河北省保定市重点初中2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析

河北省保定市重点初中2025届高二数学第一学期期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A. B.C. D.3．在等比数列中,，,则等于A. B.C. D.或4．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）A. B.C. D.5．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交6．已知函数在处取得极值，则的极大值为（）A. B.C. D.7．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．将的展开式按x的降幂排列，第二项不大于第三项，若，且，则实数x的取值范围是（）A. B.C. D.10．函数在区间上的最小值是（）A. B.C. D.11．已知正实数满足，则的最小值为（）A. B.9C. D.12．若向量，，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是___________.14．一个四面体有五条棱长均为2，则该四面体的体积最大值为_______15．已知数列an满足，则__________16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；（2）若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点.18．（12分）已知函数，其中为实数.（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.19．（12分）已知函数.(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；(II)若,求的单调区间.20．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离21．（12分）已知等比数列中，，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值22．（10分）如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点E为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A2、D【解析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.3、D【解析】∵为等比数列，∴，又∴为的两个不等实根，∴∴或∴故选D4、D【解析】根据求解即可.【详解】因为等比数列，，所以.故选：D5、B【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；C：平面内不存在与a平行的直线，错误，当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.故选：B6、B【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；故选：B7、C【解析】设，求导分析的单调性，又，，，即可得出答案【详解】解：设，则，又因为，所以，所以在上单调递增，又，，，因为，所以，所以.故选：C8、C【解析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，所以函数在上单调递减；又，所以.因此，实数的取值范围是.故选：C.9、A【解析】按照二项展开式展开表示出第二项第三项，解不等式即可.【详解】由二项展开式，第二项为：，第三项为：，依题意，两边约去得到，即，由知，则，同时约去得到.故选：A.10、B【解析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值【详解】解：因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减，，，得函数在区间上的最小值是故选：B11、A【解析】根据，将式子化为，进而化简，然后结合基本不等式求得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A.12、A【解析】根据向量垂直得到方程，求出的值.【详解】由题意得：，解得：.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点P到直线EF的距离.【详解】解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以，，所以点P到直线EF的距离.故答案为：.14、1【解析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，易得该四面体必然有两个面为等边三角形，根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案【详解】一个四面体有五条棱长都等于2，如下图：设除PC外的棱均为2，设P到平面ABC距离为h，则三棱锥的体积V＝，∵是定值，∴当P到平面ABC距离h最大时，三棱锥体积最大，故当平面PAB⊥平面ABC时，三棱锥体积最大，此时h为等边三角形PAB的AB边上的高，则h，故三棱锥体积的最大值为：故答案为：115、2019【解析】将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可.【详解】由知故所以故答案为：201916、【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极小值，，如图所示：由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数值得抛物线方程；（2）设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得值，得定点坐标【小问1详解】已知双曲线的一条渐近线方程为，即，抛物线的焦点为，所以，解得（因为），所以抛物线方程为；【小问2详解】由题意设直线方程为，设由得，，，又，所以，所以，直线不过原点，，所以所以直线过定点18、（1）（2），【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.【小问1详解】，.由题意得：，解得：.，【小问2详解】，则，解得，，，当，解得：，即函数在单调递减，当，解得：或，即函数分别在，递增.又，，，，，.19、（Ⅰ）（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为函数在点处的切线方程为解得（Ⅱ）令,得或.因为,所以时，；时，.故在区间上单调递增,在区间上单调递减【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.20、（1）见解析；（2）【解析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为，，和，1，，算出，可得，从而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，与向量，2，，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点到平面的距离【详解】（1）证明：平面，，、、两两互相垂直，如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，设，，是平面的一个法向量，可得，取，得，，，，是平面的一个法向量，同理可得，1，是平面的一个法向量，，，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一个法向量，，2，，得，点到平面的距离21、(1)；(2)证明见解析，10.【解析】(1)设出等比数列的公比q，利用给定条件列出方程求出q值即得；(2)将给定等式变形成，再推理计算即可作答.【详解】(1)设等比数列的公比为q，依题意，，而，解得，所以数列的通项公式为；(2)显然，，由得：，所以数列是以为首项，公差为-1的等差数列，其通项为，于是得，由得，而，则数列前4项都为非负数，从第5项起都是负数，又，因此数列前4项和与前3项和相等并且最大，其值为，所以数列前项和的最大值是10.22、（1）见解析；（2）【解析】(1)用线线平行证明线面平行，∴在平面PCD内作BE的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进行求解，根据已知条件，以AD中点O为原点，OB，AD，OP分别为x、y、z轴建立坐标系﹒【小问1详解】如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒∵E是AP中点，∴EFAD，由题知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小问2详解】取AD中点O