考点08 二次函数与方程不等式之间的关系（解析版）

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（k是常数）与x轴交于A、B两，其中点A的坐标为，点在此抛物线上，其横坐标为，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B的坐标；(3)当点P在x轴上方，且的值随m的增大而增大时，求m的取值范围；(4)当抛物线上点A与点P之间的部分（包括点P）的最高点到y轴的距离等于时，直接写出m的值．【答案】(1)(2)(3)当时，的值随m的增大而增大(4)或或【分析】（1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求出的值即可；（2）令，求解即可；（3）由可得，进而得出，，则，根据二次函数的性质即可求解；（4）分三种情况讨论：当时，此时最高点为点，且点在轴上方，由最高点到轴的距离等于可得方程，求解即可；②当时，此时最高点为抛物线的顶点，且点在轴上方，由最高点到轴的距离等于可得方程，求解即可；③当时，此时最高点为抛物线的顶点，且点在轴下方，由最高点到轴的距离等于可得方程，求解即可．【详解】（1）点在抛物线上，，解得：，此抛物线的解析式；（2）令，得，解得：，，；（3），点的横坐标为，，轴，，，，，，当时，的值随的增大而增大；（4），抛物线的顶点坐标为，①当时，此时最高点为点，且点在轴上方，，解得：（舍去），；②当时，此时最高点为抛物线的顶点，且点在轴上方，，解得：，（舍去）；③当时，此时最高点为抛物线的顶点，且点在轴下方，，解得：，（舍去）．综上，或或．【点睛】本题主要考查用待定系数法求抛物线解析式、求抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质、解二元一次方程，解题关键是：（1）利用待定系数法正确求出抛物线解析式；（2）熟知求抛物线与轴交点坐标的方法；（3）熟练掌握二次函数的图象与性质；（4）利用分类讨论思想，正确列出方程并求解．2．已知抛物线与x轴交于不同的两点．(1)求的取值范围；(2)证明该抛物线经过象限内的某个定点P，并求点P的坐标；(3)设抛物线与轴的两个交点分别是A，B，当时，的面积是否有最大值或最小值？若有，求出该最大值或最小值及对应的的值；若没有，请说明理由．【答案】(1)且(2)证明见解析；(3)的面积有最大值，最大值为，此时，的面积无最小值【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键：（1）根据根的判别式求出m的取值范围：（2）根据题意可得y的值与m无关，把原函数关系式变形为，令，求出x的值，即可求解；（3）先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，可得，再由，可得，从而确定的取值范围，求得的面积为，从而得解．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，且，∴且，解得：且，∴的取值范围是：且；（2）解：∵∴，即，令，解得：，当时，，此时抛物线过点；当时，，此时抛物线过点(舍去)；∴该抛物线经过象限内的某个定点P，点P的坐标为；（3）解：的面积有最大值，无最小值．当时，，解得：，∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，∴，∵，∴，∴，，∴当时，有最大值，最大值为，根据题意得：的面积为，∴当最大时，的面积有最大，最大值为，此时．无最小值，的面积无最小值．3．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．

(1)若，，求a的值；(2)若，，（ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况；（ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围．【答案】(1)(2)（ⅰ）抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；（ⅱ）当，a的取值范围为或【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，综合运用二次函数的知识是解题关键．（1）如图：过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，代入得到方程组求解即可；（2）将，代入可得；（ⅰ）列出方程再画成一般式，然后运用根的判别式判定即可；（ⅱ）分和两种情况，分别运用二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：过C作轴于点D．

由题意可知，∵，∴，设，则，，抛物线解析式为，把代入得：，解得．（2）解：∵，，∴，（ⅰ）由题意可得：，即，∵，∴，∴抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；（ⅱ）∵，，∴抛物线的对称轴为，当时，由，则，解得：；当时，由，则或，解得：；综上，当，a的取值范围为或．4．如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．(1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式；(2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，则，可求，当，则，可求，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，的图象与直线平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令，则，解得，或，∴，当，则，即，设一次函数解析式为，将，代入得，，解得，，∴一次函数的解析式为；（2）解：由题意知，的图象与直线平行，如图，∵当时，对于x的每一个值，，∴由图可知：．【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数的图象经过、、三点．

(1)求二次函数的解析式；(2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________．(3)不等式的解集为__________；【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为，进而代值求解a值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线与二次函数图象有两个交点时的m值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数的图象与直线的交点坐标为，，再根据图象，求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可．【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式，将代入，得，∴二次函数的解析式为，即；（2）解：∵，∴当时，y有最小值，∴当时，直线与二次函数的图象有一个交点，即方程有两个相等的实数根，当时，直线与二次函数的图象有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，故答案为：；（3）解：由图可知，二次函数的图象与直线的交点坐标为，，∴当或时，二次函数的图象位于直线上方，故不等式的解集为或，故答案为：或．6．已知二次函数的图象与x轴两交点为、．(1)填空：________；(2)求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，熟知二次函数与x轴两个交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解是解题的关键．（1）由题意知，，是一元二次方程的两个根，则由根与系数的关系可得；（2）由题意知，，是一元二次方程的两个根，则由根与系数的关系可得，，再由进行求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，是一元二次方程的两个根，∴，故答案为：；（2）解：由题意知，，是一元二次方程的两个根，∴，．∴．7．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可；（2）联立两个函数的解析式，消去得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当＜＜结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把代入中，抛物线的解析式为：（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：整理得：∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得：∴（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，当m≥2时，当x=2时，y有最大值，∴=3，∴m=，综上所述，m的值为-或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．(1)若，①求此抛物线的对称轴；②当时，直接写出m的取值范围；(2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由．【答案】(1)①；②或(2)，理由见解析【分析】（1）①把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；（2）把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．【详解】（1）解：①当时，点，把点代入得：，解得：，∴该函数解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线；②令，则，解得：，∴抛物线与x轴的另一个交点为，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，m的取值范围为或；（2）解：，理由如下：把点代入得：，∵，∴，∴，∴，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，∵，∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点．(1)求直线的函数表达式及点的坐标；(2)点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．当时，求的值．【答案】(1)，(2)的值为2，3或【分析】（1）先求得点A坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式，进而可求解点C坐标；（2）由题意，点，的坐标分别为，，且，，分当点在直线上方时和当点在直线下方时两种情况，结合坐标与图形列方程求解即可．【详解】（1）解：对于，当时，，解得，.点在轴正半轴上，∴点的坐标为.设直线的函数表达式为.将，两点的坐标，分别代入，得，解得，直线的函数表达式为；将代入，得，∴点的坐标为；（2）解：由题意可知：点，的坐标分别为，，且，∵点的坐标为，∴，则，如图，当点在直线上方时，，∵，∴解得∵∴如图，当点在直线下方时，，∵，∴解得，综上，的值为2，3或．【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题、待定系数法求函数表达式、坐标与图形、解一元二次方程等知识，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．10．已知二次函数．(1)求证：对于任意的实数，该二次函数图象与轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与轴有两个公共点，，且点坐标为