期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类（原卷版）

专题08期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类

题型归纳

的g(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像.

⑴求函数g(x)的解析式；

⑵若xe0,-,求函数g(x)的值域.

2.(2324高一下•上海•期末)已知函数/(元)=Asin(0x+e)(A>O,0>O,O<e<])的图象与x轴的交点中，相邻两

个交点之间的距离为且图象上一个最低点为加(,,-2).

⑴求的解析式和周期.

(2)当xe哈申时，求/(X)的值域.

3.(2324高一上•浙江杭州•期末)已知函数f(x)=2j5sinxcosx+2cos之％-2.

⑴求函数y=在R上的单调递增区间；

(2)将函数y=/(尤)的图象向左平移三个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若

实数和薮满足g(%)g(xz)=Y,求人-刃的最小值.

4.(2324高一上•湖北.期末)已知函数/(x)=acos(2x+mJ+b-2(o>01eR),且函数在区间0,；上的值域

为［-2』.

⑴求函数“X)的解析式；

⑵令函数g(x)=w(x),求函数g(x)的单调递增区间.

5.(2324高一上•湖北武汉.期末)如图是函数〃x)=Asin(ox+e)(A>0,(y>0,0<|同<g)图象的一部分

⑴求函数“X)的解析式;

(2)若关于x的方程」^+2〃51112天一仁)一2〃+2=0在上有解，求实数a的取值范围.

6.（2324高一上.江苏盐城・期末）已知点4（和八阳））,2（々"（々））是函数〃同=仄抽（5+夕）卜＞0,-1＜夕＜0

图象上的任意两点，〃0）=T，且当|〃为）-/伍）|=20时，区-目的最小值为兀.

⑴求〃尤）的解析式；

⑵将y=〃x）图象上所有点的横坐标变为原来的《倍，纵坐标不变，再向左平移;个单位得到y=g（力的图象，若

g（x）在区间（0,m）上有最大值没有最小值，求实数机的取值范围.

7.（2324高一上•福建三明・期末）某同学用“五点法”画函数“x）=Asin（s+0}＞0,。＞0,附＜曰在某一个周期

内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

兀3兀

a)x+(p0兀2兀

2~2

7175

X——71一兀

~3126

“X)020-20

⑴根据以上表格中的数据求函数〃尤）的解析式，并求函数〃尤）的单调递增区间；

（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移茎个单位长度，得到函数g（x）

rr5冗

的图象.当xe时，关于x的方程g（x）=a恰有两个实数根，求实数。的取值范围.

JTJT

8.（2324高一上・山东德州・期末）已知函数/5）=1-2°-2后11尤-2＜：052天，当代----时，/⑺的最小值为g（a）.

o2_

⑴求g（。）；

（2）若g（a）=g,求。的值及此时/（x）的最大值.

9.（2324高一上•吉林延边•期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上

转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩

天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进

入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计

时.

⑴经过f分钟后游客甲距离地面的高度为“米，已知H关于f的函数关系式满足"（r）=Asin（d+°）+3（其中

A>O,0>O,帆归兀）），求摩天轮转动一周的解析式"⑺；

（2）若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？

平面向量及其应用解答题

10.（2324高二上•陕西汉中•期末）已知空间向量4=（3,2〃+1,-1）/=（切+1,2,2"）.

⑴若a〃b,求实数"，与"的值；

（2）若,且〃j.e,求%.

11.（2223高一下•辽宁葫芦岛•期末）已知非零向量b满足忖=1,且（2。+6）.（2°-6）=3.

⑴求W；

1Irr.

⑵当=时，求囚+”口向量3与20+）的夹角e的值.

12.(2324高一上.浙江宁波・期末)已知向量a=(1,2),0=(cosa,sina),c=(-l,O).

(1)求W+c|的最大值，并求此时。的值;

(2)若求夕6的取值范围.

13.(2122高三上•辽宁铁岭•期末)已知向量。=(85(尤+：),5/§),6=(2$皿尤-£),8$2尤)，函数/(x)=a-b.

(1)求/(x)图象的对称中心；

⑵求在区间上的最大值和最小值，并求出相应尤的值.

14.(2122高一上•辽宁锦州•期末)平面直角坐标系中B(O,-1),。为坐标原点.

(1)令Q=OA,Z?=03,若向量|山+。|二百，求实数।的值；

(l—l—\IUUDIUUTI2

⑵若点C(«，«+3),求口C-画的最小值.

15.(2223高一下•全国•期末)如图，在.。记中，已知产为线段A3上的一点，|。4|=4,\0B\=2,且04与0B的

夹角为60°.

⑴若8尸=引，求|PA|；

(2)若OP=OA+hOB，且OP_LAB，求实数左的值;

(3)若8尸=32,且0尸=k04+广08,求OPAB的值.

16.(2223高一下•内蒙古赤峰期末)已知向量m=(A/5COSGX,1),〃=(sinox,cos?a)x--j(>0),函数/(x)=

其最小正周期为g.

2

⑴求〃x)的表达式；

(2)将函数/(x)的图象向右平移?个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

O

得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调增区间和当口卜己］时，函数y=g(x)的值域.

12

17.(2122高一下•湖北武汉•期末)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A民。三点满足=+

AC

⑴求——值；

CB

⑵已知A(l,cosx),2(1+sinx,cos尤)，且xe0,1,若函数/(x)=O4OC+(2根+网+/的最小值为10,求实数机

的值.

II

题型03解三角形解答题

■।

18.(2324高二下•青海海西•期末)已知.ABC的内角ABC的对边分别为a,6,c,C为锐角，且a=2cinA.

(1)求角C的大小；

⑵若的面积为c=g,求/+〃的值.

19.(2324高二上•湖南长沙•期末)已知。，4c分别为ABC的三个内角A3,C的对边，且asinB=扬cosA.

⑴求A的值；

⑵若。=2,且一ABC的面积为石，求b,c.

20.(2324高三上.浙江杭州•期末)已知一ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,6=8,角C为

锐角，已知ABC的面积为4近.

(1)求c；

⑵若8为上的中线，求N3OC的余弦值.

21.(2324高二上•辽宁朝阳•期末)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(sinA,6+c),

zj=(sinC-sinB,a+b),且阴〃力.

⑴求角C；

(2)若》=2,ABC的面积为百，求ABC的周长.

22.(2324高一上•浙江绍兴•期末)在ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若2c-合+/.

2

⑴证明:二+二

tanAtanBtanC

⑵求泊取值范围.

23.(2324高三上•湖北襄阳・期末)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足

(«-Z7)sinA+(6—c)sinB=(c—6)sinC

(1)求角C；

(2)若。4.。5=4,°=26，求一ABC的周长.

24.(2324高三上•宁夏石嘴山•期末)在JLBC中，。、6、c分另I］是角A、8、C的对边，acosC+ccosA=若，°=

⑴求。；

⑵记ABC的面积为S,若5=；(/+。2一〃)，求age的周长/.

25.(2324高三上•山东青岛・期末)记/1BC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知tan2=；tanC.

(1)求一袅的值；

a

(2)若a=0T,且.ABC的周长为7+历，求边匕上的高.

26.(2324高三上•山东聊城・期末)记.ABC的内角A氏C的对边分别为。，b,c,已知

(sinC+sinB)(c-Z?)=a(sinA-sinB).

(1)求角C的大小；

⑵设c=3,CACB=1，求，IBC的周长.

三角恒等变式解答题

27.(2324高一上•福建莆田•期末)已知sina=；,sin(^-a)=^,且a,/?e0吃

⑴求用的值;

（2）求cos（2a+£）的值.

28.（2324高一上•浙江杭州•期末）已知函数/（x）=Ksin2x+2cos2x-l.

⑴求〃尤）的单调递增区间；

（2）右/=w,ae\—,n\,求sin[a+zj的值.

29.（2324高一上•江苏无锡・期末）（1）若tan（a+2/7）=2,tan£=—3,求tan（a+p）,tana；

（2）已知sina=，Z,cos4=逊，且戊,夕为锐角，求。+2£的大小.

1010

/八-rMcos*+a43sincr+2cos13/士

30.（2324高一上•安徽宿州・期末）(1)已知(2)_0,求一-----------的值.

---7------=一乙sin二一2cosa

cos(兀+a)

（2）已知角a的终边过点尸（3,4）,求cos(a+0的值.

31.（2324高一上•安徽安庆・期末）已知a£(0,元),且己os2a-lOcosa-1=0.

⑴求sina的值;

⑵求cos|a+£^cosf的值.

32.（2324高一上•云南昭通・期末）已知函数/（x）=4sinxsinXGR.

(1)讨论“X)在-不，§上的单调性；

一.„।7C।67C7C,、,.,,

x0+—1=-,x0e,求cos2%的值.

sin(7i-cos(2TI-6)tan(?i+6)

33.（2324高一上•山东临沂・期末）已知/（。）=

tan(-71-8)sin(一兀一8)

⑴若角e是第三象限角，且sin（。-兀）=?，求/（⑶的值;

(2)若夕为锐角,且(4cos50-tan40)tan6=l,求若。)的值.

3

34.（2324高一上•江苏南通・期末）已知兀tancr=—

4

⑴求sin,一

（2）求sin/?.

!产型051复数解答题

35.（2223高一下•天津•期末）已知复数2=机-i（meR）,且丁（l+3i）为纯虚数（［是z的共辗复数）.

（1）求实数机的值；

⑵设复数4=华电，求㈤；

1—1

2023

（3）复数7=巴a~-*i—在复平面内对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

Z

6+47771

36.（2021高二上•陕西延安•期末）已知复数z='一（mwR,i是虚数单位）.

⑴若Z是纯虚数，求机的值；

⑵设三是z的共朝复数，若复数1_2z在复平面上对应的点位于第二象限，求相的取值范围.

37.（2223高一下•陕西安康・期末）⑴已知复数-l+3i是关于x的方程f+px+q=0（，qeR）的一个根，求p+q

的值；

（2）已知复数4=5-10i,Zz=3+4i」=L+-*-,求彳.

ZZ]z2

71571

38.（2223高一下•河南南阳•期末）已知复数4=2sin"&i,z=l+（2cos6»）i,

26'1"

（1）若z「z?为实数，求6的值;

⑵设复数4,Z2在复平面内对应的向量分别是.力，若（2a-b）M"2b）,求cos0-^的值.

39.（2223高一下•河南新乡•期末）已知复数z的虚部为一2,且z（i+2i?）为纯虚数.

⑴求Z;

⑵若复数z是关于X的方程X2+mx+"=o（,n,〃eR）的一个根，求m,n的值.

I题型06立体几何解答题

1

40.（1718高一下•北京西城・期末）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是正方形，PAJL平面A3CD,且

B4=AT>=2,点E为线段尸D的中点.

⑴求证：尸3//平面AEC；

⑵求证：平面PCD；

（3）求三棱锥A-PCE的体积.

41.（1516高二上•江西赣州•期末）如图，四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。为正方形，9_1面48。。，PD=AB=2,

E,尸分别是PC,AO的中点.

⑴证明：DE〃平面尸尸8；

（2）求三棱锥A-PFB的体积.

3

42.（2324高一下•广东•期末）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC=6,AB=10,cosZCAB=-,A4,=8,

点。是AB的中点.

⑴求证：4?"/平面05如

⑵求证：AC±BC1；

(3)求三棱锥4-耳8的体积.

43.(1920高三上.北京昌平・期末)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面4汨，

ABCD,EF=1,AE=DE=42.

⑴求证：CD〃平面ABFE；

(2)求证：平面平面CDE产；

⑶在线段CD上是否存在点N,使得引V，平面ABEE?说明理由.

44.(2324高三上•四川成都・期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABLAD,AD//BC,

侧面巳4归_1面48。，PA=AB=AD=2,BC=4,E为尸。的中点.

(1)求证：面面X4B；

⑵若NPAB的大小为60。，求四棱锥E-A3CD的体积.

45.(2223高二下•新疆喀什•期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，尸C,平面ABC。，AB//DC,DC±AC.

⑴求证：OCL平面PAC；

(2)若AB=2,AC=PC=1,求点C到平面小4的距离.

46.（2324高三上.四川成都・期末）如图，四棱锥P—A6CD中，AD//BC,BCLCD,BC=2CD=2AD=2^2,

平面ABCD1平面PAC.

p

(1)证明：PC.LAB；

(2)若尸A=PC=9^AC,用是9的中点，求三棱锥C-P&W的体积.

2

47.(2223高二下•天津红桥・期末)如图，六棱锥尸-ABCDEF的底面是边长为1的正六边形，PAJL平面ABC,

PA=2瓜

(1)求证：直线BC//平面尸AO；

(2)求证：直线ED_L平面B4E；

(3)求直线PD与平面ABC所的成角.

48.(2324高三上.陕西汉中.期末)如图，在直三棱柱ABC-A与G中，AC=AB=2,3C=20，M=4,D,

E分别为AA，B片的中点.

(1)证明：平面ACE，平面ABBiA；

(2)求三棱锥D-ACE的体积.

49.(2324高二上•四川乐山・期末)已知四棱锥P-ABCD中，PD，平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，且48=2代,

4)=2,PD=2,ZS4D=30°,E为PC中点，/为AB中点.

⑴证明：EF〃平面R4D；

⑵求点B到平面DEF的距离.

II

题型07新定义解答题

■]

50.(2324高一上・福建宁德•期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼

XX

茨等得出“悬链线”方程c(/+e-4,其中c为参数.当c=l时，就是双曲余弦函数coshx==二，类似地我们可

》一22

以定义双曲正弦函数sinhx=三匚.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

⑴类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.(只写出即可，不

要求证明)；

(2)Vj;e[-l,l],不等式cosh2x+根coshxNO恒成立，求实数加的取值范围；

⑶若xe卢，当，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.

42

51.(2023・上海金山・一模)网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购

买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.

图1图2

（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角a不能超过：7T，且底面

至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD,AD=0.8m,

TT

AB=2.4m,而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够.若以倾斜角a=二的方式进客户家门，小金能否将冰箱

运送入客户家中？计算并说明理由.

（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收.为了省力，小金选择将冰箱水平推

运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）.推运过程中遇到一处直角过道，如图2

所示，过道宽为L8米.记此冰箱水平截面为矩形EFG8,£H=1.2m.设乙PHG=/3,当冰箱被卡住时（即点H、G

分别在射线尸R、PQ上，点。在线段所上），尝试用"表示冰箱高度所的长，并求出EF的最小值，最后请帮助

小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到01m）

52.（2223高一下•北京海淀・期末）设T>0,对定义在R上的函数”力，若存在常数S,使得〃x+T）=〃x）+S

对任意xeR恒成立，则称函数〃尤）满足性质P（T）.

⑴判断下列函数是否具有性质尸⑵？

2

①/（x）=simcr,@f2（x）=x,③［（x）=2x+l.

（2）若函数f（x）具有性质尸口）,尸（幻,其中求证：函数具有性质尸（n-工）；

⑶设函数P（x）=〃x）+g（x）具有性质尸（T）,其中/⑺是奇函数，g（x）是偶函数.若=求型的

值.

53.（2223高一下・北京东城・期末）对于三维向量以=（4，%,）（4，%*”电左=0,1,2,.）,定义“产变换”:

%+1=尸(%),其中'4+1=艮一%|,%+1=|%-2/6+]=上一々].记(4)=4阴上，,卜4+%+Zk.

⑴若%=（3,1,2）,求卜2〉及卜21;

⑵证明：对于任意经过若干次尸变换后，必存在KeN*,使@）=。;

⑶己知4=（P，2,q）（qWp）』a』=2024,将.再经过机次/变换后，卜』最小，求加的最小值.

54.（2324高一下.四川内江・期中）若定义在A上的函数和定义在B上的函数g（x）,对任意的国eA,存在％eB,

使得8（当）=/（/为常数），则称〃x）与g（x）具有关系P⑺.已知函数"X）=2COS[2X+KJ,尤仁[历.

⑴若函数g（x）=4sinx,xeR,判断与g（元）是否具有关系P⑵，并说明理由；

⑵若函数g（x）=2x+a,xe[-l,2],且与g（x）具有关系尸（4）,求°的最大值；

⑶若函数g（x）=cos2_x-mcosx+5,xeR,且/（%）与g（x）具有关系尸⑶，求机的取值范围.

55.（2021高一下•北京・期末）已知集合S“=3X=（占,％,LeR,i=l,2,L,〃},称无，为X的第i个分量.对

于S,的元素A=（q,%，L,%）,3=（4也,L,么），定义A与5的两种乘法分别为：

AxB=（op?—ajb[,a力3-a出工，〃也一42）

A*3=（qa2+24LMM+24）

给定函数“X）,定义s“上的一种变换/田/）=（〃为）,〃々）工J（x“））.

（1）设1（耳=凡4=（1,0,-1）,5=（-1,