高考数学专项复习：平面向量的数量积 常考题型归类（共10题型）（原卷版）

专题03平面向量的数量积

盛型大裳合

一、向量数量积的运算律六、根据向量夹角求参数

二、坐标法求向量的数量积七、利用数量积求向量的模长

八、数量积与向量垂直关系'

三、基底法求向量的数量积平面向量的数量积

四、向量的投影求解九、向量数量积的最值与范围

五、利用数量积求向量夹角十、向量的新定义问题

驳型大通关

一.向量数量积的运算律

1.（2324高一下.河南周口・月考）设向量B的夹角的余弦值为-；，同=2,恸=3,则（2Z+3B"=

（）

A.23B.23C.27D.27

2.（2324高一下.广东东莞・月考）对任意向量下列向量运算一定成立的是（）

A.若万2=人2,贝|商=石B.(a-b^-c=a-(bc

C.若=,贝=iD.少+孙（a-b\=^-b2

3.（2324高一下•四川成都•期中）以下等式错误的是（）

A.(m+w)-(m—n)=m2—n2B.(m+为产=m2+2m•万+齐

C.|>n+n||m-n|=|m2-n2|D.(m-n)2=m2-2m-n+n2

4.（2324高一下.安徽・月考）（多选）下列关于平面向量的运算中，错误的是（）

A.伍+5)+卜+，)=(万+司+(方+/)

B.（西一6）•守=5•（万一乙）

C.=b^d'C)

D.d'b=d'C,贝=i

5.（2324高一下•江西・月考）（多选）已知25忑是三个非零向量，则下列说法正确的是（）

A.若=贝=5

B.若归+画=|万-5],则〃方

C.若收一同=同+例，则0//5

D.若M//0,则,啰卜=（5•。万

坐标法求向量的数量积

1.（1213高一上•黑龙江牡丹江•期末）已知2=（1,1）3=（2,5）,"=（3,x）,若（82-杨三=30,贝口=（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2324高一下.重庆.期中）已知向量4=（2,〃），Z?=（-1,2）,乙=（〃,〃），若日〃3,贝!|第（25+己）=（）

A.-12B.24C.-24D.12

3.（2324高一下.江苏.月考）在AASC中，满足AB=3,BC=4,AC=5,则衣.瓦.

4.（2324高一下.江苏南通•期中）在矩形A8C。中，己知AB=4,AO=2,点P在C。边上，满足

UUUUL1U__________

APA3=6，贝1/丽=（）

113

A.—B.0C.—D.一

242

5.（2324高一下•甘肃天水・期中）如图，在边长为4的正方形ABC。中，M,N分别为线段BC,OC上的

1T

点，且MV=2,NCNM二,则A小画的值为——

三.基底法求向量的数量积

1.（2324高一下.天津・月考）在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=l,/胡。=60。，点E在CO上，满

足觉=3读，贝•丽=.

2.（2324高一下.江苏南京•期中）在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=4,ABAD=6,DC=3DM,则

MAMB=（）

A.12B.16C.14D.10

3.（2324搞一下•四川南充・月考）如图，在边长为3的正三角形A3C中，AD=2DC,BD=4BE＞则

AEAC=（）

A

一

D.2

71

4.（2324高一下•江西景德镇•期中）如图，在平面四边形A5CD中,ABJ.BC,ADLCD,NBCD=—,

3

CB=CD=2^3.若点M为边8c上的中点，则凉.砺的值为（）

C.8D.12

5.（2324高一下.安徽•月考）如图所示,a4BC中，AB=AC=\6,BC=1643,BD^-BC,

4

玲*则诙4=（）

C.-291D.-300

四.向量的投影求解

1.（2324高一下•吉林长春•期中）已知向量4与B的夹角为亍，同=4,则&在B上的投影向量的模为—

2.（2324高一下•云南・月考）已知向量2=（2,2）,a-b=4,则向量石在Z方向上的投影向量的坐标为一.

3.（2324高一下.河北邢台・期中）已知平面向量2=（1,点）范=（2,点），则向量Z+B在B方向上的投影向量

为（）

2-5-7-

A.bB.—bC.—bD.—b

333

4.（2324高一下.江苏连云港.期中）已知向量2=（-2,26）石=（1,6），贝呼在Z方向上的投影何军：为（）

C.-bD.b

5.（2324高一下•山东淄博•期中）已知。是AASC的外心，AB+AC^2A0^|OA|=|AB|,则向量初在向

量起上的投影向量为（）

D.-^BC

A.—BCC.—BC

44

五.利用数量积求向量夹角

1.（2324高一下.天津•月考）已知々=（2,-1）与5=（1,-3）,它们的夹角为（

A.90°B.45。或135。C.135°D.45°

2.（2324高一下•河南•期中）在四边形ABCQ中，AD+2AB=ACf且AB=1,AZ）=2,AC=2后，贝U

cos/CBD=（）

A.垣B.-C.好D.-

5555

3.（2324高一下•辽宁・期中）已知向量Z,b,c，满足问:W：W=3:左:6（此N*）,且2-21=2仅-工）,

若夕为£，"的夹角，贝Ucose的值是（）

L.----

3

4.（2324高一下.安徽安庆・月考）已知平面内非零向量7在向量5上的投影向量为-g方，且同=3回，则

江与方夹角的余弦值为.

5.（2324高一下•湖北•月考）已知向量，,瓦｝满足I引=|万|=2,|初=20\且4+石+不=0，则

cos（a-c,b-c）=（）

六.根据向量夹角求参数

1.（2324高一下.上海・月考）已知a=（1,1）,5=（2,相），若，与方夹角为锐角,则实数机的取值范围

为.

2.（2324高一下•江苏盐城•期中）设乙=（x,3）,5=（2,-1）且万，方的夹角为钝角，实数x的取值范围

是.

3.（2324高一下.江苏南京・月考）已知向量。=（-1,-2）,5=（1,2）,若方，B的夹角为钝角，则几的取值范

围是（）

1

A.—00.-------B.（2,+8）

24'T

1

C.一,+8D.（2,+a）

2

4.（2324高一下•浙江•期中）已知向量2=（-1,6）④=（乙岔），且£与石的夹角为三.

⑵若向量Z+"与Z+2B所成的角是锐角，求实数之的取值范围.

5.（2324高一下.河南濮阳・月考）已知向量）=（1,2）,五=（0,2）,向量］满足6，0且切/（2Z+4.

⑴求"的坐标；

（2）若"与Z+彳后的夹角为钝角，求实数2的取值范围.

七.利用数量积求向量的模长

1.（2324高一下.江西赣州.期中）已知向量）=（1,2）%=（-1,3）,向量"满足7Z=3,BU=2,贝=（）

A.拒B.73C.也D.也

22

2.（2324高一下•山东青岛•期中）如果同=1,归卜后，a-b=l，则卜-司的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.（2024.江苏扬州.模拟预测）已知向量心石满足同=1,忖=百，且M与石的夹角为葛，则恒-日=

（）

A.1B.V13C.1D.13

4.（2324高一下•云南・月考）已知平面向量1=（l,2）,5=（x,x+l）,^_L5,则k一同=.

5.（2324高一下•北京顺义•期中）已知非零向量心b,忑满足：无B=0，同=忖=2,c-a=2,

c-b=l>贝1J^|=.

A.数量积与向量垂直关系

1.（2324高一下•重庆璧山•月考）已知向量1=（2,-1），5=（1,3）,且日（妨+可，贝隈=（）

2.（2324高一下•河北保定・月考）已知单位向量日与5的夹角为三4，（妨+B）,贝廉=（）

A.|B.立C.--D.-①

2222

3.（2324高一下•广东茂名・月考）已知向量2=（27,-3）石=（-l,2+r）,若贝V=.

4.（2324高一下.黑龙江哈尔滨•期中）己知51=2,出|=6,打石的夹角。=2,若

（25+3^）1（ma-4b）,则根=.

5.（2324高一下.山西运城・月考）已知向量Z，石满足|Z|=2,出|=2若,cos&］〉=，.

4

⑴求Z在石上的投影向量；

（2）若向量与XZ+B垂直，求实数九的值.

九.向量数量积的最值与范围

1.（2324高一下・四川泸州•期中）在梯形A8CQ中，AB//DC,ADA.DC,AD=AB=2OC=2,E为

3C的中点，尸为。C上的动点（含端点），则说.衣的取值范围是（）

-581（9、「081「°7一

A.B.2,—C.3,—D.2,—

\_23」I2）13」L2」

2.（2324高一下•山西运城・月考）已知正六边形ABC。所的边长为4,点尸为边OE上的一个动点（含端

点），则就•赤的取值范围是.

3.（2324高一下•安徽合肥・期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域A5CD市民健身用

地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角ZPAQ始终为45°（其中P,Q

分别在边BC,8上），则Q•恋的取值范围_____.

4.（2324高一下•辽宁朝阳•期中）已知||加卜1,|6|=2,AD-AC=\A^,则屈.①的最大值为

A.2B.2A/2C.3D.4

5.（2324高一下•山西忻州・月考）已知|那=3,|方|=2,©=1,且垃工-1=0,则小6的取值范围

是.

十.向量的新定义问题

1.（2324高一下•山东淄博・期中）已知两个非零向量1与5的夹角为。，我们把数量同Wsin。叫作向量万

与5的叉乘axB的模，记作人同，即归"卜同Wsin氏若向量商=（2,1）,石=（＜3）,贝巾X*（）

A.-10B.10C.-2D.2

2.（2324高一下•福建福州•期中）（多选）定义:已知两个非零向量原5的夹角为凡把。石两个向量的叉乘

记作:。xB=|a|一|5|-sin。，则以下说法正确的是（）

A.若Zx5=0,则///5

B."Mx5）=（%万）x5

C.若四边形ABC。为平行四边形，则它的面积等于砺X而

D.若@又吞=6,日心=1,则15+51的最小值为几

11

rrm•Z7

3.（2324高一下.重庆璧山・月考）对任意两个非零向量成，n