2023–2024学年人教版七年级数学下册专项复习：实数 单元测试（解析版）

第六章实数（单元重点综合测试）

班级姓名学号分数

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.实数9的算术平方根是（）

A.3B.±3C.6D.-73

【答案】A

【分析】本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.算术平方

根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果.

【详解】解：实数9的算术平方根为：79=3,

故选：A.

2.下面各数没有平方根（）

A.55B.（-3）2C.0D.-22

【答案】D

【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键.

【详解】解：（-3>=9,4=4

:负数没有平方根，

.'.-22没有平方根.

故选：D.

3.在卜形）°,双,0,9,0.010010001...,y,-0.333...,将，3.1415,2.010101...（相邻两个1之间有

1个0）中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数就是无限不循环小数，逐一判断即可.

【详解】解：卜血）°=1,网=2,

在卜册,0,9,0.010010001...,y,-0.333…，币,3.1415,2.01010L..（相邻两个1之间有1个

0）中，

无理数有：0.010010001...,y,近共3个，

故选：C.

4.下列等式中，错误的是（）

A.±764=±8B.-^001=-0.1C.4-216=-6D.725=±5

【答案】D

【分析】本题考查平方根、立方根的定义及性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

【详解】解：A、±764=±8,故该选项正确，不符合题意；

B、—Vo.ooi=-0.1,故该选项正确，不符合题意；

C、耳-216=-6，故该选项正确，不符合题意；

D、725=5,故该选项错误，不符合题意.

故选：D.

5.若实数加有两个不相等的平方根是3a-22和2a-3,则加的值为（）

A.25B.49C.5D.7

【答案】B

【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0,列出方程求出。的值，然后求出机的值即可.

【详解】解：根据题意，得：3。一22+2a-3=0,

解得：a=5.

贝|]〃?=（24—3）2=49.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平方根的定义，解题的关键是要知道这两个平方根之间的关系.

6.若a,b为实数,且而T+（9-6）2=0,则标花的值为（）

A.-2B.2C.±2D.3

【答案】B

【分析】此题考查了非负数的性质和立方根，根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关

系式求出。、b的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可，正确运用非负数的性质是解题的关键.

【详解】解：VV^TT+（9-Z?）2=0,

6i+l=0,9—b=0,

角军得：a=—l,b=9,

**•y/a+b=W-1+9=y/s=2,

故选：B.

7.如图，已知数轴上A,8两点分别对应实数-2和近，则A,B两点间的距离为（）

AB

______1,1।।।»

-3-2-1012万34

A.2+V7B.2-bC.-2+77D.-2-77

【答案】A

【分析】本题考查了实数与数轴，关键是观察数轴学会如何求距离.

数轴上A点对应实数-2,8点对应实数S，相减的绝对值就是两点间的距离.

【详解】解：：数轴上48两点分别对应实数-2和g,

.”、B两点间的距离=2一（-2）1近+2,

故选：A.

8.下列说法错误的是（）

A.力与（-。）2相等B.而与-右互为相反数

C.妫与X"互为相反数D.同与卜互为相反数

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数的性质，算术平方根和立方根的概念，熟知实数的性质是解题的关键.

【详解】解：A、.2与（_可2=/相等，原说法正确，不符合题意；

B、6与-右互为相反数，原说法正确，不符合题意；

C、坛与后互为相反数，原说法正确，不符合题意；

D、时与卜4=时相等，不一定互为相反数，原说法错误，符合题意；

故选D.

9.按如图所示程序框图计算，若输入的值为机=81,则输出结果为（）

有理数

A.也B.±73C.3D.-V3

【答案】A

【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，

理解算术平方根是解题的关键.

【详解】当x=81时，算术平方根是9,它是有理数，

再取算术平方根是3,它还是有理数，

再取算术平方根是否，它是无理数，

故输出的结果是6，

故选：A.

10.对于实数无，我们规定卬表示不大于尤的最大整数，如［4］=4,|若|=1，［-2.5］=-3.现对16进行

4

如下操作：16第一次=4第二次忑=2第三次不=1,这样对16只需进行3次操作后变为1.类

似的，对121只需进行（）次操作后变为1.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确［可表示不大于x的最大整数.

［%］表示不大于无的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可.

1913

【详解】解：第一次—第二次第三次

121=11=3忑=1,

...对121只需进行3次操作后变为1,

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（-6?的算术平方根是.

【答案】6

【解析】略

12.比较大小：；______避二1（填“>”或“<”）

22

【答案】<

【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键.

【详解】解：•••叵4一工=避三>0,

222

•1y/5—1

••一〈---,

22

故答案为：<.

9

13.J的平方根是___；痴的立方根是一；J所的平方根是—.

16

3

【答案1±丁2±3/3或-3/-3或3

4

【分析】本题考查了有关实数的开方运算，解题关键在于区分清楚算术平方根和平分根的定义；

根据题意，对所给数字进行开方运算即可.

【详解】解：当的平方根=±、区=±3；府的立方根=*=2,的平方根=±囱=±3,

16V164

3

故答案为：±丁2;士3.

4

A

14.已知JI7的整数部分为。，回的整数部分为b,则一=.

a

【答案】1

【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法，是解答本题的关键.根据题

意，估算JT7,J五的大小，求出。，b,由此得到答案.

【详解】解：根据题意得：

16<17<25,16<21<25,

4<V17<5,4<V21<5，

「•a=4,b=4,

.•心=1,

a

故答案为：1.

15.已知y=>jx-2+也-X+6,X+y的立方根.

【答案】2

【分析】此题考查了算术平方根的非负性，立方根的定义，熟练掌握理解算术平方根的非负性是解题的关

键.根据算术平方根的非负性得到尤的值，以及y的值，再根据立方根定义求出答案.

【详解】解：；x-2N0,2-尤2。，y=Jx-2+，2-x+6,

冗一2=0,

•»x—2,y=6,

x+y=2+6=8,

V8的立方根为2,

x+y的立方根为2

故答案为2.

16.有一列数按如下顺序排列：监,

~A-，-A，./，__,,.，…，则第2023个数是_____.

244163264

［型案］，2024

22023

【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可求解，解题的关

键是将9转化为巫再总结规律.

48

【详解】解：一1「近」，-好，-如，立，…，可转化为一1,一直，3厂好厂逅，立，...，

244163264248163264

观察可得数列中的分式符号按负，负，正，循环出现，

2023+3=674.」，

.•・第2023个数是负数,

观察数列的分子也，V3,4，6，…，即后1，A/2+T-V3+1，/日…,

可得规律：第”个数的分子是阿,

观察数列的分母2,4,8,16,即2、22,23，24，

可得规律：第〃个数的分母是2",

.•・第2023个数是一号!亘

^202322023

故答案为：-续

2023

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

17.计算：

⑴后—阴(2)-22+V16-^8+|>/3-2|.

【答案】（1）-1

（2）-73

【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则.

(1)原式利用平方根，立方根进行化简，计算即可解答；

(2)原式利用平方根，立方根，绝对值进行化简，计算即可解答.

【详解】(1)解：原式=5-3+(-3)=—1；

(2)解：原式=-4+4-2+2-6=-5

18.求下列各式中x的值.

(1)16/=25;(2)%2-4=12；⑶27(x+l)一=3.

【答案】⑴苫二土;

出％=±4

42

(3)&x2

【分析】此题考查了平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键;

(1)方程变形后，利用平方根定义计算即可得出答案；

(2)方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解；

(2)方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解.

【详解】⑴16尤2=25

2

16

解得x=±3；

4

(2)4=12

解得x=±4；

(3)27(x+l)=3

x+l=±—

3

19.已知。+3的立方根是2,。+6-1的算术平方根为3,c?=16.

⑴分别求。，6,c的值；

⑵求3a-6+c的平方根.

【答案】(1)。=5,b=5,c=±4

(2)±714或±A/6

【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根.熟练掌握相关概念，是解题的关键.

(1)根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可；

(2)先求出3a-b+c的值，再计算平方根即可.

【详解】(1)解：：。+3的立方根是2,。+1的算术平方根为3,

o+3=23=8>a+b—1=32=9,

解得：a=5,b=5,

'：C2=16,

c=±4；

(2)当c=-4时，

**•3d—b+c=15—5—4=6,

3a-b+c的平方根是±76.

当c=4时，

3a—〃+c=15—5+4=14,

3a-b+c的平方根是±5/五.

综上所述，3a-6+c的平方根是土JT?或土面.

20.如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块.

(1)求出这个铁块的棱长.

(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方

体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方形铁块底面正方形的边长.

【答案】(1)6厘米；

(2)5厘米.

【分析】(1)根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答；

(2)根据题意列出式子再进行计算即可；

本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键.

【详解】(1)根据题意可得：铁块的棱长为=屈=6(厘米)，

答：这个铁块的棱长为6厘米；

(2)由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为。厘米，

A2x23+8a2=216,16+8片=216,

解得：a=5,

答：长方体铁块底面正方形的边长为5厘米.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

21.如图，在甲、乙两个4x4的方格图中，每个小正方形的边长都为1.

图甲图乙

(1)求图甲中阴影正方形的面积和边长；

(2)请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长,

及边长的整数部分和小数部分(答案直接写在横线上即可).

解：(1)甲：面积=；边长=.

(2)乙：边长=,该边长的整数部分为该边长的小数部分为.

【答案】(1)10；回;(2)75；2；75-2

【分析】本题考查了作图，无理数等知识.

(1)根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可；

(2)令正方形的边长为正即可，再根据算术平方根的估算即可求解.

【详解】解：(1)面积为4x4-4x』xlx3=l。，

2

边长为：V10;

故答案为：io；M；

(2)正方形如图所示,

面积为3x3-4xgxlx2=5,

边长为：舟,

2＜君＜3,

该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为5-2.

故答案为：75;2；出一2

22.归纳与探究：

(2)猜想：对于任意实数°,而一定等于〃吗？利用(1)中的计算，你发现77的值等于多少呢？

*2

(3)应用：有理数6,c在数轴上所对应的点如图所示，c是4平方根.计算：\b-a\-^+J(c-a)

2]

【答案】(1)2,3,0

a>①

-

(2)对于任意实数a,不一定等于病=＜S

<。

⑶2

【分析】(1)分别计算各式的值即可；

(2)根据(1)中各式运算结果，归纳出探究结果即可；

(3)先利用(2)式的探究结果化简各式，再根据字母人6、c在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简,

合并后即可得出结果.

【详解】⑴解：叵=2,=g，，(-3)2=3,/'J=；'再=。・

、21

故答案为：2,-,3,—,0；

34

r-rIQ(Q20)

(2)解：由(1)各式计算结果可以发现：对于任意实数。，有I;、

故对于任意实数a,7?不一定等于。；

(3)解：由数轴，得人-。〈03〈。,。-。＞0,

•,--J)?二-b,不(c-Q)=c-a，

・••原式=a_〃_(_〃)+(,一〃)

=a-6+/?+c—a

=c

：c是4的平方根，且c为正数，

；•c=2,

原式=2.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正

确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力.

23.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，

则称这三个数为“完美组合数”.例如：-1、-4、-9这三个数，7(-9)xH)=6,7(-9)x(-1)=3,

"(7)x(一1)=2,其结果6、3、2都是整数，所以-1、-4、-9这三个数称为“完美组合数”.

(1)-3、-12、-27这三个数“完美组合数”(填“是”或“不是”).

⑵若三个数-5、根、-20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15,求机的值.

【答案】⑴是

(2)〃z=T5

【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，正确理解新定义是解题的关键.

(1)分别求出-3、-12、-27这三个数两两乘积的算术平方根，再根据“完美组合数”的定义判断即可；

(2)分Q/=15,J-20"?=15,两种情况求出〃2的值，看是否符合题意即可.

【详解】(1)解：IJ(-3)X(-12)=屈=6,J(-3)x(—27)=a'=9,J(—12)x(—27)=屈^=18,其中

6,9,18都是整数，

-3、-12、-27这三个数是“完美组合数”，

故答案为：是；

(2)解：当J-5冽=15时,则-5m=225,解得根=-45,

・・・J(T5)X(—20)=胸5=30,=JI55=1O,且10,15,30都是整数,

・••此时满足-5、祇、-20是“完美组合数”；

当」一20加=15时,贝(J-2。切=225,解得小=,不满足相是整数，不符合题意；

综上所述，m=-45.

五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

24.观察下列各式：

J1+11

第一个式子：=1+—=1+(1--);

v1x22

J1+J111-11、

第二个式子：一+?=1+------=1+(------)

2x323

】11/I、

第三个式子：1+-----=1+(-------)

3x434

⑴求第四个式子为:

(2)求第〃个式子为：(用〃表示);

⑶求J+:+:+J1+:+(+J1+J+:+…+J1+11

20222+20232的值.

【答案】⑴»+*1+贵=1+1.1

45

[~ii'i-,(i3)

(2)J1+—+;TT=1+I=1+—(〃为正整数)

Vn(n+1)仆+6)I"n+lj

2022

(3)2022------

2023

【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是:

(1)观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题.

(2)利用(1)中的发现即可解决问题.

(3)根据(2)中的结论即可解决问题.

【详解】(1)解：观察题中所给式子可知,

第四个式子为：,+»1+白=1+(丁，

故答案为：Ji+*A】+总=i+4T.

(2)由(1)中的发现可知，

第〃个式子为：]).

、n(n+1)n(n+1)nn+1

故答案为：、1+4+』7=1+7、=1+.一二)(”为正整数).

yn(〃+1)n(n+1)nn+1

(3)原式=1+1」+1+!」+...+1+-^.........—

22320222023

1

।1x2022+1,——1+1--1----+…+----1----

22320222023

1

=2022+1-

2023

2022

=2022

2023

25.如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点。重合，一条边恰好落

在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和