湖南省长沙市六校2024届高三下学期联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市六校2024届高三下学期联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，则，故选：B.2.已知向量，，且，则实数（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗由，，，有，解得．故选：B.3.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度〖答案〗C〖解析〗因为，所以只要把函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．故选：C.4.“”是“圆与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗圆圆心，半径为；圆圆心，半径为；当两圆相切时，可分为内切和外切两种，圆心距为，①当两圆外切时：，即.②当两圆内切时：，即.则根据充分条件和必要条件的判定原则，可知“”是“圆与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.5.若，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则，因为，，所以，，则.故选：C.6.若展开式的常数项为60，则值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为展开式的通项为，令，则，所以常数项为，即，所以.故选D.7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：）A.72 B.74 C.76 D.78〖答案〗B〖解析〗由于，所以，依题意，则，则，由，所以，即，所以所需的训练迭代轮数至少为74次．故选：B.8.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗连接，设，则，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法〖答案〗ACD〖解析〗对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；故选：ACD.10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（）A. B. C.的面积为 D.的周长为〖答案〗ABD〖解析〗由，有，得，选项A正确．因为，由正弦定理有，，得，选项B正确．的面积为，选项C错误．因为，由余弦定理，解得，故的周长为，选项D正确.故选：ABD.11.已知函数则下列说法正确的是（）A.当时,B.当时,直线与函数的图象相切C.若函数区间上单调递增,则D.若在区间上恒成立,则〖答案〗AB〖解析〗对于A,当时,,,当时,,当时,,函数在上单调递减,在上单调递增,,故选项A正确;对于B,当时,,,f'(0)=2,函数在处的切线方程为,故选项B正确;对于C,,若函数在区间上单调递增,则区间上恒成立,即在上恒成立,令,,则,函数上单调递减,,,故选项C错误;对于D,当时,恒成立,此时;当时,恒成立等价于恒成立,即恒成立,设,,则在上恒成立,在上单调递减,,,综上所述,故选项D错误.故选:AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线过点，则其渐近线方程为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线过点，即有，解得或（舍），而，故渐近线方程，即.13.已知复数满足，则_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以.14.立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术商功》，在《九章算术商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图，再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图．现有一四面体ABCD，已知，，，，，，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可求得这个四面体的体积为___________，及该四面体的外接球的体积为___________．〖答案〗4〖解析〗根据资料可得“鳖臑”的由来是将长方体分解一半，得到三棱柱，三棱柱再分成两块；现将“鳖臑”还原成长方体，由已知，，，，，，还原成长方体，如图，从还原的长方体可以看出，四面体的体积；长方体的体对角线即为四面体外接球的直径，，四面体的外接球的体积．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求解：（1）因为是等差数列，可设首项为，公差为，由题意得：，，联立解得：，，是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为.（2）由上问可知，数列是公差为2的等差数列，通项公式.所以,从而可得,从而可得,.16.如图所示的几何体中，四边形是正方形.四边形是梯形，，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.（1）证明：∵，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴.平面，∵，、平面，∴平面/平面，∵平面，∴平面．（2）解：以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，设平面一个法向量，，，则，即，令，则，，∴，设平面一个法向量，，，则，即，令，则，，∴，∴，设二面角的平面角为，则，故.17.要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试考试．已知听力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求参加考试次数的分布列和期望值．解：（1）设“听力第一次考试合格”为事件，“听力补考合格”为事件；“笔试第一次考试合格”为事件，“笔试补考合格”为事件不需要补考就获得证书的事件为，注意到与相互独立，则（2）恰好补考一次的事件是，则；（3）由已知得，，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得，，，参加考试次数的期望值.18.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值．解：（1）当时，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.（2