2024年中考数学试题分类汇编：二次函数的实际应用（21题）解析版

专题15二次函数的实际应用（21题）

一、单选题

1.（2024・天津•中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度。（单位：m）与小球的运动时间/（单

位：s）之间的关系式是/z=3O/5/（OWt＜6）.有下列结论：

①小球从抛出到落地需要6s；

②小球运动中的高度可以是30m；

③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令♦=（）解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把f=2

和f=5代入计算即可判断③.

【详解】解：令♦=（）,则30r—5〃=0,解得：tf=0,r2=6,

••.小球从抛出到落地需要6s,故①正确；

♦=3（k-5/=-5（x-3）2+45,

最大高度为45m,

小球运动中的高度可以是30m,故②正确；

当7=2时，♦=30x2-5x22=40；当7=5时，♦=30x5—5x52=25;

...小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误；

故选C.

2.（2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，在等腰RCABC中，4c=90。，AB=12,动点£,厂同时

从点A出发，分别沿射线和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点尸也

随之停止运动，连接斯，以所为边向下做正方形EFG”，设点E运动的路程为彳（。＜》＜12）,正方形

EFG”和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与龙之间函数关系的是（）

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【答案】A

【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与尤分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之

间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当龙与重合时，及当x44时图象的

走势，和当x>4时图象的走势即可得到答案.

【详解】解:当庞与重合时，设AE=x,由题可得：

:.EF=EH=6X，BE=12-X,

在RtAEHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2>

••JC—4f

・•・当0<xW4时，y==2x2,

V2>0,

・・・图象为开口向上的抛物线的一部分,

当用在下方时，设AE=%，由题可得:

:.EF=叵x，BE=12-x,

•：ZAEF=NB=45。,ZA=ZEOB=9Q0,

C.NFAE^NEOB,

.AEEO

…而一商

•__x____E__O_

y/2x12-x

.•.EO=B,

.•.当4Vx<12时,y=(近N2g=(42)x=-x2+x,

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-l<0,

.••图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确，

故选：A.

3.（2024.山东烟台.中考真题）如图，水平放置的矩形中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFG〃的

顶点E,G在同一水平线上，点G与的中点重合，EF=2^cm,ZE=60°,现将菱形EFGH以lcm/s

的速度沿方向匀速运动，当点E运动到8上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重

叠部分的面积S（cn?）与运动时间［s）之间的函数关系图象大致是（）

【答案】D

【分析】本题考查了解直角三角形的应用,菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质,

先求得菱形的面积为6百，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱

形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解.

【详解】解：如图所示，设EG,HF交于点

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:菱形EFGH,ZE=60°,

：.HG=GF

又：NE=60。，

是等边三角形，

VEF=2V3cm,ZHEF=60°,

：.ZOEF=30°

EG=2EO=2xEFcos30°=也EF=6

形=gx6x2百=6有

当。〈九<3时，重合部分为MNG,

如图所示,

依题意，,脑VG为等边二角形,

运动时间为乙则NG=^^=2叵r,

cos3003

5=-x^Gx^Gxsin60°=—f—=—r2

243J3

当3<x«6时，如图所示,

=6—g（6T）2=_g产+4后_]2用6

,/EG=6<BC

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・,・当6<x«8时，S=6A/3

当8<xWU时，同理可得，S=6-弓（f一8）2

综上所述，当0<xV3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<xW6时，函数图象为开口向下的一

段抛物线，当6<xV8时，函数图象为一条线段，当8<xVU时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当

11〈尤W14时，函数图象为开口向上的一段抛物线;

故选：D.

二、填空题

,7

4.（2024.广西.中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是—m,出手后实心球

4

沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为则m.

35

【答案】y

【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y=a（x-5y+4,把点代入即可求出解

析式；当y=0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离。

【详解】解：以点O为坐标原点，射线0M方向为x轴正半轴，射线。尸方向为y轴正半轴，建立平面直

角坐标系，

•••出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.

设抛物线解析式为：y=a（x-5）2+4,

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把点1。，：］代入得：25a+4=:,

9

解得：。=一2，

100

抛物线解析式为：>=-孟（彳-5）2+4；

O9

当y=o时，一砺（无一5）一+4=0,

535

解得，^=-|（舍去），X2=y,

即此次实心球被推出的水平距离ON为三35m.

35

故答案为：Y

5.（2024.甘肃.中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2

是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系

>=-0.02/+0.3彳+1.6的图象，点3（6,2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作

长CD=4m,高DE=1.8m的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

图1图2

【答案】能

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当尤=2时，y的值，若此时y的值大于1.8,

则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可.

【详解】解：VCD=4m,5（6,2.68）,

6-4=2,

在>=-0.02/+0.3》+1.6中，当x=2时，j=-0.02x22+0.3x2+1.6=2.12,

,/2.12>1.8,

；•可判定货车能完全停到车棚内，

故答案为：能.

6.（2024.四川自贡.中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙

于点。（如图），其中上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m,OE=L4m,OB=6m,

OC=5m,0D=3m.班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该

菜地最大面积是cm2.

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B

【答案】46.4

【分析】本题考查了二次函数的应用.要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须

尽量使用原来的围墙，观察图形，利用A0和0C才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积

公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用A0和0C构成矩形，

设矩形在射线上的一段长为am,矩形菜地面积为S,

当xW8时，如图，

16-X-L4+519.6-x

则在射线0c上的长为

2―_2-

IOr11。

贝ljS=x•—=--%2+9.8%=--(.X-9.8/+48.02,

--<0,

2

.•.当X49.8时，S随x的增大而增大,

,当尤=8时，S的最大值为46.4；

当x>8时，如图，

则矩形菜园的总长为(16+6.6+5)=27.6m,

则在射线CC上的长为27、2x

2

贝l|S=x.(13.8-x)=-X2+13.8X=-(x-6.9)2+47.61,

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V-l<0,

当尤<6.9时，S随X的增大而减少，

...当x>8时，S的值均小于46.4；

综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm?;

故答案为：46.4.

三、解答题

7.（2024・陕西・中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索右与缆索4均呈抛物线型，

桥塔与桥塔2C均垂直于桥面，如图所示，以。为原点，以直线F尸为x轴，以桥塔AO所在直线为y

轴，建立平面直角坐标系.

已知：缆索人所在抛物线与缆索4所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔之间的距离OC=100m,

AO=BC=llm,缆索乙的最低点尸到FF的距离PD=2m（桥塔的粗细忽略不计）

（1）求缆索右所在抛物线的函数表达式；

⑵点E在缆索右上，EFYFF',S.EF=2.6m,FO<OD,求尸。的长.

【答案】（l）y=旃（x-5oy+2；

（2）尸。的长为40m.

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的

关键.

（1）根据题意设缆索右所在抛物线的函数表达式为y=“（x-50）2+2,把（0,17）代入求解即可；

（2）根据轴对称的性质得到缆索4所在抛物线的函数表达式为y=&（x+50y+2,由EF=2.6m,把

、=2.6代入求得再=-40,X2=-60,据此求解即可.

【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为（50,2）,点A的坐标为（0,17）,

设缆索右所在抛物线的函数表达式为y=a（x-50）2+2,

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把（0,17）代入得17=.（0-50）2+2,

3

解得〃=旃

3°

・•・缆索乙所在抛物线的函数表达式为y=旃(％-50)2+2.

(2)解：•••缆索右所在抛物线与缆索4所在抛物线关于y轴对称,

・・・缆索4所在抛物线的函数表达式为y=品(％+50)+2,

EF=2.6,

3

・••把y=2.6代入得，2.6=—（x+50）9+2,

解得玉=-40,x2=-60,

FO=40m或FO=60m,

FO<OD,

：.BO的长为40m.

8.(2024・湖北・中考真题)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,

篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为丁米，围成的矩形面积为Sen?.

AD

----------------------T

⑴求y与羽s与无的关系式.

(2)围成的矩形花圃面积能否为750cm2,若能，求出尤的值.

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时无的值.

【答案】⑴；V=80-2x(194x<40)；5=—2%2+80x

(2)能,x=25

(3)$的最大值为800,此时x=20

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：

(1)根据AB+3C+CD=80可求出丫与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确

立二次函数关系式；

(2)令s=750,得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；

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(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.

【详解】(1)解：：篱笆长80m,

•*.AB+BC+CD=80,

*.*AB=CD=x,BC=y,

%+y+x=80,

y=80-2x

,・,墙长42m,

/.0<80-2x<42,

解得，19<x<40,

y=80—2x(19<x<40)；

又矩形面积s=AB

=yx

=(80—2x)x

=—2x2+80x;

(2)解：令s=750,贝I—2%2+80X=750,

整理得：X2_4OX+375=O,

止匕时，A=Z?2-4ac=(-40)2-4x375=1600-1500=100>0,

所以，一元二次方程尤2-40x+375=0有两个不相等的实数根，

；•围成的矩形花圃面积能为750cm2；

.-(-40)±7100

••x=-------2---------，

•(X]—25,%?=15,

V19<x<40,

/.x=25；

(3)解：5=-2%2+80X=-2(X-20)2+800

V-2<0,

有最大值，

又19Wx<40,

.•.当x=20时，s取得最大值，此时s=800,

即当x=20时，5的最大值为800

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2

9.(2024.河南・中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度〃(m)满足关系式/i=-5r+vot,其中心)

是物体运动的时间，%(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上

发射小球.

(1)小球被发射后s时离地面的高度最大(用含％的式子表示).

(2)若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度.

(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时

间为3s.”已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由.

【答案】⑴*

(2)20(m/s)

(3)小明的说法不正确，理由见解析

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

(1)把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；

(2)把「=*，/，=20代入〃=-5/+求解即可；

(3)由(2),得人=-5r+20/,把％=15代入，求出f的值，即可作出判断.

2

【详解】⑴解:h=-5t+vQt

当仁小时，力最大，

故答案为：

(2)解：根据题意，得

当今时，〃=2。，

•*.-5xf—+vx—=20.

UOj°10

%=20(m/s)(负值舍去);

(3)解：小明的说法不正确.

理由如下：

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由(2),得〃=-5/+20t,

当/z=15时，15=-5/+20r,

解方程，得6=1,灰=3,

两次间隔的时间为3-1=2s,

.•.小明的说法不正确.

10.(2024•湖北武汉•中考真题)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运

行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的

直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线丁=以2+》和直线>=一;x+氏其中，当火箭运行的

水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

图1图2

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.

①直接写出。，》的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低L35km,求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出。满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

【答案】⑴①。=-&,6=8.1；②8.4km

2

(2)<〃<0

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，

一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键.

(1)①将(9,3.6)代入即可求解；②将,=一3/+*变为y=即可确定顶点坐标，得出

y=2.4km,进而求得当y=2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

2

(2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km,求得。=-不，即可求解.

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【详解】（1）解：①：火箭第二级的引发点的高度为3.6km

，抛物线y=/+x和直线y=_Lx+b均经过点（9,3.6）

，3.6=81a+9,3.6=--x9+b

2

解得。=-百，6=8.1.

②由①知，y———x+8.1,y=一记

.11（15?15

・・y=--x2+%=-----x----H----

1515^2）4

，最大值y==km

当y=/1.35=2.4km时，

贝!]---X2+x=2.4

15

解得看=12,X2=3

又：彳二乡时，y=3.6>2.4

.•.当y=2.4km时，

贝I]-L+8.1=2.4

2

解得x=11.4

11.4-3=8.4(km)

这两个位置之间的距离8.4km.

(2)解：当水平距离超过15km时，

火箭第二级的引发点为(9,81a+9),

将(9,8L+9),(15,0)代入y=,得

Sla+9=——x9+b,0=--xl5+Z?

22

2

解得8=7.5,a=---

27

2

・・-----<Q<0.

27

11.(2024•四川内江・中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进

价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商

家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒.

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(1)求这两种粽子的进价；

⑵设猪肉粽每盒售价X元(52VXW70),y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于X的函数

表达式并求出y的最大值.

【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元

(2)y=-1Ox2+1200.x-35000-10(%-60)2+1000,当x=60时，,取得最大值为1000元

【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及

二次函数配方求最值问题.

(1)设豆沙粽每盒的进价为“元，则猪肉粽每盒的进价为(〃+20)元.根据“用5000元购进的猪肉粽盒数

与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；

(2)根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答.

【详解】(1)解：设豆沙粽每盒的进价为w元，则猪肉粽每盒的进价为(〃+20)元

解得：几=30

经检验：〃=30是原方程的解且符合题意

・"+20=50

答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元.

(2)解：设猪肉粽每盒售价x元(52<xW70),V表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，则

y=(x-50)[180-10(^-52)]=-10.r2+1200%-35000=-10(x-60)2+1000

V52<x<70,-10<0,

...当x=60时，y取得最大值为1000元.

12.(2024・贵州•中考真题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价

不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价无(元)是一次函数关系，下表是y与尤的几组对应值.

销售单价力元1214161820

销售量y/盒5652484440

(1)求y与x的函数表达式；

⑵糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为杨元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日

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销售获得的最大利润为392元，求机的值.

【答案】⑴、=-2尤+8。

(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

(3)2

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润x销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数

的性质求解即可；

(3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润x销售量wx销售量求出卬关于％的函数表达式，然后利用

二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：设y与x的函数表达式为，=辰+"

12%+6=56

把x=12,y=56；x=20,y=40代入,

20Z+Z>=40

y与x的函数表达式为y=-2x+80；

(2)解：设日销售利润为w元，

根据题意，得w=(x—10)-y

=(%-10)(-2x+80)

=—2x?+100x—800

=-2(X-25)2+450,

...当x=25时，卬有最大值为450,

/.糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元;

(3)解：设日销售利润为卬元，

根据题意，得w=(x-10r办y

=(%-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2〃?)x-800-80/w,

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100+2m50+m(5n_|_Y(50+mA

；•当尤=-2x(_2)=F~时'w有最大值为-2[竺广n))+(100+2〃。竺丁卜800-80机，

•••糖果日销售获得的最大利润为392元，

二.一2[^^]+(100+2m)-800-80m=392,

化简得nr—60m+116=0

解得叫=2,mz=58

b

当相=58时，x=——=54,

2a

则每盒的利润为：54—10—58<0,舍去，

的值为2.

13.(2024・广东・中考真题)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居

全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万

元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该

果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.(题中“元”为人民币)

【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润=每

吨的利润x销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：设每吨降价尤万元，每天的利润为w万元，

由题意得，w=(5-%-2)(100+50%)

=—50x~+50x+300

=一501一£|+312.5,

V-50<0,

...当x时，w有最大值，最大值为312.5,

2

••5—x—4.5,

答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元.

14.(2024・四川遂宁•中考真题)某酒店有A、2两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天

营业额为7200元；若43两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.

(1)求A3两种客房每间定价分别是多少元？

(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有

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一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元?

【答案】（DA种客房每间定价为200元，8种客房每间定价为为120元；

（2）当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元.

【分析】（1）设A种客房每间定价为龙元，B种客房每间定价为为y元，根据题意，列出方程组即可求解；

（2）设A种客房每间定价为。元，根据题意，列出W与。的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可

求解；

本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解

析式是解题的关键.

【详解】（1）解：设A种客房每间定价为x元，8种客房每间定价为为>元，

24尤+20y=7200

由题意可得,

10元+10y=3200

x=200

解得

y=i20

答：A种客房每间定价为200元，3种客房每间定价为为120元;

（2）解：设A种客房每间定价为。元,

22

则W=124一*00)a=-_La+44a=-^(a-220)+4840,

--<0,

10

...当。=220时，W取最大值，%大值=4840元,

答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元.

15.（2024・四川南充・中考真题）2024年“五一”假期期间，阑中古城景区某特产店销售42两类特产.A

类特产进价50元/件，8类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件8类特产需132元，购买3

件A类特产和5件B类特产需540元.

（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？

（2）4类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件

（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与尤的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围.

（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这

两类特产的总利润为卬元，求卬与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润卬最大，最

大利润是多少元？（利润=售价一进价）

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【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件

⑵y=10尤+60(0W10)

(3)4类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，

(1)根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件8类特产的售价为(132-x)元，进一步得到关于尤的一

元一次方程求解即可；

(2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x

得取值范围；

(3)结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得8类特产的利润，

整理得到关于尤的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：设每件A类特产的售价为x元，则每件2类特产的售价为(132-x)元.

根据题意得3X+5(132-X)=540.

解得x=60.

则每件B类特产的售价132-60=72(元).

答：4类特产的售价为60元/件，8类特产的售价为72元/件.

(2)由题意得>=10尤+60

：A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价

答：y=10x+60(0<x<10).

(3)卬=(60-50-x)(l0尤+60)+100x(72-60)

=-1Ox2+40.x+1800=-10(x-2)2+1840.

Q-10<0,

.•.当x=2时，w有最大值1840.

答:A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元.

16.(2024・江苏盐城・中考真题)请根据以下素材，完成探究任务.

制定加工方案

生产背背景♦某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.

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景1♦因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”

服装1件.

♦要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.

每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：

①“风”服装:24元/件;

背景

②“正”服装：48元/件;

2

③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每

件获利将减少2元.

现安排无名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：

服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）

信息整理风y224

雅X1

正148

任务

探寻变量关系求X、y之间的数量关系.

1

探究任任务

建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求卬关于尤的函数表达式.

务2

任务

拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案.

3

i70

【答案】任务1：y=-]X+工；任务2：w=-2/+72x+3360（》＞10）；任务3：安排17名工人加工“雅”

服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润

【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键.

任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有（70-尤-y）

人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100-2（x-10）],然后将2种服装的获利求和即可得出结

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果；

任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可.

【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，

・•・安排无名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，

•••加工“正”服装的有(70-x-y)人，

•严正”服装总件数和“风''服装相等,

.•.(70—x-y)xl=2y,

170

整理得：

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100-2(x-10)],

w=2yx24+(70-x-y)x48+x[100-2(x-10)],

整理得：w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2f+120x)

・•.w=-2x2+72x+3360(x>10)

任务3：由任务2得叩=-2x2+72x+3360=—2(x—18)2+4008,

.•・当％=18时，获得最大利润，

17052

y=——xl18O+——=——,

333

・••尤W18,

•・•开口向下，

・,•取元=17或x=19,

53

当x=l7时，、=不符合题意；

当x=19时，y=y=17,符合题意；

70-尤-y=34,

综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利

润.

17.(2024・山东烟台・中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享

美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，

每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每

辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.

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（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元?

（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

2

【答案】（1）＞=-1炉+2°尤+12000,每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元

（2）这天售出了64辆轮椅

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；

（2）令,=12160,得到关于x的一元二次方程，进行求解即可.

【详解】（1）解：由题意，得:y=（200-x）|^60+x4^|=-1x2+20x+12000；

;每辆轮椅的利润不低于180元，

200-x2180,

x＜20,

：y=-W尤2+20犬+12000=--（x-25）2+12250,

.,.当x＜25时，y随X的增大而增大，

2,

.•.当x=20时，每天的利润最大，为-yX（20-25）+12250=12240元；

答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；

2

（2）当y=12160时，--X2+20X+12000=12160,

解得：=10,%=40（不合题意，舍去）；

/.60+—x4=64（辆）；

10

答:这天售出了64辆轮椅.

18.（2024•江西・中考真题）如图，一小球从斜坡。点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数

丁=62+乐（。＜0）亥|］画，斜坡可以用一次函数＞=刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高

度y（米）的变化规律如下表：

X012m4567

71515L

y068n

2~2~22

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②小球的落点是A,求点A的坐标.

（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间r（秒）满足关系y=-5»+w.

①小球飞行的最大高度为米;

②求v的值.

1515

【答案】（1X1）3,6；②

5'A

⑵①8,@V=4A/10

【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据,

（1）①由抛物线的顶点坐标为（4,8）可建立过于a,。的二元一次方程组，求出a,6的值即可；②联立两

函数解析式求解，可求出交点A的坐标;

（2）①根据第一问可知最大高度为8米;

②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值.

【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离了（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物

线顶点坐标为（4,8）,

b

---二4

2a

尸-8

、4。

1

a

解得：,2,

Z?=4

二次函数解析式为y=~x2+4x,

当＞=万时，_/尤一+4元=5，

解得：x=3或尤=5（舍去）,

••m=3,

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当％=6时，n=y=+4x6=6,

故答案为：3,6.

[12/

y=——x+4x

②联立得：2],

y=­x

（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米,

故答案为：8；

2

贝广=8,

20

解得v=4j元（负值舍去）.

19.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，ABC中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函

⑵点P为反比例函数y='（%w0,x>0）图象上一动点（点尸在。，E之间运动，不与E重合），过点尸

X

作交y轴于点M,过点尸作PN〃彳轴，交BC于点N,连接肱V,求PMN面积的最大值，并

求出此时点P的坐标.

【答案】⑴m=2,k=8

Q）SBMN最大值是£，此时尸（3怖1

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【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

(1)先求出8的坐标，然后利用待定系数法求出直线A8的函数表达式，把。的坐标代入直线A5的函数

表达式求出m,再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；

(2)延长NP交y轴于点Q,交A8于点L利用等腰三角形的判定与性质可得出=。尸，设点尸的坐

标为，,(2<Z<6),则可求出SPMNM,S-OI,然后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：A(-2,0),C(6,0),

.\AC=8.

又AC=BC,

：.BC=8.

ZACB=9Q0,

..点以6,8).

设直线AB的函数表达式为y=ax+b,

/\/\.1一2a+Z?=0

将A(-2,0),8(6,8)代入、=依+入得6.+6=8，

[a=l

解得/0，

[o=2

直线AB的函数表达式为y=x+2.

将点。("44)代入y=x+2,得m=2.

.•.0(2,4).

将0(2,4)代入y=:,得人=8.

(2)解：延长NP交y轴于点Q,交于点L.

AC=BC,ZBCA=90°,

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ABAC=45°.

./W〃龙轴，

:.ZBLN=ZBAC=45°,ZNQM=90°.

PM//AB,

,\ZMPL=ZBLP=45°,

ZQMP=ZQPM=45°f

：.QM=QP.

设点尸的坐标为(2<r<6),则PQ=t,PN=6-t.

:.MQ=PQ=t.

iii9g

'SPMN=jPN-MQ=5（6-1）,t=_3（t_3）+-.

...当r=3时，S4PMN有最大值羡，此时P（3,|1.

20.(2024・青海・中考真题)在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡。4,从点。处抛出一个小球，落

到点处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线最高点的坐标；

(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是劣的三等分点，小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度.

7

【答案】⑴尸-/+寸

(2)

(3)这棵树的高为2

【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的

求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；

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(3)过点A、2分别作无轴的垂线，证明△OBDSAQM,利用相似三角形的性质求得=