2024-2025学年海南某中学高三年级下册教学质量检测模拟考试数学试题（含解析）

2024-2025学年海南华侨中学高三下学期教学质量检测试题模拟考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆。:=+当=1的短轴长为2,焦距为2相，耳、耳分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点,

a"b’

11

则石洲+屈\PF2n\的取值范围为（）

A.[1,2]B.[四,6]C.[72,4]D.[1,4]

2.已知直四棱柱ABC。-44G。的所有棱长相等，ZABC=6Q°，则直线BC】与平面ACQA所成角的正切值等

于（）

.V6RV10n715

A・15•----------------•---------

4455

3.AABC的内角A,B,C的对边分别为”,仇c,已知a+2c=2bcosA,则角B的大小为（）

5TT

A.女B.生C二D.

336~6

4.下列与函数y二」定义域和单调性都相同的函数是（

)

,11

题工

A.>=22B.y=log2C.=lOgo-D.y="

5.设向量a,B满足同=2,忖=1,卜力）=60,则B+区|的取值范围是

A.[0,+co）B.[6+co）

C.[0,6]D.[73,6]

6.已知平面向量a，8满足a=（l,-2）,匕=（一3/）,且a_L（a+》），则卜|=（)

A.3B.V10C.2百D.5

7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若acosB—Z?cosA=£,则才一'二（）

8.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是:有

一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，间折断处离地面的高为（）

尺.

A.5.45B.4.55C.4.2D.5.8

9.在四边形ABQ）中，ADUBC,AB=2,AD=5,BC=3,NA=60°,点E在线段CB的延长线上，且=

点"在边CD所在直线上，则AM.ME的最大值为（）

B.-24D.-30

10.已知命题p：若。>1,b>c>\,则logba<log。a；命题q：3%o（O,^»）,使得2号<logs/”，则以下命题为

真命题的是（）

A.P^QD.(力)△(->[)

11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草

每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：1g3ao.4771,1g2ao.3010）

12.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和

阴爻“------如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知tano=3,则cos2。=

14.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60。，侧面积为4屿，则该棱锥的体积为

x2+y2<1

15.设O为坐标原点,A（2,l）,若点B（x,y）满足-<x<l则0A-0B的最大值是

2

0<y<l

16.如图，在平行四边形ABC。中，AB=2,AE>=1,则ACBD的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建

立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监

测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有耳?有"1套系统监测出排放超标，则

立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立

即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为。（0<p<1）,

且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当。=g时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统

每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计

算）？并说明理由.

18.（12分）设椭圆。：4+与=1（。〉6〉0）的离心率为正，圆0:/+俨=2与X轴正半轴交于点A,圆。在点

ab2

A处的切线被椭圆C截得的弦长为2加.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆。上任意一点P处的切线交椭圆C于点",N,试判断|加卜|两|是否为定值？若为定值，求出该定值；若

不是定值，请说明理由.

19.（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x

与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.

XyW白吗-可,

EU-X）（Z-/）打吗一可(乂-R

T1111

1.4720.60.782.350.81-19.316.2

1—110

表中吗==，W=叱・

%lOti

(1)根据散点图判断，y="+灰与y=c+乌哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程

X

类型？(不必说明理由)

(2)根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量，成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据(场,匕)，(H2,V2),(%,匕)，…，D其回归直线1，=。+，”的斜率和截距的最小二乘估计

分别为尸=，a=v-（3u-

已知/(x)=Asin(ox+0)(4＞0,0＜。＜4,解＜工))过点(0」)，且当x=工时，函数取得最

20.（12分）

226

大值1.

(1)将函数/(X)的图象向右平移B个单位得到函数g(x)，求函数g(x)的表达式；

O

JT

(2)在(1)的条件下，函数/z(x)=/(x)+g(x)+2cos2%—l,求/i(x)在［0,万］上的值域.

21.(12分)已知动圆M经过点N(2,0),且动圆〃被V轴截得的弦长为4,记圆心M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的标准方程;

（2）设点"的横坐标为七,A,3为圆以与曲线C的公共点，若直线的斜率左=1,且不^[0,4],求/的值.

22.（10分）已知函数/（无）=e2*+（l-e/卜”一方2（。wH）.

（1）证明：当x»e2时，e">x2;

（2）若函数f（x）有三个零点，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到怛片|+怛用=4,利用二次函数的性质可求14怛制盟区4,从而可得

11

国+网的取值范围.

【详解】

LV2

由题设有b=l,c=G，故a=2,故椭圆C:一+y2=1,

4'

因为点尸为C上的任意一点，故归周+怛闾=4.

1।1_|3|+归闾_4.4

附|\PF\四|附|附（一附了

2\PFI\\PF2\|4

因为2_如4户片归2+山，故闫P周（4-怛周）44,

,11,

所以1V-jj-+।----rV4

I明|明■

故选：D.

22

本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆。：彳+2=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别是耳、月，点P为。上的

任意一点，则有归用+|尸闾=2。，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.

2.D

【解析】

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AD所在直线为V轴，A4所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系.求解平面ACGA的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】

如图所示的直四棱柱ABC。—Age。，ZABC=60°，取中点E，

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AD所在直线为V轴，AA1所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系.

设AB=2,则A(0,0,0),A(0,0,2),B(^,-l,0),C(^,l,0),Q(百,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(73,1,0),朋=(0,0,2).

设平面Acad的法向量为〃=(%,y,z)，

n-AAX=2z=0,

得；=(1,_石,0).

设直线BCi与平面ACQA所成角为O,

•••直线Be1与平面ACGA所成角的正切值等于半

故选：D

本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

3.A

【解析】

先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解A

【详解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sinBcosA,即sinA+2sin(A+8)=2sin8cosA,即有sinA(1+2cos5)=0,

19TT

因为sinA>0,则cosB=—，而5£(0,元),所以=—.

23

故选：A

此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.

4.C

【解析】

分析函数y=3的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,

由此确定正确选项.

7x

【详解】

函数V=，在(0,+8)上为减函数.

A选项，y=2厩2x的定义域为(0,+“)，在(0,+。)上为增函数，不符合.

B选项，_y=log2的定义域为R,不符合.

C选项，y=log2,的定义域为(0,+。)，在(0,+8)上为减函数，符合.

X

D选项，,=，的定义域为［°，+8)，不符合.

故选：C

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

5.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

|<2+|=J(a+tb)~=sict~+2tz,bt+t~b~=,4+2f+厂=+1)~+3>y/3,

当/=-1时取等号，所以本题答案为B.

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

6.B

【解析】

先求出a+6，再利用4•(4+8)=0求出入再求回

【详解】

解:a+b=(l,-2)+(-3,r)=(-2,f-2)

由a_l_(a+b),所以a-(a+))=0

lx(-2)+(-2)x(r-2)=0,

t=l,Z?=(-3,l),|^|=Vio

故选：B

考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.

7.D

【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.

【详解】

22b1+C1-a1

由余弦定理得:cT+c-b

2ac2bc4

M_72

整理可得：a1-b1=—,.•.巴?1

42c28

故选：D.

本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.

8.B

【解析】

如图，已知AC+AB=10,BC=3,AB2-AC2^BC2^9

(AB+ACXAB-AC)=9,解得A5—AC=0.9,

AB+AC=10[AB=5A5

,解得〈.

[AB-AC=0.9[AC=4.55

折断后的竹干高为4.55尺

故选B.

9.A

【解析】

依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE=5后求出E的坐标，求出边CD所

在直线的方程，设屈+5G),利用坐标表示AM,ME,根据二次函数的性质求出最大值.

【详解】

解：依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由A5=2，AD=5,BC=3,NA=60°,

.-.A(0,0),5(1,73),C(4,73),0(5,0)

因为点E在线段CB的延长线上，设XQ<1

AE=BE

2

Xo+j=(1—/J解得X()=-1

••.£(-1,73)

C(4,A/3),0(5,0)

CD所在直线的方程为y=-氐+50

因为点M在边CD所在直线上，故设M(x,-6+5月)

AM=(x,-+5A/3

ME=(-1-X,V3X-4A/3)

AM.ME=x(-1-x)+(岳-4@卜岳+5月)

=TX2+26X-60

=-4x2+26x-60

1O1

当》=上时(4/.“£)=--

4、)max4

故选：A

10.B

【解析】

先判断命题，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

,1,111

iogi,«=------r，log,a=-,因为。>1,b>ol,所以0<1。8。<108人，所以----->------,即命题p

log加log”c-------------------------------------------(-7---------£-!-----------log.clog„b

为真命题；画出函数y=2,和y=log3X图象，知命题q为假命题，所以,八（「4）为真.

故选:B.

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题p，q的真假，难度较易.

11.C

【解析】

I2n2〃一1

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：2x^—^=~--解出即可得出.

1-12一1

2

【详解】

n-1

由题意可得莞草与蒲草第〃天的长度分别为［；］

a.=3x|也=1x2〃—

2"-1

据题意得:------,解得2"=12,

2-1

收12lg3

=2+1.

馆2lg2

故选：C.

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.C

【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件，即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率，再根据两对立事件的概率和为1求

解即可.

【详解】

设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A.所有“重卦”共有26种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件无是“该重卦没有阳

爻或只有1个阳爻”,其中，没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种，只有1个阳爻的情况有C；=6种，故

-1+67757

°⑷=F=d所以该重卦至少有2个阳爻的概率是「⑷=「「⑷，万

64

故选：C

本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4

13.——

5

【解析】

,14

解：由题意可知：cos2a-2coscif-1=2x——--------1=——.

tana+l5

14.—A/6

3

【解析】

如图所示，正四棱锥尸—ABCD,。为底面的中心，点A/为A5的中点，则NP4O=60，设=根据正四棱

锥的侧面积求出a的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.

【详解】

如图所示，正四棱锥P—A5CD,。为底面的中心，点〃为A5的中点,

则NPAO=60，设

OA=叵a，：.PA=小，PM=y/pA^-AM2=—a，

22

■•4x(一•a-a)=a=2,

故答案为：还

3

本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

15.6

【解析】

m

OAOB=2x+y，可行域如图，直线2x+y=7〃与圆炉+,2=1相切时取最大值,\\=1,m>0=>"2=y/5

由忑

16.-3

【解析】

根据ABCD是平行四边形可得出然后代入AB=2,人。=1即可求出4。.8。的值.

【详解】

VAB=2,AD=1,

：.ACBD=^AB+AD^\BA+BC^

=(AB+AD)(AD-AB)

_2__-2

=AD-AB~

=1-4

=-1.

故答案为：-1.

本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基

础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25

17.(1)—；(2)不会超过预算，理由见解析

32

【解析】

(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

C；(g)2x1+cf(1)3=C^(1)3+cf(1)3=；，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统

的概率为C；(5)3[l-(万)2]=豆，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

⑵设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.求得P(X=1500)=C[p(\-pf,

P(X=900)=l-C^(l-p)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800.(1—p)2,对其求导，研究函数的单调性,

可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

(1)某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

11Q1Q25

Cl(-)3[1-(-)2]=某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为一+一=一.

3223223232

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.

P(X=1500)=C；°(l—pl?,P(X=900)=1-C；p(l—pt

E(X)=900x[l-C'Xl-P)」+1500xC'Xl-P?=900+1800p(l-p)2

令g(P)=。(1一P)\Pe(0,1)，则g\p)=(1-p)2-2p(l-p)=(3p-1)(/?-1)

当pe(0,g)时，g'(p)>0,g(°)在(0,；)上单调递增；

当尸时，g'(p)<0,g(p)在上(；,1)单调递减，

，g(p)的最大值为g(;)=U，

实施此方案，100+9000X(900+1800X―)X10-4=1150(万元)，

27

1150<1200,故不会超过预算.

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决

的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

22

18.(1)—+^=1；(2)见解析.

63

【解析】

(I)结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可.(II)

分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将

直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示结合三角形相似，证明结论，即可.

【详解】

(1)设椭圆的半焦距为。，由椭圆的离心率为变知，b=c,a=y/2b,

22

椭圆。的方程可设为二+1=1.

2b2b2

22,

二金+庐j

a=6x2v2

解得〈,，，椭圆。的方程为工+匕=1.

厅=363

（II）当过点尸且与圆0相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为％=由（I）知，M（4i,吟,N（衣-亚卜

OM=（"0）,ON=（"-O）,0MON=0,：.OMLON.

当过点尸且与圆。相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y=+M（xx,%）,N（X2,%），

=V2,即机2=2（左2+］）.

联立直线和椭圆的方程得尤2+2（而=6,

A=（4km）2-4（1+2左2）（2机2-6）＞0

4km

（1+2左2）%2+4初氏+2〃，-6=0,得＜x+x=----------------

12?2k2+1

2m2—6

122左2+1

,OM=（%1＞y^rON=（-^2,%），

OMON=玉/+X%=不%2+（g+m）（Ax2+m）,

2m

（1+左2）项々+版（国+x2）+m=（1+攵2）.Z^__§+-4a+加之

2k+12k+1

（1+k2）（2/n2-6）-4k2m2+zn2（21c+1）3m2-6k2-63（2F+2）-6A:2-6

-2r+1―2^+1-2k2+1-

/.OMLON.

综上所述，圆。上任意一点尸处的切线交椭圆C于点"，N,都有OMLQV.

在WAQMN中，由AOMP与AM9P相似得，|OP「=忸"卜忸陷=2为定值.

本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难.

120

19.（1）y=c+-y更适宜（2）y=5+—（3）%为2时，烧开一壶水最省煤气

XX

【解析】

(1)根据散点图是否按直线型分布作答；

(2)根据回归系数公式得出y关于0的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；

(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.

【详解】

(1)y=。+乌更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.

X

士(叱一可卜厂5)162

(2)由公式可得：△=---------;-=^7=20,

X(“T°-81

Z=1

c=y—dw=20.6—20x0.78=5，

所以所求回归方程为y=5+m.

X

(3)设/=区，则煤气用量5=*=从5+当=5日+迎22卜丘•迎=203

JCJJCjJC

204

当且仅当5日=——时取“="，即％=2时，煤气用量最小.

x

故X为2时，烧开一壶水最省煤气.

本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.

冗

20.(1)g(x)=sin(2x——)；(2)[-1,2].

6

【解析】

试题分析：

(1)由题意可得函数f(x)的解析式为/(X)=sin^2x+^,则g(x)=/[x-1=Sin^lx-7^.

⑵整理函数h(x)的解析式可得：MX)=2S“2X+W],结合函数的定义域可得函数的值域为[-1,2].

试题解析：

⑴由函数/⑴取得最大值1,可得A=l,函数过得=阚

(7T\JTTT7T

/——1^—+———+2k兀,keZ,*.*0<<4,**•co=2

V6J662

=sin^2x+^,g(x)=/1一2]=sin^lx-^.

(2)/z(x)=J3sin2x+cos2x=2sin^2x+J,

兀/、»/7乃I,.I。)Li

XE0n,—n~\,—<2%H<,<57川2%H

12」66626)

-1426《2》+£上2