函数的图象-2025年高考数学复习讲义及练习解析

2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节导数与函数的单调性

课标解读考向预测

1.结合实例，借助几何直

从近三年的高考情况来看，利用导数研究函数的单调性问题是必考

观了解函数的单调性与

的一个问题，这是因为单调性是解决后续问题的关键，单调性在研

导数的关系.

究函数图象、比较函数值的大小、确定函数的极值与零点、解不等

2.能利用导数研究函数

式及证明不等式中起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用

的单调性，会求函数的

一直是高考考查的重点，而含有参数的函数单调性的讨论与应用是

单调区间(其中多项式

高考中的难点.预计这一考点在2025年高考中仍是重点考点.

函数一般不超过三次).

必备知识——强基础

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

加0在(0,6)上〕

如)>001单调递增

函数y—/(x)在区间(°,6)上可

心)在(0,6)上〕021

/(x)<0单调递减

导

(031常数函数

/«=0人x)在(a,b)上是

2.利用导数判断函数)，=加)单调性的步骤

第一步，确定函数的皿定义域;

第二步，求出导数/(x)的同霎点；

第三步，用/(x)的零点将人x)的定义域划分为若干个区间，列表给出了(X)在各区间上的正负,

由此得出函数y=/(x)在定义域内的单调性.

常用图论

1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的

单调区间.

(2)注意“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意

在定义域内的间断点.

2.若函数兀r)在(0,6)上单调递增，则6)时，/(x)20恒成立；若函数加)在(0,6)上

单调递减，则无G(a,6)时，/(x)W0恒成立.

3.若函数於)在(0,b)上存在单调递增区间，则b)时，/(x)>0有解；若函数4)在(0,

1

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6)上存在单调递减区间，则xG(a,6)时，/(*0有解.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打y”，错误的打“X”)

(1)如果函数人x)在某个区间内恒有/(x)=0,则负x)在此区间内没有单调性.()

(2)在(a,6)内/(x)W0且/(x)=0的根有有限个，则/(x)在(a,6)内单调递减.()

(3)若函数4)在定义域上恒有/(x)>0,则以)在定义域上一定单调递增.()

答案(l)d(2)d(3)x

2.小题热身

(1)(多选)(人教A选择性必修第二册5.3.1例2改编)如图是函数了=加)的导函数y=/(x)的图

象，则下列判断正确的是()

A.在区间(一2,1)上加)单调递增

B.在区间(2,3)上五x)单调递减

C.在区间(4,5)上;(x)单调递增

D.在区间(3,5)上单调递减

答案BC

(2)函数/)=xer的一个单调递增区间是()

A.(一8,1)B.(2,8)

C.(1,2)D.(0,2)

答案A

解析由於)=工，得/(x)=^~由/(x)>0,得所以/)在(一8,1)上为增函数.故

选A.

(3)(人教A选择性必修第二册5.3.1例1改编)函数於)=cosx—x在(0,兀)上的单调性是()

A.先增后减B.先减后增

C.增函数D.减函数

答案D

解析,当xG(0,it)时，/(x)=-sinx—l<0,在(0,兀)上是减函数.故选D.

考点探究——提素养

考点一不含参数的函数的单调性

例1求函数於)=©然一e(2x+l)的单调区间.

2

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解/(^)=26^-2e=2e(e2x-1—1),

令/(x)=0,解得x=:，

X,f(x),外)的变化如下：

1

X+co

卜8,』21]

f(x)一0+

»单调递减-e单调递增

—8，-n+

所以"）的单调递减区间是2j,单调递增区间是°°1

【通性通法】

利用导数求函数单调区间的步骤

注意：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的

定义域.

⑵若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能用

“，”“和”字隔开.

【巩固迁移】

1.（2023•湖南长沙模拟）已知函数危）=20^1we是自然对数的底数），讨论作）的单调性.

fx+4

解/（%）+cosx）=2A/2evsinC4J,

由/（x）＜0,解得2桁+—*24兀+手（左2）,

由/（x）＞0,解得2防1—卜＜2防1+午伏京），

,,,flkn——,2左兀+^]*e、电内,|2A7r+^,

故兀c）在I44J/WZ）上单倜递增，在I44j/WZ）上单倜递减.

考点二含参数的函数的单调性

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例2已知函数於)=lnx+^―-(tzFR,且”W0),讨论函数/(x)的单调性.

axa

解/a)=，a>o),

①当Q〈0时，/(x)>0恒成立，

函数段)在(0,+8)上单调递增;

②当。>0时，由/(x)=丝?>0,得X：」；

由/(X)=竺三1<0，得0<x2,

Ma

函数以)在6+8)上单调递增，在卜力上单调递减.

综上所述，当〃<0时，函数小)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，函数火X)在［?+8)上单调递增，在10'』上单调递减.

【通性通法】

利用导数研究函数单调性的策略

提醒：讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

【巩固迁移】

2.已知函数g(x)=lnx+ax2—(2Q+1)X.若Q>0,试讨论函数g(x)的单调性.

解因为g(x)=lnx+"2—(2a+l)x,所以g，(x)=2"?一(2a+l)x+l=(2ax—1)(》一D

由题意知函数g(x)的定义域为(0,+8),

若,即a〉:

由g'(x)>。，得x>l或0QS」-,

2a

由g'(x)<0，得4<xvL

4

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即函数g(x)在5力，(1,+8)上单调递增，在1)上单调递减；

若上>1,即OVQVL

2a2

由g'(x)>。，得心」-或0〈x〈l,

2a

由g'(x)<0，得1<%<上，

2a

即函数g(x)在(0,1),Q?+8)上单调递增，在J上单调递减；

若1=1,即a=L则在(0,+8)上恒有g，(x)20,

2a2

即函数g(x)在(0,+8)上单调递增.

综上可得，当0<a］时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在1bJ上单调递减，在L'+8)

上单调递增；

当时，函数g(x)在(0,+8)上单调递增；

当心3时，函数g(x)在I0'J上单调递增，在Q'1］上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

考点三与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究)

考向1辨析图象

例3已知/(x)是/(x)的导函数，/(x)的图象如图所示，则段)的图象只可能是()

答案D

解析由题中/(x)的图象可以看出，在(a,6)内，f(x)>Q,且在内，/(x)单调递增,

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pz+bra+q

在IF'J内，/(x)单调递减，所以函数人x)在(a,6)内单调递增，且其图象在I"'内

越来越陡峭，在皆q内越来越平缓.故选D.

【通性通法】

该类问题主要抓住导函数的正负决定原函数的增减，导数绝对值的大小决定原函数图象在该

点处的陡峭程度，即可完成相应的判断.

【巩固迁移】

3.(2023•浙江绍兴诸暨市高三下学期5月联考)如图是函数p=段)的导函数y=/(x)的图象,

若八2)=0,则»=段)的图象大致为()

答案D

解析由y=/(x)的图象可知，当0<x<l时，0勺Xx)<l,则在区间(0,1)上，曲线y=/(x)上各

点处切线的斜率在区间(0,1)内.对于A,在区间(0,1)上，曲线y=/(x)上各点处切线的斜率

均小于0,故A不正确；对于B,在区间(0,1)上，曲线y=/(x)上存在点，在该点处切线的

斜率大于1,故B不正确；对于C,在区间(0,1)上，曲线y=/(x)上存在点，在该点处切线

的斜率大于1,故C不正确；对于D,由y=/(x)的图象可知，当0<x<l时，0勺Xx)<l,当l<x<3

时，/(x)<0,当x>3时，/(x)>0,所以在区间(0,1)上，曲线>=/)上各点处切线的斜率在区

间(0,1)内，函数y=/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

而选项D中函数y=«x)的图象均符合这些性质，故D正确.故选D.

考向2比较大小

例4(2023•浙江重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期适应性考试)设a=21n1.4,6=\16—

1,c=ln1.6,贝！］()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

答案D

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解析因为21n1.4=ln1.42=ln1.96,In1.96>ln1.6,所以a>c；令/(x)=lnx一(心一1),贝

=-一一^=口及，当xe[i,4)时,/(x)>0,负X)单调递增，所以{1.6)>{1)=0,即In1.6>VL6

x2\x2x

—1,即b<c,所以6<c<a.故选D.

【通性通法】

(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定

函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数.

(2)含有两个变元的不等式，可把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确

定其不等关系.

【巩固迁移】

4.(2023•湖南娄底市部分学校高三三模)若a=ln1.01,6=21Pc=Vfo2-l,贝女)

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案B

解析由于a=ln1.01=ln(1+0.01),c=\J1.02—l="+0.01x2—1,故设函数/(x)=ln(1+x)

—+2x+1(x>0),则/(x)=-;-i1_=J1+—(1+*,x>o,由于c/1+2x)2—(1+x)2

1+xA/1+2X(1+X)\1+2X

=—x2<0,所以«1+2x)2<(1+疗,即J+2x—(1+x)<0?即f(x)<0,故/(x)=ln(1+x)—\jl~\-2x

+l(x>0)单调递减，故於)勺(0)=0，即1口(1+平)"1+2%一1(%>0),令％=0.01,则ln(l+

0.01)<A/1+2x0.01-1,即〃V。；又〃=ln1.01=ln(1+0.01),(=肃=；；；；；,令g(x)=ln(x

2x

+1)贝!］当x>0时，g'(x)=------------=---------------->0即当x>0时，g(x)=ln(x

2+xx+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

0Y0y

+1)——，单调递增，故当x>0时，g(x)>g(0)=0,即当x>0时，ln(x+l)>--,令x=0.01,

2+x2+x

贝(JIn1.01>20，。1,即a>b,故.故选B.

2+0.01201

考向3解不等式

例5(2023•四川成都模拟)已知一个定义在R上的奇函数於)，当介0时，/x)=x-l+lnx,

则不等式求x)>0的解集为()

A.(-8,-l)U(0,1)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-1,0)U(l,+8)

D.(—8,—1)U(1,+°0)

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答案D

解析由题意，得当x>0时，/(x)=l+l>0.则加)在(0,+8)上单调递增，又负1)=0,所以

当xW(0,1)时，於)<0；当xd(l,+8)时，段)>0,所以当40时，不等式研x)>0的解集

为(1,+8),又加)为奇函数，所以求x)为偶函数，所以不等式研x)>0的解集为(-8,-1)

U(l,+8).故选D.

【通性通法】

利用单调性解不等式的思路方法

(1)利用单调性解不等式通常用于：①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数

型不等式；④解析式较复杂的不等式.

(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的关系，解不

等式即可.

【巩固迁移】

5.已知函数人劝=d—er—2x+l,则不等式｛2x—3)+段)>2的解集为.

答案(1，+°°)

解析令g(x)=/(x)—l=e*—e)—2x,定义域为R,因为g(—x)=er—e*+2x=—g(x),所以

g(x)为奇函数，不等式3)+於)>2可变形为人2x—3)—1>1—於)，即g(2x—3)>—g(x)=

g(—x),又222ye^e三一2=0,当且仅当^二/工，即x=0时，等号成立，所

以g(x)在R上单调递增，所以2x—3>—x,解得尤>1,所以所求不等式的解集为(1,+8).

考向4求参数的取值范围

例6(2024,宁夏回族自治区银川一中高三上学期第二次月考)若函数｛x)=x—gsin2x+asinx

在R上单调递增，则。的取值范围是()

一_〔r

A.[-1,1]B.L3」

1n「[「

C.L33」D.L3」

答案c

解析/(x)=1—jcos2x+tzcosx^0对x£R恒成立，故1—；(2cos2%—1)+QCOSX20,即acosx

一：cos2x+j10恒成立，即一对1,1]恒成立，构造g«)=—$2+秋+：,

由m+:为开口向下的抛物线，知g⑺的最小值的可能值为端点值，故只需保证

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g(-l)=；一心0,

解得一故选C.

g6=；+a20,33

【通性通法】

由函数的单调性求参数的取值范围的策略

注意：若已知函数人x)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出於)的单调区间,

令/是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

【巩固迁移】

6.若函数作)=lnx+"2—2在区间I'1］内存在单调递增区间，则实数。的取值范围是()

C.(-2,+°°)D.(-8,+°°)

答案D

解析由/(x)=lnx+ax2—2,可得/(x)=L+2ax.因为函数_/(x)=lnx+ax2—2在区间L'"内

存在单调递增区间，所以/。)>0在xeh'1］上有解，即a>—U在1］上有解.设g(x)

2xz

=一」;，x/o,由g，(x)=/3>0在xeh，1］上恒成立，所以g(x)在h，1］上单调递增，所以

^^<g(x)vg(l)・所以—8.故选D.

7.若函数g(x)=2x+lnx一2在区间［1,2］内不单调，则实数。的取值范围是.

x

答案(-10,-3)

解析，・,函数g(x)在区间［1,2］内不单调，••・/(%)=2+,+3=0在区间(1,2)内有解，则。

xX2

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=—2x2—X=—2心力+：在(1,2)内有解，令尸一21+力+L易知该函数在(1,2)上是

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减函数，.,•值域为(—10,—3),・,•实数Q的取值范围为(一10,—3).

课时作业

A级基础巩固练

一、单项选择题

1.(2023•江西抚州高三上学期期末)函数y=/(x)的图象如图，则导函数y=/(x)的图象可能是下

图中的()

CD

答案A

解析由函数图象知作)为偶函数，则x),因为4r)的导数存在，两边取导数可得了(x)

=区一x)Y，由复合函数的求导公式可得[A—x)Y=/(—x>(一》=—/(一X),故/(x)=-/(—X),

即了(X)为奇函数，排除C，D；由原函数图象可知当x>0时，<X)先递增再递减，故/(x)在x>0

时，函数值先正后负，排除B.故选A.

2.(2024•辽宁大连第八中学高三上学期月考)函数/(x)=3+xlnx的单调递减区间是()

A.[?e]B,[0,3

C.11D.[J，+T

答案B

解析因为函数人x)的定义域为(0,+°°),且/(x)=lnx+x'=lnx+l,令/(x)v0,解得

xe

故人X)的单调递减区间是(°,故选B.

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3.函数>=/)在定义域卜1W内可导，图象如图所示，记y="x)的导函数为y=/(x),则不

等式/(x)20的解集为()

,1

A.L3」U[2,3)

B.L2ju[33」

1，T

C.I23jU[l.2]

f_3_inR

D.I23」U|_3'3j

答案C

解析了(x)N0的解集即为y=/(x)的单调递增区间.结合图象可得y=/(x)的单调递增区间为

r3_rr3_r

I2'3」，[1,2],则〃x)20的解集为I2’3_U[1,2].故选C.

4.(2023•江西信丰中学模拟)若函数人x)=ax3+x在定义域R上恰有三个单调区间，则a的取

值范围是()

A.(—8,0)B.(0,+°0)

C.(—8,o]D.[0,+°°)

答案A

解析因为函数八x)=ax3+x在定义域R上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域R上

有两个不同的零点，由/(x)=3aN+l,可得3ax2+1=0,即N=,所以只需a<0,方程

3。

3ax2+1=0在R上有两个不同的实数根.故选A.

5.(2023・新课标11卷)已知函数人》)=°^—11^在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()

A.e2B.e

C.■iD.2

答案C

解析依题意可知，/@)=。^一120在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xd》1，设g(x)=xe",

xa

当xG(l,2)时，3(》)=。+1)3>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(l)=e,故e2L

a

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即a^-=e~l,即a的最小值为L故选C.

e

6.(2023・陕西咸阳高三三模)已知函数/(x)的部分图象如图所示，则它的解析式可能是()

ex

A.於)=工B.»=

sinxcosx

C.«r)=eXcosxD.小)=^5111¥

答案D

解析由题中图象可知，函数/(X)的定义域为R,函数人x)=£的定义域为{x|xWE,左WZ},

sinx

兀

I“专+版，"Zj,所以B不符合题意;

COSX

当O<x<K0^,/(x)=eXcosx,贝U/ajMNcosx—e^sinxne^cosx—siiix),当0<x<：时,/(x)>0,当:<x<兀

时，/。)<0,所以式X)在(°,j上单调递增，在I,q上单调递减，所以是函数的极大值，

结合图形，/D不是极大值，故C不符合题意；当0<了<兀时，/(x)=eXsinx,则/(x)=eXcosx+

x

esinx=^(cosxH-sinx),当0<》<手时，/(x)>0,当个VX〈TI时，/(x)<0,所以兀v)在j上单

调递增，在匕,q上单调递减，结合图形，D符合题意.故选D.

2022

7.设a=20222024,6=20232023,c=2O24,贝ij()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

答案A

In2022

名刀小匚・.ln。20241n20222023期、生”就“、Inx,儿、x+1—xlnx人,、

解析•一~=，构造函数段)=1—(xNe2),f(x)=-----1一1，令g(x)

Inb20231n2023In2023x+1x(x+1)2

2024

=x+1—xlnx(x^e2),贝Ug<x)=—Inx<0,.•・g(x)在［e?,+8)上单调递减，.*.g(x)^g(e2)=1

-e2<0,故/(x)<0,二加)在封，+8)上单调递减，.\/(2022)>/(2023)>0,"f^^|o23)>1,

Ina>\nb,a>b,同理可得lnb>lnc,b>c,故a>b>c.故选A.

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8.(2024•山东枣庄第三中学高三上学期期中)设实数介0,若不等式e2比一对x>0

t

恒成立，贝h的取值范围为()

———1,+।°°1n+।°0'

A.L_2eJB.Le

解析由题意/e2〃Nln(2x),x>0,/>0,当ln(2x)W0时，此不等式恒成立，当ln(2x)>0时，

2txe2tx22xln(2x)=In(2x),eln(为，设fix)=%或%>0),则不等式为代2仅)>/(ln(2x)),=(x

+l)e»0,.在(0,+8)上是增函数，.•.2aNln(2x),即令g(x)=m^3[>J,

2x2x

则g，(x)=lTn[2x),当至匕J时,烈劝>0,g(x)单调递增,当xj+"时,g'(x)<0,

2xz

g(X)单调递减，，g(X)max=gll

1,.,・/三1.故选B.

ee

二、多项选择题

9.如果函数外)对定义域内的任意两实数XI,X2(X1WX2)都有>不)—X兆2)>0,则称函数4)

X1~X2

为“歹函数”，下列函数不是'N函数''的是()

A.fix)=exB.y(x)=x2

C./(x)=lnxD.f(x)—sinx

答案ACD

解析依题意，得函数/(x)为“尸函数”，则函数g(x)=^(x)为定义域上的增函数.对于A,g(x)

=xe",g，(x)=(x+l)e;当xW(—8,—1)时，g,(%)<0,g(x)单调递减，故A中函数不是“尸函

数”;对于B,g(x)=x3在R上单调递增，故B中函数为“尸函数”;对于C,g(x)=xlnx,g，(x)

=l+lnx,当XG[°'J时，g"(x)<0,g(x)单调递减，故C中函数不是“尸函数”；对于D,g(x)

01

=xsinx,g%x)=sinx+xcosx,当2J时，g%x)<0,g(x)单调递减，故D中函数不是“尸

函数故选ACD.

10.(2023・重庆七校高三三诊)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出

发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横

坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设/(x)是

函数佃的导函数’若如)>。'03+叼，且、学.总有人丁则

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2025年高考数学复习讲义及练习解析

下列结论正确的是()

A.{2)</(e)</5)B.

C./(2M3)-A2)<T(3)D.7(3)<^3)-A2)<T(2)

答案ABD

解析根据/(x)>0可得，兀r)在R上单调递增，因为7t>e>2,所以｛2)勺(e)勺(兀)，A正确；因

为Vxi，X2F(0,+8),且xi/x2，总有人为)；加2)<[2]所以函数图象上凸，画出函数

图象，由几何意义可知，/(x)表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着x的增大，切

线斜率变小，且恒为正，因为心e>2,所以八兀)勺\e)勺V),B正确；妊)=空匕0=八3)—次2),

3-2

结合函数图象可知了(3)勺(3)—人2)勺\2),C错误，D正确.故选ABD.

三、填空题

11.(2023•河北唐山一中模拟)设函数於)=x(e>—1)—$2,则/)的单调递增区间是,

单调递减区间是.

答案(一8,—1),(0,+°°)[―1,0]

解析・7-1)-¥，/(—十—)(x+l).令侬)=0,得I

或x=0.当xe(—8,—1)时，7(x)>0；当XG[—1,0]时，/(x)W0；当xG(0,+8)时，/@)>0.

故兀¥)在(一8,—1),(0,+8)上单调递增，在[—1,0]上单调递减.

12.(2023•湖南长郡中学模拟)已知函数/(x)=x3—办一1QWR).若函数/(x)在R上单调递增，

则实数a的取值范围为.

答案(一8,0]

解析易知/(x)=3x2—以因为大X)在R上单调递增，所以/(x)，0恒成立，即aW3N恒成立，

故aW(3N)mm=0.经检验，当。=0时，符合题意，故实数。的取值范围是(一8,0].

13.(2024•广东深圳横岗高级中学高三上学期第一次月考)已知函数〃)=2siiu+er—8',且

满足八。2一。+1)+八―20+1)>0,则a的取值范围为.

答案(1，2)

解析/(—x)=2sin(—^)+^—e-r=-2811«+^—e-A'=兀v)为奇函数，又/(工)=2(：08^—

g-.r—gx—2cosx—(e-,:+e':)^2cosx—2A/e=^ex：=2cosx—2^0,於)是减函数，所以不等式八层一

14

2025年高考数学复习讲义及练习解析

a+D+八-2a+1)>0化为火°2—a~\~\)>fi2a—1),即—a+l<2a—1,解得l<a<2.故a的取值

范围为(1,2).

14.(2023•全国乙卷)设〃W(0,1),若函数/)=a，+(l+a》在(0,+8)上单调递增，则°的

取值范围是.

答案［飞2T1J1

解析由函数的解析式可得了(工)=优111〃+(1+0尸111(l+a)20在区间(0,+8)上恒成立，则(1

p+A1p+A

+a)x\n(l+a)^—ax\na,即IaJ2---..—在区间(0,+8)上恒成立，故［J=i2

In(1+(7)a

Ina,,,,(In(a+1)2—Ina,

一■,而Q+1W(1,2),故ln(l+a)>0,故，

In(1+tz)

即卜(a+l)*l,故.故a的取值范围是'I

l0<a<l,2

四、解答题

15.已知函数/（工）=公益+（“一2）旷一x,讨论外）的单调性.

解次x）的定义域为R,f（x）=2ae2x+（a-2）e-1=（«ex-1）（2^+1）,

若aWO,则/（x）vO恒成立，故人x）在（-8,+8）上单调递减；

若a>0,则当x<—Ina时,/（x）<0,

当x>~\na时，/（x）>0,

故兀0在（一Ina,+8）上单调递增，在（—8,—Inq）上单调递减.

综上所述，当aWO时，外）在（一8,十8）上单调递减；

当〃>0时，於）在（一Inq,+8）上单调递增，在（一8,一Ina）上单调递减.

16.已知函数於）=ln（x+l）+Q（x2+x）+2（其中常数心0）,讨论於）的单调性.

解f（x）=——■Fa（2x+1）

x+1

_2ax2+3ax+q+1

x+1

iEg(x)=lax23axa+1,4=a2-8a,

①当/WO,即0<a<8时,g(x)NO,

故/(x)20,

所以/(X)在(-1,+8)上单调递增.

②当/>0,即。>8时，g(x)=O有两个实根

—3a—\a2—Sa-3a-\-\a2-8a

Xl=----------------------------，X2=--------------，

4a4Q

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2025年高考数学复习讲义及练习解析

a

注意到g(0)=a+l>0,g(—l)=l>0且g(x)图象的对称轴方程为1=一：£(—1,0),

故X1，%2日—1，0),

所以当一或X>X2时，g(x)>0,/(x)>0,/(%)单调递增；

当X1<X<X2时，g(x)<0,/(x)<0,兀V)单调递减.

]-3a—\a2—8。

4a

C-3a~\~\Ja2Sa,C—3a—\Jci2Sa—3a+\l(j2一84

和I兀'J上单调递增，在