2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理测评训练含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE1-第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024山西朔州一模)若2x+2xn的二项式绽开式中二项式系数的和为32,则正整数A.7 B.6 C.5 D.4答案C解析∵2x+2xn的二项∴2n=32,∴n=5.2.(2024北京朝阳期末)一般地,一个程序模块由很多子模块组成,一个程序模块从起先到结束的路途称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块,则该程序模块的不同的执行路径的条数是()A.6 B.14 C.49 D.84答案C解析依据分类分步计数原理可得(2+2+3)×(4+3)=49(种).3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有()A.36个 B.42个 C.30个 D.35个答案A解析由题意知,b只能从1,2,3,4,5,6中选一个数字,有6种选法,a从剩余的6个数字中选一个数字,共6种选法,故满意题意的虚数有6×6=36(个).4.2x-1x23A.-6 B.-2 C.2 D.6答案A解析2x-1x23的绽开式的通项Tk+1=(-1)k·(2)3-kC3kx3-3k,令3-3k=0,得5.(2024四川绵阳期末)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a3+a5=()A.61 B.121 C.122 D.224答案C解析∵(1+2x)5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5,∴令x=1,得(1+2×1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243;令x=-1,得[1+2×(-1)]5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.∴a1+a3+a5=12×(243+1)=1226.(2024河北衡水模拟)(x2+x+1)x-2x5的绽开A.40 B.-80 C.120 D.140答案B解析∵x-2x5的绽开式的通项为Tk+1=C5k·(-2)k·∴(x2+x+1)x-2x5的绽开7.(2024山东聊城二模)2024年是脱贫攻坚年,为顺当完成“两不愁,三保障”(“两不愁”即不愁吃、不愁穿,“三保障”即义务教化、基本医疗、住房平安有保障),某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三个县进行帮扶,则不同的派出方法种数为()A.15 B.60 C.90 D.540答案C解析先把6个人平均分成3组,有C62C42C22A33=15种方法,再把这3组分派到甲、乙、丙三个县,8.杨辉三角是杨辉的一大重要探讨成果,现将杨辉三角中的数换为正整数,形成三角数表,并按如图规律排列(例如9为第4行第3列,12为第5行第4列),则2019为()A.第63行第5列 B.第63行第3列C.第64行第6列 D.第64行第3列答案D解析由题意及图形知,第n行有n个数(n∈N+),奇数行的数字从左向右递减,偶数行的数字从左向右递增,∴在该图中,前n(n∈N+)行共有n(n∵63×642=2016<202464×652=2080>2024∴在前63行,共有2016个数,此时2024位于第64行.∵偶数行的数字从左向右递增,∴第2024为第64行第3列.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列等式正确的是()A.CB.CC.C51+D.C答案ABD解析由组合数的运算性质知:C50+C51+C52+C10.下列关于(a-b)10的说法,正确的是()A.绽开式中的二项式系数之和是1024B.绽开式的第6项的二项式系数最大C.绽开式的第5项或第7项的二项式系数最大D.绽开式中第6项的系数最小答案ABD解析由二项式系数的性质知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正确;二项式系数最大的项为C105,是绽开式的第6项,故B正确,C错误;由绽开式的通项为Tk+1=C10ka10-k(-b)k=(-1)kC10k11.(2024江苏连云港期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位支配利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是()A.某学生从中选3门,共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最终一周,共有504种排法答案CD解析依据题意,依次分析选项:对于A,某学生从中选3门,6门中选3门共有C63=20(种),故A对于B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,支配“射”“御”,共有A44A52=480种排法对于C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,由捆绑法分析,将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有A33A44=144种排法对于D,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最终一周,分2种状况探讨,若课程“乐”排在最终一周,有A55种排法,若课程“乐”不排在最终一周,有C41C41A44种排法,12.某中学为提升学生劳动意识和社会实践实力,利用周末进社区义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必需参与并不占名额,每个班都必需有人参与,则下列说法正确的是()A.若1班不再安排名额,则共有C204种B.若1班有除劳动模范之外学生参与,则共有C195种C.若每个班至少3人参与,则共有90种安排方法D.若每个班至少3人参与,则共有126种安排方法答案BD解析对于A,若1班不再安排名额,则20个名额安排到5个班级,每个班级至少1个,依据插空法,有C194种安排方法,故A对于B,若1班有除劳动模范之外学生参与,则20个名额安排到6个班级,每个班极至少1个,依据插空法,有C195种安排方法,故B对于CD,若每个班至少3人参与,相当于16个名额被占用,还有4个名额须要分到6个班级,分5类:①4个名额到一个班,有6种;②一个班3个名额,一个班1个名额,有A62=30(种);③两个班都是2个名额,有C62=15(种);④两个班1个名额,一个班2个名额,有C61C52=60(种);⑤四个班都是1个名额,有C64=15(种),则共有126三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若6Cn2=An3答案5解析若6Cn2=An3,则6×n(n-114.(2024江苏泰州期末)在某市举办的中学生运动会上,将4名同学全部安排到田径、游泳和球类3个不同竞赛项目做志愿者,共有种不同安排方法;若每个项目至少须要1名志愿者,则不同的安排方法有种(用数字作答).

答案8136解析对于第一空:每个学生都可以被安排到运动会的田径、游泳和球类3个不同竞赛项目中的一个,有3种安排方法,则4名同学有3×3×3×3=81种安排方法;对于其次空:分2步进行分析:①先将4名同学分成3组,有C42=6②将分好的三组全排列,支配到3个不同竞赛项目,有A33=6种则有6×6=36种不同的安排方法.15.(2024福建三明二模)已知(1+ax)(1+x)5的绽开式中x2的系数为20,则a=.

答案2解析∵已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+C51x+C52x2+C53x3+C5绽开式中x2的系数为C52+aC51=20,16.元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯须要取下,每次取1盏,共有种不同取法.(用数字作答)

答案90解析因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必需先取下面的灯,即每串两个灯取下的依次确定,问题转化为求六个元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列数,先将六个元素全排列共有A66种排法,因为甲乙依次确定,丙丁依次确定,戊己依次确定,所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为A66A22A22A22=四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血共有28人,A型血共有7人,B型血共有9人,AB型血共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?解从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事务都能完成,所以由分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事务才完成,所以用分步乘法计数原理,共有28×7×9×3=5292种不同的选法.18.(12分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前全部数之和;(3)摸索究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.解(1)Cn(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.(3)设Cnr-1∶C由Cnr-1即3n-7r+3=0.①由CnrCn即4n-9r-5=0.②解①②联立方程组,得n=62,r=27,即C6226∶C6227∶19.(12分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且a2=60,求:(1)n的值;(2)-a12+a222-a3解(1)因为T3=Cn2(-2x)2=a2x所以a2=Cn2(-2)2化简可得n(n-1)=30,且n∈N+,解得n=6.(2)Tk+1=C6k(-2x)k=akx所以ak=C6k(-2)所以(-1)kak-a12+a222-=C61+C62+…+C6620.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下,有多少种不同的站法.(1)女生不站在两端;(2)女生相邻;(3)女生不相邻;(4)站成两排,前排3人,后排4人.解(1)先考虑两端站的人,再考虑其他位置,满意条件的站法有A52·A5(2)将相邻对象捆绑,当作一个对象,与其他对象一起全排列,可得满意条件的站法有A66·A2(3)分两步:第一步,先排男生,有A55其次步,将2名女生插入男生所形成的6个空(包括两端)中,有A62由分步乘法计数原理知,满意条件的站法有A55·A6(4)无论分成多少排,实质都是要在7个不同位置上排7个不同对象,因此满意条件的站法共有A77=5040(种21.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求全部偶数的个数;(2)在组成的三位数中,假如十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.解(1)将全部的三位偶数分为两类:①若个位数为0,则共有A42=12个;②若个位数为2或4,则共有2×3×3=18个.所以,共有30(2)将这些“凹数”分为三类:①若十位数字为0,则共有A42=12个;②若十位数字为1,则共有A32=6个;③若十位数字为2,则共有A22=2个.所以,共有(3)将符合题意的五位数分为三类:①若两个奇数数字在百位和万位,则共有A22·A33=12个;②若两个奇数数字在十位和千位,则共有A22·C21·所以,共有28个符合题意的五位数.22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)