3x+l

是.

10.若实数满足<+产+盯=1,则x+y的最大值是.

三、解答题

11.已知正常数a,6和正实数x,y满足a+Z)=10,-+-=Lx

%y

+y的最小值为18,求a,b的值.

12.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层

的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每

年的能源消耗费用为/万元，隔热层的厚度为％厘米，两者满足关系

式：刃=」7（°WxW10,左为常数）.若无隔热层，则每年的能源消

2x十5

耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记/为15年的总费

用.（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用十

15年的总维修费用）

（1）求"的表达式；

（2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用/最小，

并求出最小值.

能力提升

13.（多选题）下列结论正确的是（）

A.当%>0时，

B.当%>2时，％+1的最小值是2

C.当％<4时，尸4%—2+二一的最小值为5

4-4x—5

D.当％>0,y>0时，在+上22

yx

14.已知0<q<l,0<b<l,不等式办2+%+620对于一切实数》恒

19.

成立，又存在xoWR,使笈8+配+。=0成立，则——+;一7的最小值

1—a1—b

为（）

A10^2B.4+?

,L

3

C.4+也D.4^2

15.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量网单

位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度M假设车辆

以相同速度%亍驶，单位：米/秒）、平均车长/（单位：米）的值有关,

76000/

其公式为：F=

j+18,+20/

(1)如果不限定车型，1=6.05,则最大车流量为________辆/时;

(2)如果限定车型，1=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增

加辆/时.

16.设访6为正实数，且1+：=2也

ab

(1)求a2+b2的最小值；

(2)若(q—b)2N4(ab)3,求ab的值.

2025年高考数学一轮复习-14基本不等式-专项训练【解析版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.设％>0,则y=3—3x—1的最大值是（D）

A.3B.3—2啦

C.-1D.3-2^3

解析：•.”>（）,：.31+"21=20当且仅当％=/时取

x、\1&x3

等号，•••一［3x+1w—23，

则>=3—3%—1W3—23，故选D.

X

2.已知Xe：，则y=—―二+5有（口）

22x—4

A.最大值:B.最小值J

24

C.最大值1D.最小值1

解析：》=力生9="艾±1=1（”—2）+二当且仅当

2x~42（%—2）2

x-2=」，即x=3时等号成立，故y有最小值1,故选D.

x~2

3.若对x>0,y>0,有（x+2y）［+Je/n恒成立，则加的取值范

围是（D）

A.mW4B.m>4

C.m<0D.小W8

解析：由x>0,y>0,得（x+2_y）[+J=2+也+'+224+2、小工

^%yNXy

=8,当且仅当2y=x时取等号，则加W8,故选D.

4.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，

上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第九层

楼时，上、下楼造成的不满意度为〃，但高处空气清新，嘈杂声较小，

环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教

室在第〃层楼时，环境不满意度为*则同学们认为最适宜的教室所在

n

的楼层应为（B）

A.2B.3

C.4D.8

解析：由题意知，教室在第几层楼时，同学们总的不满意度

+824/，当且仅当即”=2也时，不满意度最小，又

nn

N*,分别把〃=2,3代入》="+8,易知”=3时，y最小，故最适宜的

n

教室应在3楼.

5.已知a,b,c满足a>b>c时，不等式‘一+」一+工>0恒

a-bb-cc-a

成立，则7的取值范围是（C）

A.B.A<1

C.2<4D.1>4

*1^।1—I

解析：由题意知，原不等式可变形为2<（q—c>Q—bb-c]=[{a

—b）+（b—01L+M=I+L+K+I,而1+小+…+

b-ca~bb~ca-b

124（当且仅当（4-5）2=屹一°）2时等号成立），则丸<4.故选C.

6.若0<41<42,0<61<62,且+42=61+62=1，则下列代数式中

值最大的是（A）

A.aibi^-aibiB.a\a2~\~b\bi

C.a\b2~\~a2b\D2

解析：由0<tZl<tZ2,0<Z)l<Z>2,

。1+。2bl+Z?2

21

易知。1。2+6仍2<12J2+l2=

2

又a\bi+aibi—(①历+aib\)=(ai—ai)b\+(及-a\)bi=(<22—ai)(岳

—Z)i)>0,

所以4仍1+42岳>41岳+。2bl.

注意到1=(ai+(22)(61+62)=aibi+a2b2+aibi+aib\<2(a\b\+

aibi),所以a而1+。2历>

综上可知a\b\+a2bi最大.

7.已知x>0,y>0,x+2y=l.若一■I■—>???+3加+4怛成立，则实数

%y

加的取值范围是(c)

A.(―00,—4]U[―1,+°0)

B.(—8,-1]U[4,+°°)

C.(-4,1)

D.(-1,4)

解析：R+；〕xi=R+；[a+2y)=4-卜出即m2+3m+4<8

%y

恒成立，m2+3m—4<0的解集为(一4,1).故选C.

8.设x,y,z£R,且x+y+z=2,则N+y+zZ的最小值为(A)

42

A.-B-

33

cAD.1

3

解析：由题意，得(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(肛+yz+z%)W12+y2

+z2+(x2+/)+俨+z2)+(x2+z2)=3(/+/+Z2),即/+y+

=当且仅当％=y=z=；时取等号)，所以％2+V+z2的

最小值为，故选A.

二、填空题

9.若对任意%>0,一：「Wa恒成立,则a的取值范围是。力:.

x2+3x+l5

解析：因为x>0,所以％+122.

当且仅当X=1时取等号，所以有

X____1V

x2+3x+1x+1+32+35'

x

即的最大值为(故心！

10-若实数-满足改y+町=，则…的最大值是可.

解析：注意到消元有难度，而目标式为x+.V,且条件可以构造出

x+y的平方，于是1=(x+y)2一肛N(x+y)2—(彳2)2=：Q+y)2,所以

：2(x+y)2,所以一2；Wx+yW、J,当且仅当％=>=；时取最大

三、解答题

11.已知正常数a,6和正实数x,y满足a+6=10,-+-=Lx

%y

+y的最小值为18,求a,b的值.

解：因为x+y=(x+y)T=(%+>)♦[+J=a+Z?+变+近5+

,,1歹

2\/ab=(-\/a+-\/b)2,

当且仅当"=近，即丫=、，时,等号成立，

xyxa

所以x+.V的最小值为（4?+回2=18,

又。+6=10,所以必=16.

所以。，b是方程12—10%+16=0的两根，

所以4=2,6=8或a=8,b=2.

12.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层

的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每

年的能源消耗费用为/万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系

式：w=/7（°WxW10,左为常数）.若无隔热层，则每年的能源消

2x十5

耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记R为15年的总费

用.（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用十

15年的总维修费用）

（1）求J2的表达式；

（2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用/最小，

并求出最小值.

解：（1）依题意，当％=0时，p=6,：.6=\,：,k=30.

3030450

故yi=,^2=4x1-15+10=4x41-10(0<x<10).

2x+52x+52x+5

450450

(2)口=4%+--+10=(4x+10)+--=2(2x+5)+

2%十52%十5

450

、2-2(2X+5)•黑=6。,

2%+5

450

当且仅当2（2%+5）=二-,即x=5时，/取得最小值，最小值

2x+5

为60,

...隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值

为60万元.

能力提升

13.（多选题）下列结论正确的是（AD）

A.当%>0时，&+］与2

B.当%>2时，的最小值是2

X

C.当白时，尸4x—2+二一的最小值为5

4-4X一5

D.当x>0,y>0时，甚+»22

yx

解析：在A中，当％>0时，4>0,出+!22,当且仅当％=1

时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，X-=2,当且

XX

仅当％=1时取等号，但x>2取不到1,因此x+1的最小值不是2,结

X

论错误；在C中，因为所以5—4x>0,则y=4x—2+1=

44x-5

54X+5-4J+3<-2XAJ（5-4X）^^+3=1,当且仅当5—4%

=1一,即x=l时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD.

5—4%

14.已知0<q<l,0<b<l,不等式办2+X+beo对于一切实数%恒

19

成立，又存在xo£R,使6君+祀+。=0成立，则——+;一7的最小值

1一QLb

为（B）

AlogB.4+返

33

C.4+^2D.4也

解析：因为不等式办2+x+bNO对于一切实数X恒成立，所以对

应方程的根的判别式/1=1—4MWO,即4/21.又存在xo£R,使b蟠

+xo+q=O成立，所以/2=1—4仍20,即4aZ?Wl,所以4ab=1,即

11?124?

b=-(l<4a<4).所以一++—++2

4。1~a1~b1~a\——14—4。4«—1

4a

4121

—(4-4a+4a-1)X+-(4-4a+4a-1)X+2=2+

44^?34^?13

_

4(4a1)_1_2(4—4a)厂

-4-4a4a-1+224+1X2A/8=4+也(当且仅当幽"3=

333i4—4。

2(4—40时,等号成立).所以」一十