2024-2025学年湖南省长沙市开福区某中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学

皿「，、忆\_rx▲

数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.要使二次根式、2x-4在实数范围内有意义,贝年的取值范围是（）

A.%>2B.%>2C.%<2D.%=2

2.今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏.根据全省十四个市州综合测算情况汇

总，2023年“五一”假期全省共接待游客1787.1万人次，同口径比2022年“五一”假期增长了114.61%,

其中数据1787.1万用科学记数法表示为（）

A.1.7871x107B.1.7871X108C.17.871X106D.0.17871X108

3.不等式组｛:+\::的解集在数轴上表示正确的是（）

A.y=—2x+1B.y=-2x—1C.y=2x+1D.y=2%—1

5.下列运算正确的是（）

A.a3+a2=a5B.2x2—3x2=—%2C.3a3+4a4=7a3D.5a2b—Sb2a=0

6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD,CE的中点，且=8。根2,贝的面积是（）

A.4cm2

B.3cm2

C.2cm2

D.lcm2

7.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.5,12,13D.1,<3

8.若（a+b）2=49,ab=12,则小+炉的值为（）

A.20B.25C.30D.35

9.在口4BCD中，若乙4+ZC=140°,则4B的度数是（）

A.70°B.110°C.120°D.140°

10.一次函数y=4%+2的图象经过第（）象限.

A.一、二、三B.一、二、四C.一、三、四D.二、三、四

11.如果771、九是一元二次方程%2—%=5的两个实数根，那么多项式—Tim+几+1的值是（）

A.12B.10C.7D.5

12.如图，抛物线y=a/+6工+c（a<0）的对称轴为直线％=1,与无轴的一个

交点坐标为（一1,0）,如图所示，下列结论：（l）4ac<b2；②方程a%2+b%+c=

0的两个根是久i=一1,%2=3；③b+2。=0；④当y>。时，%的取值范围是

-1<%<3；⑤当％>0时，y随%增大而增大，其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.分解因式：%2-9=.

14.已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24CM,那么菱形的每条边长是

15.如图，直线y=for+b与抛物线y=-/+2%+3交于点4B,且点4在y

轴上，点3在%轴上，则不等式一%2+2%+3<ka+b的解集为.

16.如图，矩形纸片Z8CD中，已知4。=16,折叠纸片使边与对角线ZC重

合，点8落在点F处，折痕为4E,且EF=6,贝！MB的长为.

17.关于久的方程咨=1的解是正数，贝布的取值范围是.

18.设4是关于刀的方程/一3x+k=0的两个根，且久］=2乂2，则左=.

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

解下列方程：

⑴3*2-2x-1=0

(2)(%——16=0

20.（本小题8分）

先化简，再求值：段-1）+告，其中a=l.

21.(本小题8分)

“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好

的未来/”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学

分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引,与会

人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈

向新阶段进一步指明了方向.为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网

络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集

整理喜爱的书籍类型(4网络安全，B.计算软件计算，C计算数学，D.通信技术)数据后，绘制出两幅不完整

的统计图.

(1)本次抽样调查的样本容量是；

(2)请补全条形统计图；

(3)求出扇形统计图中类型。所对应的扇形的圆心角的度数；

(4)请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数.

22.(本小题8分)

如图，等腰直角三角形4BC和等腰直角三角形DCE,力、C、D三点共线，^ACB=ADCE=90°,延长DE

交2B于点F.

(1)求证：AACEQABCD；

(2)若CD=1,AC=2,求4F的长度.

23.(本小题8分)

如图，平行四边形4BCD的对角线AC,BD交于点0,AE1BC于点E,点尸在BC延长线上，且CF=BE.

(1)求证：四边形4EFD是矩形；

(2)连接4F,若=2,AD=3,求4F的长.

24.(本小题8分)

2

定义：如果抛物线y=ax+bx+c(a40)与无轴交于点力(久0),B(x2,0),那么我们把线段力B叫做雅礼

弦，4B两点之间的距离I称为抛物线的雅礼弦长.

(1)求抛物线y=%2-2x-3的雅礼弦长；

(2)求抛物线y=x2+(n+l)x-1(1<n<3)的雅礼弦长的取值范围；

(3)设m,几为正整数，且zn片1,抛物线y=/+(4--的雅礼弦长为L，抛物线y=--+

(t一①久+"的雅礼弦长为％，s=V—玲，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s20恒成

立，求m,71的值.

25.(本小题8分)

已知抛物线y=a/+bx—4(a,6为常数，a力0)交久轴于4(一1,0),B(4,0),交y轴于点C.

(1)求该抛物线解析式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB,过C作CQ〃BP交x轴于点Q,连接PQ,求AP8Q面积的最大

值及此时点P的坐标；

22

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax+bx-4向右平移经过点弓,0),得到新抛物线y=arx+brx+c「

点E是抛物线丫=的/+&x+q对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使得以A,P,E,尸为顶点

的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.B

2.A

3.C

4.0

5.B

6.C

1.A

8.B

9.B

10.4

11.71

12.0

13.(x+3)(x—3)

14.13cm

15.x<。或x>3

16.12

17.a<-1且a4—2

18.2

19.解：(1)3%2-2%-1=0,

(%-1)(3%+1)=0,

•••x=1或x=--；

(2)•••(x-I)2-16=0,

•••(%—I)2=16,

=+4,

x—5或x=—3

20.1?：原式=(名-喀)-*7

7z

%+2a+2(a-2)

_a—2a+2

-a+2(a-2)2

一~a^29

当Q=1时，原式=1方=-1.

i-z

21.(1)400；

(2)喜欢D类型的人数：400x10%=40(人)，

喜欢8类型的人数：400-100-140-40=120(人)，补全的条形统计图如下:

(3)扇形统计图中类型。所对应的扇形的圆心角的度数=10%x360°=36°,

答：扇形统计图中类型。所对应的扇形的圆心角的度数为36。.

(4)400名学生中喜欢类型C的学生人数占比为：^=35%,

4UU

••.该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数为：1000x35%=350(人),

答：估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数有350人.

22.(1)证明：在等腰直角三角形4BC和等腰直角三角形DCE中，AC=BC,乙4cB=90。，CD=CE,

乙DCE=90°,

在AACE和△BCD中，

AC=BC

^ACB=乙DCE=90°,

、CE=CD

■.AACE^ABCDQSAS)；

(2)解：在等腰直角三角形4凤:和等腰直角三角形DCE中，^EDC=45°,^BAC=45°,

/.DF=AF,Z-DFA=90°,

・•・AF2+DF2=2AF2=AD2,

•・•CD=1,AC=2,

AD=CD+AC=3,

••.2F=|逅(负值已舍).

23.(1)证明：・.・在平行四边形4BCD中，

AB//DC5.AB=DC,

••・乙ABE=乙DCF,

在△ABE和△DCF中，

AB=DC

乙ABE=乙DCF,

、BE=CF

・••△/BE也△DCF(SZS),

・•.AE=DF,乙AEB=乙DFC=90°,

AE//DF,

••・四边形力DFE是矩形；

(2)解:由(1)知：四边形4DFE是矩形，

•••EF=AD=3,

在RtAAEF中，AE=2,

AF=>/AE2+EF2=V22+32=V13.

24.解：(1)/一2%-3=0,

(%—3)(%+1)=0,

,,,%]—3,%2=—1，

••・雅礼弦长=4；

2

(2)%+(几+1)%—1=0,A(xlf0),

•••AB=\xr—X2\=J+久2)2—

•••4=(H+1)2+4>0,产+?=「伽+1),

I———1

AB=V(n+I)2+4,

1<n<3,

・•・当九=1时，ZB最小值为

当九二3时，最大值小于2",

2V_2<AB<2-\/~5;

(3)由题意，令y=/+(4—mt)x—4mt=0,

•••xr+x2=mt—4,%i%2=—4mt,

22

则Y=(%i—x2)=(%i+x2)—4%I%2=(血1+4)2,

同理8=(n+t)2,

s=(mt+4)2—(n+t)2=(m2—l)t2+(8m-2n)t+(16—n2),

vm2—10,

・,.要不论力为何值，S>0恒成立，

即：(Tn2-i)t2+(8m-2n)t+(16—n2)>0恒成立，

由题意得：m2—1>0,J=(8m-2n)2—4(m2—1)(16—n2)<0,

解得：(机几—4)2<0,mn=4

vm,几为正整数，且7nW1,

贝Um=2,ri=2或m=4,n=1.

25.解：(1)将/(一1,0),8(4,0)代入抛物线丫=。%2+欣—4,

仁力二0，解得｛广，

116a+4o-4=03=-3

••・抛物线的解析式为：y=X2-3X-4.

(2)如图，连接8C,贝必BCP的面积=ABQP面积，过点P作PT〃y轴交8c于点T,

令x=0,则y=-4,

■­.C(0,-4)；

OB=0C=4,直线BC的解析式为：y=%—4,

设点P的横坐标为m,则P(7n,Tn2_3m—4),T(m,m—4),

•••TP=TH—4—(m2—3m—4)=—m2+4m,

S^BCP=5.TP.(%B—和)=5.(一62+4m)-4=-2(m-2)2+8,

■:-2V0,

.•・当爪=2时，SABCP的最大值为8;此时P(2,—6).

综上，APBQ面积的最大值为8,此时P(2,-6).

(3)••・将抛物线y=/_3久一4=(久一当2一冬向右平移经过点(；,o),

Z4Z

点做-1,0)向右平移I个单位,

・•・平移后的抛物线为：y=(%-3)2-y.

•・•点E在平移后抛物线的对称轴上，

设点E(3,t),该对称轴与x轴交于点G,

①当点P为直角顶点时，过点P作x轴的平行线，交GH于点H,过点4作y轴的平行线交P”于点

^APE=4PHE=ZM=90°,AM=6,MP=4,PH=1,

^APM+/.EPH=乙EPH+乙HEP=90°,

.­.Z.APM=乙HEP,

・•.△APM^L