广东省深圳市重点中学2024-2025学年全国高三模拟考试（三）数学试题（含解析）

广东省深圳市重点中学2024-2025学年全国高三模拟考试(三)数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若Qa—ZOcosCuccosB,则内角C=()

2.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公

里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位：万公里)的折线图，以

下结论不正确的是()

相，年份代•)1-5分M时皮年暂20I4-2011

A.每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关

C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

3.直三棱柱ABC—4与G中，C4=CG=2CB,ACVBC,则直线与4月所成的角的余弦值为()

A-fB-T

4.函数/(%)=sin(ox{co>0)的图象向右平移々个单位得到函数y=g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上

1263

单调递增，在区间［］,(］上单调递减，则实数。的值为()

5.已知数列｛凡｝的首项的=。（。彳0）,且为+1=也+乙其中左，t&R,n&N*，下列叙述正确的是（）

A.若｛4｝是等差数列，则一定有％=1B.若｛4｝是等比数列，则一定有t=0

C.若｛4｝不是等差数列，则一定有kwlD.若｛。“｝不是等比数列，则一定有

6.设i是虚数单位，若复数加+*-（meR）是纯虚数，则，〃的值为（）

3+z

A.-3B.-1C.1D.3

2222/T

7.已知。＞匕＞0,椭圆G的方程0+==1，双曲线。2的方程为三—当=1，G和a的离心率之积为中，则

a-b-a2b22

C2的渐近线方程为（）

A.x±y/2y=0B.小土y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

8.复数z（l-，）=，（i为虚数单位），贝！Jz的共辑复数在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.如图网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）

A.2B.2夜C.273D.1

10-下列与牛的终边相同的角的表达式中正确的是（）

9

A.2kn+450(kGZ)B.心360。+孑(AGZ)

,5n

C.心360。―315°(A£Z)D.而+彳(*GZ)

11.在AA6c中，。为8C边上的中点，且|而|=1,*|=2,NA4C=120。，贝!||而|=()

A.正B.-C.D.立

2244

12.设i是虚数单位，贝!|（2+3。（3—2。=（）

A.12+5zB.6-6iC.5zD.13

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成

绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在［250,400）内的学生共有__人.

14.己知函数/（x）=M#-D，若关于x的不等式尤-2°）+/（巾-3）,,0对任意的xe［l,3］恒成立，则实数a的

取值范围是.

15.已知P是抛物线C:/=2x的焦点，M是C上一点，户河的延长线交y轴于点N.若〃为FN的中点，则

\FN\=.

16.已知％ye火，i为虚数单位，A（x-2）i-y=-l+i,贝!Jx+y=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在直角坐标系中，已知点P（l,0）,若以线段PQ为直径的圆与V轴相切.

（1）求点。的轨迹C的方程；

⑵若。上存在两动点4B（A,5在X轴异侧）满足砺.历=32,且△RW的周长为21ABl+2,求的值.

18.（12分）如图，点C是以为直径的圆。上异于A、3的一点，直角梯形所在平面与圆。所在平面垂

直，ADEUBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

2

（1）证明：EO//平面AC。；

（2）求点E到平面ABD的距离.

19.（12分）已知椭圆C：g+（=1的离心率为岑，且经过点［-1,*］.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（百,0）作直线/与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点。使得直线QA与直线恰

关于左轴对称？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

无2

20.（12分）已知a＞0,函数=+

（I）若/（%）在区间上单调递增，求4的值；

（II）若aeZ〃尤）＞0恒成立，求。的最大值.（参考数据：eL1.6）

21.（12分）设函数/（x）=x—Lg（x）=〃nx,其中xe（0,1）,/为正实数.

X-

（1）若/（光）的图象总在函数g（x）的图象的下方，求实数，的取值范围；

⑵设H（x）=（lnx—1+1）1+卜2一11一）；证明：对任意龙《0,1）,都有H（x）＞0.

X—t/\2c

22.（10分）在平面直角坐标系X0V中，直线/的参数方程为_。为参数），直线/与曲线。:（尤-1）一+丁=1交于

AB两点.

⑴求的长；

⑵在以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点p的极坐标为f272,引］，求点P到线段AB中点M

的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2^-/?)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sin5)cosC=sinCcosB,

/.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

一一।.171

三角形中sinAwO,cosC=—,，C=—,

23

故选：C.

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

2.D

【解析】

由折线图逐项分析即可求解

【详解】

选项A，8显然正确；

29-16

对于C,-——->0.8,选项C正确；

1.6

1.6,1.922,2.5,2.9不是等差数歹U,故。错.

故选：D

本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，是基础题

3.A

【解析】

设CA=CG=2CB=2,延长4耳至。，使得44=用，连8D,CQ,可证ABJ/B。，得到NC不。(或补角)

为所求的角，分别求出5G，AA，G。，解AGB。即可.

【详解】

设C4=CG=2C3=2,延长A耳至。，使得4用=用。，

连BD,C[D,在直三棱柱ABC—4与4中，AB/Z^B^AB=A^,

AB//B]D,AB=BiD,四边形ABDB｝为平行四边形,

:.ABJ/BD,:.NCiBD(或补角)为直线BC】与A与所成的角,

在放△3CG中，BCI=[CC：+BC2=B

2

在放4G中,A4=7ACI2+5ICI2=也,cosNgAG=

有‘

在△4G。中,

2

CjD=AC；+其。2_2AG.AJDCOS/B]AC]=4+20—16=8,

在RtAAA,B[中，AB]=+=3,:.BD=AB]=3,

BC；+BD2-GD25+9-86

在ABC]D中,cosZQBD=

2BC]BD6A/5-5

故选：A.

本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.

4.C

【解析】

由函数/(%)=sin(Dx(co>0)的图象向右平移展个单位得到g(x)=sin[a^x=sinCcox-,函数g(x)在

jrITTTIT

区间上单调递增，在区间

o332

上单调递减，可得x=g时，g(x)取得最大值，即(0(—皆)=春+2版，keZ,口>0,当左=0时，解得6y=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间!)|上单调递减可得x=(时，g(x)取

得最大值，求解可得实数0的值.

5.C

【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.

【详解】

A：当左=Oj=a时，4+i=a,显然符合｛凡｝是等差数列，但是此时左=1不成立，故本说法不正确；

B：当左=Oj=a时，4+i=a,显然符合｛%｝是等比数列，但是此时7=0不成立，故本说法不正确；

C：当左=1时，因此有4+1-%,=她+-4=/=常数，因此｛?｝是等差数列，因此当｛q｝不是等差数列时，一定

有上wl,故本说法正确；

D：当/时，若左=0时，显然数列｛a,J是等比数列，故本说法不正确.

故选：C

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.

6.A

【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得相的值.

【详解】

由复数的除法运算化简可得

10°.

m-\------=m+3—i,

3+z

因为是纯虚数，所以加+3=0,

m=—3,

故选：A.

本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.

7.A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合a和。2的离心率之积为且，即可得。力的关系，进而得双曲线的离心率

-2

方程.

【详解】

2222

椭圆a的方程++当=1,双曲线。2的方程为3—==1,

abab

则椭圆离心率q=，双曲线的离心率e=

aa2

由4和c2的离心率之积为立，

一2

即y/a2-b2yja2+b2^3

期6le2-------------x------------=——'

aa2

解得2=±走，

a2

所以渐近线方程为）=±也》，

-2

化简可得x土后y=0,

故选：A.

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

8.C

【解析】

由复数除法求出z,写出共辗复数，写出共辗复数对应点坐标即得

【详解】

+I-i+i11.11.

解析—口-----FT,----------1

+i22222

对应点为（-5，-万），在第三象限.

故选：C.

本题考查复数的除法运算，共朝复数的概念，复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.

9.C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为A。，算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为4。=2百

ID

故选：C.

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

10.C

【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.

【详解】

与粤的终边相同的角可以写成2配+萼（左GZ）,但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.

44

故答案为C

（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）与戊终边相同的角

夕=m360°+。其中左ez.

11.A

【解析】

由。为Be边上的中点，表示出砺=g（通+/），然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为边上的中点,

AD=-（AB+AC）,

西V（而+珂=曰丽+叼2

------*2------►------

+AC+2ABAC\

4

=J1(l2+22+2xlx2xCOS120

=昱

~2

故选：A

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

12.A

【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.

【详解】

由复数的乘法法则得(2+3z)(3-2z)=6+5Z-6Z2=12+5Z.

故选：A.

本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.750

【解析】因为(“00J+0.001+0.004+二+0.005+0.003)x50=J,得二=0,006,

所以改必x[(Q.刎X50]=-5Co

14.[TO]

【解析】

首先判断出函数/(©为定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式/(尤2一2龙-2。)+/(依-3),,0对任

意的同恒成立，可转化为/+5-2)龙-2a-3,,0在xe[1,3]上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案.

【详解】

解：函数/(x)的定义域为R,且/(一无)=-%(2Ht|-l)=-%(2W-D=-/(无)，

二函数为奇函数，

当尤＞0时，函数“x)=x(2£-l),显然此时函数/(x)为增函数，

•••函数Ax)为定义在R上的增函数，

不等式/'(x?-2x-2a)+f(ax-3)„0即为炉一2X一2@3-ax,

xl+(a-2)x-2a-3,,0在xe[1,3]上恒成立,

1+<7—2—2a—3„0

,解得YW?0.

[9+3(a—2)—2a—3,,0

故答案为[T,0].

本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目.

【解析】

由题意可得/(工,0),又由于〃为FN的中点，且点N在y轴上，所以可得点"的横坐标，代入抛物线方程中可求

2

点〃的纵坐标，从而可求出点N的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.

【详解】

解：因为R是抛物线C:/=2x的焦点，所以F(g,O),

设点"的坐标为(%,为)，

因为"为MV的中点，而点N的横坐标为0,

所以升=；,所以为2=2x；=g,解得九=±日，

所以点N的坐标为(0,土行)

3

故答案为：—

2

此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.

16.4

【解析】

解:利用复数相等，可知由x—2=l,y=l有x+y=4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y2=4%；(2)|AB|=48

【解析】

(1)设Q(x,y),则由题设条件可得jG—iy+V=2/浮，化简后可得轨迹c的方程.

(2)设直线AB:x=My+〃，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简函.a=32并求得〃=8,结合焦半径

公式及弦长公式可求加的值及|A却的长.

【详解】

(1)设Q(苍y),则圆心的坐标为[〒力)

因为以线段PQ为直径的圆与V轴相切，

所以J(XT)2+/=2x,

化简得。的方程为丁=44

⑵由题意女”。0，设直线AB：X=仅y+〃，

联立y2=4x得y2_4my_4〃=0,

设A5(孙％)(其中%%<。)

所以弘+%=4加，且〃>0,

22

因为OA-OB=32,所以OA-OB=x/。+%%=」.~+%%=32，

16

“2_4/=32,所以(〃-8)(〃+4)=0,故〃=8或〃(舍)，

直线AB:x=my+8,

因为的周长为21AM+2

所以归A|+怛用+|A同=2|叫+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

因为|上4|+=玉+尤2+2=m(％+%)+18=4m2+18.

2222

X|AB|=y/l+m1y[-y2\=yjl+m-J(4间？+128=4^1+m^8+m),

所以4m2+18=4^(l+m2)(8+m2)+2,

解得m=±2^2，

所以I=441+叫(8+叫=4^(1+8)(8+8)=48.

本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立

方程组并消元得到关于％或y的一元二次方程，再把己知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系

中含有七/，%+%或％%，%+%，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.

18.(1)见解析；(2)8亘

41

【解析】

(1)取的中点M，证明。四〃4。,石河//。,则平面0加石〃平面40则可证EO//平面ACD.

(2)利用匕_ABO=%-EB°，AC是平面BED的高，容易求.SaBDE=goExCZ)=gx2x3=3,再求“.。，则点E

到平面的距离可求.

【详解】

解：(1)如图：

取BC的中点M，连接ME.

在AABC中，。是的中点，"是BC的中点，

OM〃^。，^。仁平面或攵^^0匚平面项。，故AC〃平面£M0

在直角梯形3CDE中，DE//CB,且DE=CM,

；•四边形MCDE是平行四边形，EM〃CD,同理CD〃平面EMO

又CDcAC=C,故平面EMO//平面ACD,

又EOu平面EMO,，EO〃平面ACD.

(2)QAB是圆。的直径，点。是圆。上异于A、3的一点，

:.AC±BC

又•.•平面BCDE，平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC

.,.AC,平面BC£>E,

可得AC是三棱锥A-BDE的高线.

在直角梯形3CDE中，SABDE=DExCD=-^x2x3=3.

设E到平面4®的距离为无，则％.ABO=VA—EB»，即gs^Bo々ngs捻BaAC

由已知得AB=5,BD=5,AD=372,

由余弦定理易知：cosZABD=—,则S.ABn=-ABBDsinZABD=上叵

25AABD22

解得〃=S叵，即点E到平面的的距离为5区

4141

故答案为：5里.

41

考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.

2

19.(1)—+/=1(2)见解析

4

【解析】

(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数,

Yi!y

即2=°,整理+丫2)-2!11丫］丫2=0.设直线1的方程为x+my-百=0,与椭圆C联立，将

X]—tx2—t

韦达定理代入整理即可.

【详解】

(1)由题意可得^^=2，v1-----T=L又a?—1?2=(：2，

2aa-4b-

解得a?=4，b2=l.

2

所以，椭圆C的方程为x上+y2=l

4

(4拒)

(2)存在定点Q，一，0，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.

设直线1的方程为x+my—百=0,与椭圆C联立，整理得，(4+m2)y2—2百my—1=0.

设B(x2，y2),差+%y=l,定点Q(t,0).(依题意tvx"NX?)

则由韦达定理可得，%+丫2=2妈，%y,=7工.

4+m4+m

直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.

所以，上；+广工=°，即得%(*2_1)+丫2(%一。=0.

]Lzx,2L

又X1+myi-g=0,x2+my2一6二0,

所以，力(6—my2—t)+y2(G—myi—t)=0,整理得，(百—t)(%+y2)—2myiy2=0.

从而可得，(若—t)・二照—2m•一方=0，

即2m(4-向)=0,

AR(4A/3、

所以，当t="9,即Q三一,0时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立.特别地，当直线1为x轴时，

3I3J

Q天一,0也符合题意.综上所述，存在x轴上的定点Q;，°，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.

\7\7

本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.

20.(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求导，得尸(x)=lnx+x+l-a,己知导函数单调递增，又“可在区间仁,+8)上单调递增，故

=ln---+l>0,=-—+1求得/(a)=募，讨论得g(a)〈g(2)=。，而g(a”0,故g(a)=0,

22V'22

进而得解；

(II)可通过必要性探路，当x=2时，由/⑵=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,则，1ax=3,当

a=3,/(x)=%lnx+y-3(%-l),/'(x)=lnx+x-2,结合零点存在定理可判断必存在x°e(1,1.6)使得/•'(%)=0,

得lnx0=2-x°,/(尤)*=/(%)=%in%-3(%-1),化简得〃无)皿=3-f一毛，再由二次函数性质即可求证;

【详解】

(I)/(尤)的定义域为(。,+°°)，f'(x)=\nx+x+l-a.

易知/'(九)单调递增，由题意有了；3=1吟一■!+/().

令g(a)=ln£_^|+l,则g，(4=T

令g'(a)=0得a=2.

所以当0<a<2时，g'(a)>。，g⑷单调递增；当a>2时，g'(a)<0,g(。)单调递减.

所以g(a)4g(2)=0,而又有g(a"o,因此g(a)=0,所以a=2.

(II)由/(2)=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,贝！Jamax=3.

下面证明a=3符合条件.

若a=3,/(x)=xlnx+5-3(x—1).所以/'(x)=lnx+x—2.

易知/'(%)单调递增，而(⑴=T<0,r(1.6)«0.5+1.6-2=0.1>0,

因此必存在不e(1,1.6)使得广(%)=0,即In%=2-%.

且当尤«o,尤。)时，r(x)<o,/(%)单调递减；

当xe(5,+oo)时，/(%)单调递增；

则“对皿=/(%)=%1n%+5一3(/一1)

r2V21A2

X

=x0(2-x0)+^--3(x0-1)=3__Y~O>3—--1.6=0,12>0.

综上，。的最大值为3.

本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题

21.(1)(0,2](2)证明见解析

【解析】

⑴据题意可得尸(x)=/(x)-g(x)=x-工-八”<0在区间(0,1)上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求

X

22

出满足不等式的，的取值范围；(2)不等式整理为一-e%——<二r—'1，由⑴可知当/=2时，-r-—1->2,利用导数判断

xex-x+1xlnxxkix

函数一-——的单调性从而证明--——<2在区间(0,1)上成立，从而证明对任意尤e(O,l),都有H(x)>0.

xev-x+lxex-x+lv''"''

【详解】

(1)解：因为函数/(X)的图象恒在g(x)的图象的下方，

所以/'(%)—g(x)=x—LTlnx<0在区间(0,1)上恒成立.

设方(九)=九一工一〃n%,其中

所以万=]+其中A=r—4，t>Q.

XXX

①当4”0,即0<友2时，尸

所以函数网力在(0,1)上单调递增，F(%)<F(l)=0,

故/(%)-g(x)<。成立，满足题意.

②当产一4>0，即/>2时，设。(％)=三一/