安徽省合肥市九年级上学期期末数学模拟试题

合肥市20232024学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学模拟试卷（满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围．【详解】解：∵二次函数的图像有最低点，函数图象开口向上，则，解得．故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3.小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理，先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键．【详解】解：由题意得：，，，，斜坡的坡度，故选：C．4.如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若ΔABC的面积为1，则的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABO的面积=AB•OB，由于三角形ABC的面积=AB•OB=1，得到|k|=2，即可得到结论．【详解】解：连接AO∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，∴S△AOB=AB•OB=，∵S△ABC=AB•OB=1，∵S△AOB=S△ABC∴∴|k|=2，∵k＜0，∴k=2，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确S△AOB=S△ABC是解题的关键．5.已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（）A.1，3 B.3，4 C.1，3 D.3，3【答案】A【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【详解】解：∵抛物线y=（x+2）21向左平移h个单位，再向下平移k个单位，∴平移后抛物线的解析式为y=（x+2+h）2k1．

又∵平移后抛物线的解析式为y=（x+3）24．

∴2+h=3，k1=4，

∴h=1，k=3，

故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．6.如图，点分别在Δ边上，，且，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据与，即可得到ΔΔ，即可得到，结合即可得到的值；【详解】解：∵，，∴ΔΔ，∴，∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到与的关系．7.如图，A，B，C为上三点，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在优弧上取点D，连接，，根据圆周角定理得出，再根据，求出结果即可．【详解】解：如图，在优弧上取点D，连接，，∵，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记圆周角定理，求出．8.如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】∵一次函数与二次函数的图象相交于两点，∴方程＝0有两个不相等的根，且这两个根为负根，即函数的图象与x轴有两个交点且交于x轴的负半轴.观察函数的图象可知：∵函数的对称轴：∴函数对称轴在y轴的左侧∵∴函数的图象开口向上综上所述，满足条件的B选项.故选B.点晴：本题主要考查二次函数的图象和性质，并综合考查二次函数图象与直线的交点、交点坐标与方程的关系，熟练应用二次函数的性质、两函数图象交点坐标所构成的方程、方程与函数的关系是解决本题的关键.9.如图，在等腰直角三角形中，．在边，上分别取点D和点E，使，，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】证明，，再证明，可得，求解，再建立方程求解即可．【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．10.已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A.﹣1≤t≤0 B.﹣1≤t C. D.t≤﹣1或t≥0【答案】A【解析】【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【详解】解：如图1所示，当t等于0时，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），当x＝0时，y＝3，∴A（0，3），当x＝4时，y＝﹣5，∴C（4，﹣5），∴当t＝0时，D（4，5），∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t＝﹣1时，此时最小值为﹣1，最大值为4．综上所述：﹣1≤t≤0，故选：A．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果的值是黄金分割数，那么的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据黄金分割得到，再根据分式的性质在分式的分子中加上分母即可求出答案．【详解】解：∵的值是黄金分割数，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了比例的性质，黄金分割定理，熟记黄金分割定理及比例的性质是解题的关键．12.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________．【答案】【解析】【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．【详解】解：都是正方形，，，，，与的面积比为，，设，则，，在中，，由“青朱出入图”可知：，．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．13.如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则______．【答案】【解析】【分析】设，过点作轴于，过点作，交于，过点作轴于，与轴交于，连接，根据反比例函数性质可知，，由可得是等腰直角三角形，可知，利用可证明，可得，，即可用表示出点坐标，利用待定系数法可用表示出直线解析式，可表示出坐标，联立直线与反比例函数解析式可表示出点坐标，根据列方程求出的值即可得答案．【详解】设，过点作轴于，过点作，交于，过点作轴于，与轴交于，连接，∵直线与双曲线交于A、B两点，∴，，，∵，，∴等腰直角三角形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，，联立直线与反比例函数解析式得，解得：，（舍去），∴，∴，解得：，∴，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确求出点坐标，及直线的解析式，并联立函数解析式求出交点坐标是解题的关键．14.如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为．（1）点恰好为中点时，的值为______．（2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为______．【答案】①.2②.【解析】【分析】（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，当点恰好为中点时，，则，设，则，，由题知：，∴，∴，∵△ABC和△EBC的高都是BC，设，∴；故答案是2．（2）点在上且、、在同一条直线上时，设，，，∵，∴，∴，∴，，可得到：，∴，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴；故答案是：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，结合余弦的定义计算是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15.计算：cos245°＋cot230°.【答案】.【解析】【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【详解】原式＝2＋(3)2＝＋3＝.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．16.如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．（1）以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为1：2；（2）利用图中网格线的交点用直尺在线段上找到一点D，使．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，顺次连接、、即可；（2）如图，，，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．【小问1详解】如图所示：即为所求；【小问2详解】如图，点D为所求，如图，，，由平行线分线段成比例定理即可得到，，故点D满足题意．【点睛】此题考查了位似图形的作图、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握作图步骤和平行线分线段成比例定理是解题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；（2）将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．【答案】（1），点的坐标是（2）6【解析】【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【小问1详解】解：把和代入，解得∴抛物线的表达式为∴当x=0时，∴点的坐标是【小问2详解】设平移后的抛物线表达式为把代入得解得∵，∴【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．18.已知：如图，在中，点在边上，且，边的垂直平分线交边于点，交于点．（1）求证：；（2）如果的面积为，且，，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由得，由垂直平分线的性质得到，即可证明；（2）根据相似三角形的性质得到，则，，作于点H，分别求得和，即可得到的面积．小问1详解】解：∵，∴，∵边的垂直平分线交边于点，∴，∴，∴；【小问2详解】∵，∵，∴，∴，，作于点H，，∴，∵，∴，∴【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且．（1）求k的值及线段的长；（2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标．【答案】（1），的长为3；（2）（0，10）．【解析】【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解；（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵，，∴A点纵坐标为4，代入，得，解得，则A点坐标为（8,4），代入，得，解得，设BC为a，则，，解得，，则的长为3；（2）设P点坐标为（0，m），的面积=，的面积=，由题意得，，解得，，P点坐标为（0，10）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程．20.已知四边形内接于，对角线是的直径．（1）如图1，连接，若，求证；平分；（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．【小问1详解】∵对角线是的直径，∴，∴，∴平分．【小问2详解】∵对角线是的直径，∴，∴∵，∴，∴四边形平行四边形，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．六、解答题（本题满分12分）21.居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）．（1）求散热架底边AC的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用计算即可；（2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解；【小问1详解】∵，∴，∵，∴，答：AC的长约为；【小问2详解】过点B作交的延长线于D，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，因为所以显示屏顶部比原来升高了约．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．七、解答题（本题满分12分）22.已知，如图1，在四边形中，，，．（1）当时（如图2），求的长；（2）连接，交边于点，①设，，求关于的函数解析式并写出定义域；②当是等腰三角形时，求的长．【答案】（1）；（2）的长为或．【解析】【分析】（1）在中，解直角三角形得，，再证即可得解；（2）①先求得，，根据，可得定义域，证明可得关于的函数解析式；②分两类讨论求解，当时，作于点Q，作于点P，证得解，当时，作垂直直线于点N，证得解．【小问1详解】解：∵在中，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴即，∴；【小问2详解】解：①如图2，作于点N，∵，，，，∴，∴，，∵，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，②∵，∴，∴，当时，作于点Q，作于点P，如下图，易知四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴即，∴；当时，作垂直直线于点N，如下图，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴即，∴，∵⊥，∴，，∴，解得或（舍去），综上的长为或．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的判