安徽省“皖江联盟”2025届高三年级上册第一次联考数学试题（含答案）

安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合4={久|久<2},B={x[(x—l)2<4},则aU8=()

A.{x\x<2}B.{%|-1<%<2}C.{x\x<3}D.{x|-1<x<3}

2.已知复数z满足z(2-i)=(l+i)2,则复数z的共轨复数万在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知平面向量五、石满足』=(1,8)，口一石|=4,则回的取值范围是()

A.[2,6]B.[2,273]C.[273,6]D」l,2避]

4.树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生,分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每

小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有()

A.20种B.40种C.60种D.80种

5.有三台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出

来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%,任取一个零

件，则它是次品的概率()

A.0.054B.0.0535C,0.0515D.0.0525

6.已知直线久+y-k=0(k>0)与圆/+*=4交于不同的两点4B,。是坐标原点，且有|02+。用》书|

荏I，则实数k的取值范围是()

A.(A/3,76)B.[也洞C.,2避)D」会,2避)

\_i_4>0

7.已知函数/(%)=7x0(%)=壮+以+赠若方程=0有且仅有5个不相等的整数解，

log2\x\fx<0

则其中最大整数解和最小整数解的和等于()

A.-28B.28C.-14D.14

8.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知/

+y2=r2(r>0),求%+y的最大值.我们令久=rcos0,y=rsin0,则/+y=r(cos0+sin。).这样我们

就把原问题转化为三角函数最值问题.已知Z(%,y)是曲线%3+y3-6%y=0(%>0,y>0)上的点，则％2+y2

的最大值为()

A.12B.14C.16D.18

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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A.直线BC与平面ABCWi所成的角等于卷

B,四棱锥C-ABCWi的体积为。

TT

C,两条异面直线D1C和BC1所成的角为w

D.二面角C-BCi-D的平面角的余弦值为一§

ra-1n

10.已知数列{an}满足由+2a2+•­­+2an=n-2,则()

的前项和为心

A.an=n+1B.{an}nj,

C.{(-l)n/J的前100项和为100D.{|an—5|}的前30项和为357

n.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字

“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点M(-a,0),N(a,0)距离之积等于a2(a>0)的动

点的轨迹称为双纽线,曲线C是当a=2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是()

A.点P的横坐标的取值范围是［-2,2］B.|0P|的最大值是2逆

C.APMN面积的最大值为2D.\PM\+忻州的取值范围是［4,4姆］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知cosa+cos0=sina+sin£=贝!Jcos(a—£)=

13.椭圆C：苧+y=1的左右焦点分别为尸1、尸2，点M为其上的动点当NF1MF2为钝角时，点M的横坐标

的取值范围是

14.“算24”游戏是以除去大小王的52张扑克牌为载体，任意抽取4张，把扑克牌对应的4个整数

(4=1J=11,Q=12,K=13)通过加减乘除(没有乘方开方)以及括号运算，使最后的运算结果是24的一个

数学游戏.因为和扑克牌的花色无关，所以游戏可以看作在集合M={n\n<13,n6N*}={1,2,3,…,13}中每

次任选1个数，选4次得到4个整数，记为数组(a力,c,d),因为算24和选取4个数的顺序无关，可以假设

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a<b<c<d,比如(3,4,6,11),显然游戏不同的牌组就对应不同的数组，那么所有不同的数组一共有

个.如果数组为(1,6,6,8),写出一个结果为24的算式.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在“BC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,且4s=y/^(b2—a2—c2>).

(1)求B；

(2)若a=2,b=2",。为AC边的中点，求BD的长.

16.(本小题12分)

如图，四棱锥S—4BCD中，底面4BCD是矩形，SA=AD=2,AB=2也，SC=4,M是S8的中点，

MC1BD.

S

(1)证明：S4，平面4BCD；

(2)若点P是棱SC上的动点，直线力P与平面力MC所成角的正弦值为嘤，求胎的值.

1U3L

17.(本小题12分)

高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.

若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4

分，答案中有错误选项的得。分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(O<p<1),有

3个选项正确的概率为1-p.在一次模拟考试中：

(1)小明可以确认一道多项选择题的选项/是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明

该题得分X的数学期望为3,求p；

(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项4是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只

选/不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2

个，共选3个.若p=|,以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？

18.(本小题12分)

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已知双曲线C：a―£=l(a>0力〉0)的离心率为2,且经过点(2,3).

(1)求C的方程；

(2)若直线，与C交于48两点，且科•布=0(点。为坐标原点)，求|4B|的取值范围.

19.(本小题12分)

给出以下三个材料：

①若函数/(x)可导，我们通常把导函数(。)的导数叫做八支)的二阶导数，记作尸'(尤).类似的，函数/(X)的

二阶导数的导数叫做函数人吗的三阶导数，记作「〃(久)，函数/(久)的三阶导数的导数叫做函数人吗的四阶

导数……，一般地，函数/(X)的n-1阶导数的导数叫做函数f(x)的"阶导数，记作f(n)(x)=［尸

n>4；

②若几GN*,定义?1!=nx(n—1)x(n—2)x•••x3x2x1；

③若函数f。)在包含町的某个开区间(a,6)上具有任意阶的导数，那么对于任意％e(a,b)有g(X)=/(%))+

竿(乂―劭)+今凡)2+-+乃竽2Q—%o)n+…，我们将9(%)称为函数/(%)在点％=劭处的泰勒展

开式.

11

例如/\(久)=/在点久=0处的泰勒展开式为91。)=1+%+-%2+-­-+^xn+■■-

根据以上三段材料，完成下面的题目：

(1)求出/0)=cosx在点X=0处的泰勒展开式g(x)；

(2)用/'(x)=cosx在点x=。处的泰勒展开式前三项计算cos0.3的值,精确到小数点后4位；

(3)现已知萼=(1一§(1+§(1-勺(1+另…(1-勺(1+勺…,试求器=1+的值•

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参考答案

1.C

2.C

3.X

4.C

5.B

6.C

7.4

8.D

9.ABC

10.AD

11.BCD

12T

13.(号，呼)

14.1820；6+(1-6+8)

15.解：(1)由三角形面积公式及条件可知：4S=道(/?2-。2一。2)=2acsinB,

由余弦定理知扶—q2—c2=—2accosB,

所以—V^cosB=sinBntanB=—避，

因为BG(0,TT),所以B=竽；

(2)结合(1)的结论，根据余弦定理有6(2+c2-b2=2accosB0c2+2c-24=0,

所以c=4,易知2丽=瓦？+品，

所以4丽之=前2+阮2+2就.前=16+4+2x2x4x(-1)=12,

即BO=73.

16.解：（1）取4B的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于Q点、,

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在底面矩形48CD中，易知tan/DBC=照="=tan乙BNC=黑,

DC.bIV

所以4BNC=4DBC0BD1CN,

因为Jl〃r_£?D，MCCNC=C,MC、NCu平面CMN,

所以BD_L平面CMN,

因为MNu平面CMN,所以BD1MN,

易知MN〃S4所以BD1SA,

由题意可知"2=AD2+AB2=12=SC2-SA2,

所以SA1AC,而AC,BD相交，且2&B0u平面ABC。，

所以SA1平面ABCD；

(2)由上可知SA1AD,SA1AB,AB1AD,

以点4为坐标原点，以力。、AB,4S分别为x轴、y轴、z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0)、5(0,0,2),C(2,2避,0)、8(0,2也0)、M(0,也,1),

则而=(2,2避,0),AM=(0,72,1),

设平面力MC的一个法向量为窃=(x,y,z),

则郎.杭2X2"y=Q°-取久="，则有=(A/2-1,72),

设#=；1&=；1(2,2”,-2)=(2；1,2&；1,一2；1),其中0W/1<1,

贝IJ而=无+可=(0,0,2)+(22,2722,-22)=(242也;1,2—22),

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因为直线4尸与平面4MC所成角的正弦值为嚅，

则|cos(而，砌=叵型|2%一?|回

1、,I|m|•\AP\拜•"67—87+410

解得即蒙=).

412>C4,

17.解：(1)根据题意可知，X=0,4,6,

若该题有2个选项正确，则P(X=0)=|p,P(X=6)=],

若该题有3个选项正确，则P(X=4)*x(l—p)=l—p,

则分布列如下：

X046

21

P3P1—p尹

所以E(X)=0x加2+4x(l-p)+6x11p=4-2p=3,

解之得p=|；

(2)不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件

“有3个选项正确”为事件心，

若小明选择方案①，

记小明该题得分为X,贝UX的可能取值为2,3,对应概率为:

P(X=2)=P02)=泉2P(X=3)=PQ41)=I1，

故E(X)=2x>23x冷17；

若小明选择方案②，

记小明该题得分为匕贝叶的可能取值为0,4,6,对应概率为:

P(y=0)=?(/!!)xg+P(/l2)x|=|x|+|x|=^

P(y=4)=P(X2)X|=|X|=^

P(r=6)=P(41)xg=|x|=i

故E(y)W0湍4+4x“A6x；1等99

若小明选择方案③，

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记小明该题得分为Z,则Z的可能取值为0,6,对应概率为：

P(Z=0)=P(41)X3+「(&)x=|+|x|=|,

P(Z=6)=P(^2)x^|-|x|=t>

79174

SfcE(Z)=0x-+6x-=—

E(Z)<E(X)<E(Y),

故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.

±-4=i

18.解：(1)由题意可得'a2+£

a2

解得次=1,按=3,

故双曲线方程为C：%2一q=1.

(2)当直线I斜率不存在时，可设2(办,％4),B(xA,-yA),

则a=(以,丫4),OB=(XA-YA),

将其代入双曲线方程得/-苧=1，

又方­OB=XA-y\=o，解得=±誓

此时=2\yA\=如,

当直线，斜率存在时，设其方程为丫=依+血，设8(%2》2)，

y=kxm

联立方程%2_尤=i，消去y得,

,3

(3—k2)x2—2kmx—m2—3=0,

△=4k2m2+4(m2+3)[3—Ar2)=12(nr-A:2+3)>0

则瓦？•~OB=%ix2+y，2

=巧冷+(k%i+峭(k%2+m)

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2

=(1+fc)%i%2++X2)+租2

=(1++m2=0,

22

化简得3/c2+3=2m,止匕时/=6(/c+9)>0,

1fe2X2

所以|4B|="1+的XiFl=V+'A/(I+x2)-4%ix2

—m2—3

12(m2—k2+3)

=+k2

~~(3—H)2

=,/6xI+ION+9

J妙―6H+9

=^/6X+16k2,

N7k4-6k2+9

当k=0时，此时|4B|=A/6,

当kKO时，此时|4B|=M1+运得

•••3-fc2*0,

••・1+卷>2

16

故妙+三_6>0,

k2

1

因止匕|4B|=J+k2+1-